初中数学方程与不等式的交融

方程与不等式的交融
在近几年的中考试题中，常涉及把方程与不等式嫁接在一起来解决的实际问题．也就是说，这些问题所显示的条件，除了含有方程中的等量关系外，还含有不等式中的不等量关系，这样的题目就需要列出混合式组来解答．举例说明如下．
【例1】（广东省）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有—个小朋友分不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．
【解析】设有个小朋友, 个苹果．
根据“每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果”，易知
；
由“每位小朋友分8个苹果，则有—个小朋友分不到8个苹果”，可知
．
故由题意, 得
把①代入②，并转化成不等式组，得
解这个不等式组，得．
∵为正整数∴ =5或6．
当 =5时，人；当 =6时，人．
答：当小朋友有5人时，这一箱苹果有37个；小朋友有6人时，这一箱苹果有42个．
【例2】（潍坊市）为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？
【解析】设这个学校选派值勤学生人,共到个交通路口值勤．
根据条件“每一个路口安排4人，那么还剩下78人”，可知
；
再由“若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人”，易知
．
故由题意，得
将①代入②, 得，解得，19．5< ，
根据实际意义应为整数，所以 =20,此时 =158．
答：学校派出的是158名学生,分到了20个交通路口安排值勤．
【例3】（无锡市）一商场计划到计算器生产厂家购进一批A、B两种型号的计算器．经过商谈，A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的超过部分，每只优惠20％；B型计算器单价为22元，150只起售，超过150只的超过部分，每只优惠2元．如果商家计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，且分别用于购买A、B 这两种型号的计算器的金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金?
【解析】设购买A型计算器只，购买B型计算器只．由于商家计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，所以．根据“A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的超过部分，每只优惠20％”知，购买只A型计算器需要资金；再由“B型计算器单价为22元，150只起售，超过l50只的超过部分，每只优惠2元”可知，购买只B型计算器需要资金
．由于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，所以．故由题意，得
整理，得
把②代入①得，，解得．
设该商场所需资金为元，则
．
因为为整数，且随的增大而增大，所以当 =222时，的最小值为19760元．
答：该商场至少需要准备资金19760元．。