新教材人教A版高中数学必修第一册2022新高考一轮复习：13函数与方程 练习题

函数与方程
A 组 全考点巩固练
1．函数f (x )＝e x ＋x －3在区间(0,1)上的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
B 解析：由题知函数f (x )是增函数．根据函数零点存在定理及f (0)＝－2＜0，f (1)＝e －2>0，可知函数f (x )在区间(0,1)上有且只有一个零点．故选B ．
2．函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1
C ．(1，2)
D ．(2，3)
C 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14log 214＝1＋12＝32>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝1－12log 212＝1＋12＝32>0，f (1)
＝1－0>0，f (2)＝1－2log 22＝－1<0.由f (1)·f (2)<0知选C 项．
3．若函数f (x )＝2x －2
x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是
( )
A ．(1,3)
B ．(1,2)
C ．(0,3)
D ．(0,2)
C 解析：由条件可知f (1)f (2)＜0，即(2－2－a )·(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，解得0＜a ＜3.
4．(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0,2π]的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
B 解析：令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0，即2sin x －2sin x cos x ＝0，所以2sin x (1－cos x )＝0，所以sin x ＝0或cos x ＝1.又x ∈[0,2π]，由sin x ＝0得x ＝0，π或2π；由cos x ＝1得x ＝0或2π.故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个．故选B ．
5．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
C 解析：由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作
出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象如图所示．
由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.
6．设f (x )在区间[－1,1]上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12<0，则方程f (x )＝0在
区间[－1,1]内( )
A ．可能有3个实数根
B ．可能有2个实数根
C ．有唯一的实数根
D ．没有实数根
C 解析：因为f (x )在区间[－1,1]上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12<0，所以f (x )
在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，12上有唯一的零点. 所以方程f (x )＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数
根．
7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )．若函数
f (x )在R 上有两个零点，
则实数a 的取值范围是( )
A ．(0,1]
B ．[1，＋∞)
C ．(0,1)
D ．(－∞，1]
A 解析：画出函数f (x )的大致图象如图所示．
因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需1－a ≥0，即a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.
8．方程log 0.5(a －2x )＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．
1 解析：若方程log 0.5(a －2x
)＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪
⎫122＋x
＝a －2x
有解，即14×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
＋
2x ＝a 有解．因为14×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
＋2x ＝14×1
2x ＋2x ≥2
1
4＝1，当且仅当x ＝－1时，等号成
立，故a 的最小值为1.
9．若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2等于________． 1 解析：考虑到x 1，x 2是函数y ＝e x 、函数y ＝ln x 分别与函数y ＝1
x 的图象的
公共点A ，B 的横坐标，而A ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1，1x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1x 2两点关于直线y ＝x 对称，因此x 1x 2
＝1.
10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x
，x ≥1，
x 3，x ＜1.
若f (x 0)＝－1，则x 0＝________；若关于x
的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则实数k 的取值范围是________．
－1 (0,1) 解析：由f (x 0)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0≥1，1x 0
＝－1或⎩⎨⎧
x 0<1，
x 30＝－1，解得x 0＝－1.
关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点，如图．观察图象可知，当0＜k ＜1时y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点，即k ∈(0,1)．
11. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足a ＞b ＞c ，且f (1)＝0，函数g (x )＝f (x )＋bx .
(1)证明：函数y ＝g (x )必有两个不相等的零点；
(2)设函数y ＝g (x )的两个零点为x 1，x 2 ，求|x 1－x 2|的取值范围．
解：(1)由f (1)＝0得a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )，g (x )＝f (x )＋bx ＝ax 2＋2bx ＋c .
令g (x )＝0，即ax 2＋2bx ＋c ＝0，则Δ＝4b 2－4ac ＝4(a ＋c )2－4ac ＝4(a 2＋2ac
＋c 2－ac )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋ac ＋14c 2＋3c 2＝4⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＋c 22
＋3c 2＞0，即ax 2＋2bx ＋c ＝0有两个不
等实根．
所以函数y ＝g (x )必有两个不相等的零点．
(2)由(1)知y ＝g (x )的两个零点，即方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－2b a ，x 1x 2＝c
a .
