北师大版九年级上册数学 2.2 第2课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程 优秀教案

第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程
1．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；(重点)
2．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．(难点)
一、情景导入
某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程
s(m)和时间t(s)之间的关系为：s＝10t＋3t2，
那么行驶200m需要多长时间？
二、合作探究
探究点一：用配方法解二次项系数不为
1的一元二次方程
用配方法解方程：－
1
2x
2＋5
2x－
5
4＝
0.
解析：先把方程二次项的系数化为1，
再配方成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，最后开
平方即可．
解：方程两边同除以－
1
2，得x
2－5x＋5
2
＝0.
移项，得x2－5x＝－
5
2.
配方，得x2－5x＋(
－
5
2)
2＝－5
2＋(－
5
2)
2，
即(x－
5
2)
2＝15
4.
两边开平方，得x－
5
2＝±
15
2.
即x－
5
2＝
15
2或x－
5
2＝－
15
2.
所以x1＝
5＋15
2，x2＝
5－15
2.
易错提醒：用配方法解一元二次方程
时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常
数项；(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二
次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项
系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数
一半的平方．
探究点二：配方法的应用
【类型一】利用配方法求代数式的值
已知a2－3a＋b2－
b
2＋
37
16＝0，求a
－4b的值．
解析：观察方程可以知道，原方程可以
用配方法转化为两个数的平方和等于0的形
式，得到这两个数都为0，从而可求出a，b
的值，再代入代数式计算即可．
解：原等式可以写成：(a－
3
2)
2＋(b－1
4)
2
＝0.
∴a－
3
2＝0，b－
1
4＝0，解得a＝
3
2，b＝
1
4.
∴a－4b＝
3
2－4×
1
4＝－
1
2.
方法总结：这类题目主要是配方法和非
负数性质的综合应用，通过配方把等式转化
为两个数的平方和等于0的形式是解题的关
键．
【类型二】利用配方法求代数式的最
值或判定代数式的值与0的关系
请用配方法说明：不论x取何值，
代数式x2－5x＋7的值恒为正．
解析：本题是要运用配方法将代数式化
为一个平方式加上一个常数的形式．
解：∵x2－5x＋7＝x2－5x＋(
5
2)
2＋7－
(
5
2)
2＝(x－5
2)
2＋3
4，而(x－
5
2)
2≥0，
∴(x－
5
2)
2＋3
4≥
3
4.
∴代数式x2－5x＋7的值恒为正．
方法总结：对于代数式是一个关于x的
二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．
【类型三】利用配方法解决一些简单的实际问题
如图，一块矩形土地，长是48m，
宽是24m，现要在它的中央划一块矩形草
地，四周铺上花砖路，路面宽都相等，草地
面积占矩形土地面积的
5
9，求花砖路面的宽．
解析：若设花砖路面宽为x m，则草地
的长与宽分别为(48－2x)m及(24－2x)m，根
据等量关系：矩形草地的面积＝
5
9×矩形土
地的面积，即可列一元二次方程求解．
解：设花砖路面的宽为x m.根据题意，
得(48－2x)(24－2x)＝
5
9×48×24.
整理，得x2－36x＝－128.
配方，得x2－36x＋(－18)2＝－128＋(－
18)2，
即(x－18)2＝196.
两边开平方，得x－18＝±14.
即x－18＝14，或x－18＝－14.
所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4.
故花砖路面的宽为4m.
方法总结：列一元二次方程解决实际问
题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满
足所列的一元二次方程，但未必符合实际问
题，因此，求出一元二次方程的解之后，要
把不符合实际问题的解舍去．
三、板书设计
用配方法解二次项系数不为1的一元二
次方程的步骤：
(1)把原方程化为一般形式；
(2)二次项系数化为1，方程两边都除以
二次项系数；
(3)移项，把常数项移到右边，使方程左
边只含二次项和一次项；
(4)配方，方程两边都加上一次项系数一
半的平方；
(5)用直接开平方法解方程．
通过对比用配方法解二次项系数是1的一元
二次方程，发现解二次项系数不是1的一元
二次方程的方法，经历从简单到复杂的过
程，对配方法全面认识．培养学生发现问题
的能力，通过学生亲自解方程的感受与经
验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识
的学习习惯.。