浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期6月期末调研测试数学试题(含答案)

湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷
高一数学
注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．
2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）
A
B
C
D
4．设，是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．若，，，则
B ．若，，，则
C ．若，，，则
D ．若，，，则5．如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（ ）
A ．众数<中位数<平均数
B ．众数<平均数<中位数
C ．中位数<平均数<众数
D ．中位数<众数<平均数
6．在正方体中，是的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是（
）
a b
a b =± //a b 0a b ⋅= 22a b
= z (1i)3i z -=+i z αβαβ⊥//m α//n βm n ⊥m α⊂n β⊂//m n //αβm αβ= //n α//n β//m n m α⊥n β⊥//m n αβ
⊥1111ABCD A B C D -E 11C D
A ．0B
C
D ．
7．湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD ，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB 约192m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 共线）处测得建筑物顶A 、大厦顶C 的仰角分别为45
°和60°，在建筑物顶A
处测得大厦顶C 的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD 约为（
）
A ．284m
B ．286m
C ．288m
D ．290m
8．已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为了丰富同学们的课外活动，某学校为同学们举办了四种不同的科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A ：只参加科技游艺活动；事件B ：至少参加两种科普活动；事件C ：只参加一种科普活动；事件D ：一种科普活动都不参加；事件E ：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（
）
A ．A 与D 是互斥事件
B ．B 与E 是对立事件
C ．
D ．10．若复数z ，w 均不为0，则下列结论正确的是*A
．B ．C ．D ．
11．如图，一张矩形白纸，，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，BE 交AC 于点M ，DF 交AC 于点．现分别将，沿BE ，DF 折起，且点A ，C 在平面的同侧，则下列命题正确的是（
）
12
ABC △22sin sin sin sin A B B C -=a
b
(0,2)
E C D
= A C E
= ||||||z w z w +=+||||z w z w -=-||||||
z w z w ⋅=⋅||||
z z w w =ABCD 4AB =AD =N ABE △CDF △BFDE
A ．当平面平面时，平面
B ．当A ，
C 重合于点时，平面C ．当A ，C 重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为
D ．当A ，C 重合于点时，四棱锥
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知事件和事件相互独立，且，，则__________．
13．已知向量，，则在上的投影向量的坐标是__________．
14．已知四面体中，棱BC ，AD 所在直线所成的角为，且，，
，则四面体体积的最大值是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”．（1）求和的值；
（2）求两次摸到的不都是红球的概率．16．（本题满分15分）
在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，．（1）求；
（2）若，边上的高为1，求的周长．
17．（本题满分15分）某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按，，…，依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中x 的值；
（2）估计参与这次测试学生的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；
（3）现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平
//ABE CDF //AC BFDE P PD ⊥PFM
P P DEF -24πP P BFDE -A B 1()2P A =3
()4P B =(P AB =(4,3)a = (2,4)b =
b a A BCD -60︒4BC =3AD =120ACD ︒∠=A BCD -A =B =()P A ()P B ABC △(2)cos cos b
c A a C -=A ABC △BC ABC △[)50,60[)60,70[]90,100
均数和方差分别为93和5．2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．18．（本题满分17分）
如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面
．若球与三棱台内切（即球与棱台各面均相切）．
（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值；
（3）求四棱台的体积和球的表面积．19．（本题满分17分）已知函数，．（1）写出函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；
（3）已知点，是函数图象上的两个动点，且满足，求的取值范围．
湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷
高一数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
题号12345678答案
D
D
A
C
A
B
C
B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号91011答案
ABC
BCD
AC
1111ABCD A B C D -ABCD 60ABC ∠=︒1111AA BB CC ===1BB ABC O 111ABC A B C -AC ⊥11B D DB 1B BC A --1111ABCD A B C D -O 1
()()f x x x a x
=-
--R a ∈()f x ()f x a ()1,2A x ()2,2B x ()f x 210x x >>123x x a -+
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．
13．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，
（1）第一次摸到红球的可能结果有8种，即，
所以．第二次摸到红球的可能结果也有8种，即，
所以．（2）事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即，
则两次摸到都是红球的概率，故两次摸到的不都是红球的概率．16．解：（1）因为，由正弦定理，得，
即，即．因为在中，，所以．又因为，所以．（2）因为
，所以
，得
由
，即
．由余弦定理，得，即，化简得，所以
，即，
所以的周长为．
17．解：（1）由题意得，所以；（2）参与测试学生的成绩平均值：
18
1612,55⎛⎫
⎪⎝⎭
32
()()()()()()()(){}
1,2,1,3,1,4,1,5,2,1,2,3,
2,4,2,5A
=82()205
P A =
=()()()()()()()(){}2,1,3,1,4,1,5,1,1,2,3,2,4,2,5,2B =82()205
P B =
=AB =()(){}1,2,2,1AB =21()2010
P AB =
=()
()19111010
P AB P AB =-=-=(2)cos cos b c A a C -=(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+2sin cos sin B A B =ABC △sin 0B ≠1cos 2
A =0πA <<π3
A =
ABC △1
12
a ⨯=a =1
sin 2
bc A =12bc =4bc =2222cos a b c bc A =+-2212b c bc =+-2
()312b c bc +=+2()24b c +=b c +=ABC △a b c ++=+(0.0150.020.030.025)101x ++++⨯=0.01x =
．
第60百分位数为；
（3）设第三组，第四组，第五组测试学生成绩的平均数和方差分别为，，，，，，且三组的频率之比为4：6：5，则这三组的平均数，
所以第三组、第四组和第五组所有参与测试的学生的测试成绩的方差
18．解：（1）证明：设与、与BD 分别交点E ，F ，连接EF ，因为底面为菱形，所以．
在等腰梯形中，因为E ，F 为底边中点，
所以，又EF 与BD 相交，平面．
（2）由（1）可知平面平面，又平面平面，过点作于，则平面，再作于，则由三垂线定理得，则是二面角的平面角．
因为平面，故是侧棱与底面所成角，所以．在，，，在，，在，．
因此二面角的正切值为．
10(550.01650.015750.02850.03950.025)79.5u =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.60.45
8010850.750.45
-+
⨯=-3x 4x 5x 2
3s 2
4s 2
5s 754856935
8515
x ⨯+⨯+⨯=
=()()()
2222222
334455465151515s s x x s x x s x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=
+-++-++-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦22
2
4655(7585)10(8585) 5.2(9385)151515
⎡⎤⎡
⎤⎡⎤=+-++-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦826
15
=11AC 11B D AC ABCD AC BD ⊥11AC CA AC EF ⊥AC
∴⊥11B D DB ABCD ⊥11B D DB ABCD 11B D DB BD =1B 1B
H BD ⊥H 1
B H ⊥ABCD HG B
C ⊥G 1B G BC ⊥1B GH ∠1B BC A --1B H ⊥ABC
D 1
B BH ∠1BB AB
C 1sin B BH ∠=
1Rt B BH △111sin B H BB B BH =∠=
11cos BH BB B BH =∠=Rt BGH △sin 30GH BH =︒=
1Rt B GH △11tan B H
B GH GH ∠===1B B
C A --
（3）由题意可知三棱台为正三棱台，设，是和的中心，M ，N 分别是和BC 的中点，故为内切球的球心的直径。