所以|x 1－x 2| ＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4b 2－4ac a 2＝2b 2－ac
a 2
＝2
a 2＋c 2＋ac
a 2 ＝2
⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2
＋c
a ＋1 ＝2
⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋122＋34
. 因为f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，且a ＞b ＞c ， 所以a ＞0，c ＜0.
当a ＞0，c ＜0且c a ＝－1
2时，|x 1－x 2|min ＝ 3.
所以|x 1－x 2|的取值范围为[3，＋∞)．
B 组 新高考培优练
12．(多选题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
e x ，x ≤0，
ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a ，则函数g (x )的零
点个数可能为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
BC 解析：画出函数f (x )的图象，y ＝e x 在y 轴右侧的去掉，如图，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动直线y ＝－x .可以发现直线与函数图象有两个或一个交点．
13．设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )．当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos πx |－f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，32上零点的个数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
C 解析：由f (－x )＝f (x )，得f (x )的图象关于y 轴对称．由f (x )＝f (2－x )，得f (x )的图象关于直线x ＝1对称．当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，所以f (x )在[－1,2]上的图象如图．
令g (x )＝|cos πx |－f (x )＝0， 得|cos πx |＝f (x )，
函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，32上的交点有5个．
14．已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n ＝________.
－1 解析：a ＝log 23>1，0<b ＝log 32<1.令f (x )＝0，得a x ＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x 和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示．
由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1，0)内有零点，所以n ＝－1.
15．若曲线y ＝log 2(2x －m )(x >2)上至少存在一点与直线y ＝x ＋1上的一点关于原点对称，则m 的取值范围为________．
(2,4] 解析：直线y ＝x ＋1关于原点对称的直线为y ＝x －1.依题意方程log 2(2x
－m )＝x －1在(2，＋∞)上有解．则m ＝2x －1在x ∈(2，＋∞)上有解，所以m >2.又2x －m >0恒成立，则m ≤(2x )min ，即m ≤4.所以实数m 的取值范围为(2,4]．
16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2，0≤x ≤1，
|ln (x －1)|，x >1.若方程f (x )＝kx －2有两个不相等的实
数根，则实数k 的取值范围是________．
[3，＋∞) 解析：由题意知函数f (x )的图象与恒过定点(0，－2)的直线y ＝kx －2有两个交点，作出y ＝f (x )与y ＝kx －2的图象，如图所示．
当直线y ＝kx －2过点(1,1)时，k ＝3.
结合图象知，当k ≥3时，直线与y ＝f (x )的图象有两个交点． 17．已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋a .
(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＞0；
(2)若函数g (x )＝f (x )＋2log 2x 只有一个零点，求实数a 的取值范围； 解：(1)当a ＝5时，f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋5.
由f (x )＞0，即log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋5＞0，可得1x ＋5＞1，解得x ＜－14或x ＞0.
即不等式f (x )＞0的解集为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，－14∪(0，＋∞)． (2)g (x )＝f (x )＋2log 2x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ＋2log 2x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ·x 2
(其中x ＞0)．
因为函数g (x )＝f (x )＋2log 2x 只有一个零点，即g (x )＝0只有一个根， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ·x 2
＝1在(0，＋∞)上只有一个解， 即ax 2＋x －1＝0在(0，＋∞)上只有一个解． ①当a ＝0时，方程x －1＝0，解得x ＝1，符合题意． ②当a ≠0时，设函数y ＝ax 2＋x －1.
当a ＞0时，此时函数y ＝ax 2＋x －1与x 轴的正半轴，只有一个交点，符合题意；
当a ＜0时，要使得函数y ＝ax 2＋x －1与x 轴的正半轴只有一个交点， 则满足⎩⎪⎨⎪⎧
－12a
＞0，
Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－1
4
.
综上可得，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
－14∪[0，＋∞)．。