不妨设和的边长分别是x ，y ，球的半径为，则
所以球的表面积为．
在中，，由为内切球可知，解得，在直角梯形中，，解得，
因此，，因此四棱台的体积
．
方法2：将四棱台还原为四棱锥，
由题意可知三棱台为正三棱台，所以三棱锥为正三棱锥，因此三棱台
和三棱锥的内切球为同一个球，设，是和的中心。

由（2）易知在，所以三棱锥为正四面体，所以，因此平面是四棱锥的中截面，则，，故四棱台的体积
．111ABC A
B C -1O
2O 111A B C △ABC △11B C 12O O O 111A
B C △ABC △O r 1212r O O B H
===
O 2
2
24π4ππ3
S r ===1Rt B GH △1MN B G ==
=
O )
MN x y =
+
3x y +=12O O
NM
2
2
22
(2)))MN r y x x y ⎤⎤=+-=+⎥⎥⎦⎦
2xy =1x =2y =1111ABCD A B C D -121133V h S S ⎡⎡⎤⎢=⨯⨯++=++=⎣⎦⎢⎣1111ABCD
A B C D -P ABCD
-111ABC
A B C -P ABC -111ABC A B C -P ABC
-1O 2O 1
11A B C
△ABC △160B BG ︒∠=P ABC -21
22
r PO =1111A B C D P ABCD -2AB =111A B =1111ABCD A B C D -121133V h S S ⎡⎡⎤⎢=⨯⨯++=++=⎣⎦⎢⎣
球的表面积为．
19．解：（1）则的单调递增区间是，单调递减区间是，．
（2）函数在单调递减，在单调递增，故在的最小值为，
同理，在的最小值为，且在的渐近线为，
故结合图象可得，函数有两个零点时需满足解得：．
或解得：．综上所述：或．
（3）由题意得：，则
．
O 2
2
24π4ππ3
S r ===1
,10 »ò 11()()12, »ò 01
a x x x
f x x x a x x a x x x ⎧-+-<<>⎪⎪=---=⎨
⎪-++≤-<≤⎪⎩
()f x (1,0),(1,)-+∞(1)-∞-(0,1)()f x (,1)-∞-(1,0)-()f x (,0)-∞(1)1f a -=+()f x (0,)+∞(1)1f a =-()f x (1,)+∞y a =()f x (1)12
0f a a -=+=⎧⎨<⎩
1a =-(1)10
(1)100f a f a a -=+>⎧⎪
=-<⎨⎪>⎩
01a <<1a =-01a <<2
(1)12a f a >⎧⎨=-<⎩
23a <<
且，则，
因为，，所以，故．
所以．又，故单调递增，所以单调递增，故．因此的取值范围为．
()()1112212212
f x x a x f x a x ⎧=-++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩
11
2
12212a x x x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩2a >101x <<21111121220x a x x x --=-=>211
12
x <<11211111211111
1
11111
3223522321
2212x x x a x x x x x x a x x x x x ⎛⎫-+=-
++=-+-=--++ ⎪--⎝⎭-111
22(0,1)x a x -
=-∈()1111
1
11212g x x x x x ⎛⎫=--
⎪⎝⎭-()112
1111
1
11
323212h x a x x x x x x x ⎛⎫=+-=--++ ⎪⎝⎭-()1(1)5h x h <=123x x a -+(,5)-∞。