高考数学一轮复习 专题突破提升练3 不等式与函数、数列的交汇问题

专题突破提升练(三) 不等式与函数、数列的交汇问题
命题点一 不等式与函数交汇
1.(2015·陕西高考)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫2，r ＝2(f (a )＋
f (b ))，则下列关系式中正确的是( )
A ．q ＝r <p
B ．p ＝r <q
C ．q ＝r >p
D ．p ＝r >q
【解析】 因为b >a >0，故
a ＋b
2
>ab .又f (x )＝ln x (x >0)为增函数，所以
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .
【答案】 B
2．(2015·四川高考)如果函数f (x )＝12
(m －2)x 2
＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18 C ．25 D.81
2
【解析】 ①当m ＝2时，∵f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上单调递减， ∴0≤n <8，mn ＝2n <16.
②当m ≠2时，函数f (x )＝12
(m －2)x 2
＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)的对称轴方程为x ＝－
n －8
m －2
. a ．当m >2时，抛物线开口向上，∵f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上单调递减，∴－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12.又2m ＋n ≥22mn ，∴22mn ≤12，∴mn ≤18.当2m ＝n ＝6，即m ＝3，n ＝6时取等号，∴mn 的最大值为18.
b ．当m <2时，抛物线开口向下，∵f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上单调递减，∴－n －8m －2≤12，即m ＋2n ≤18，即n ≤9－12m .又∵0≤m <2，n ≥0，∴mn ≤9m －12m 2＝－12(m －9)2＋812<－12(2－9)2
＋812
＝16.
综上所述，mn 的最大值为18，故选B. 【答案】 B
3.定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＝1，f (－2)＝3，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y
＝f ′(x )的图象如图1所示，且f ′(x )有且只有一个零点，若非负实数a ，b 满足f (2a ＋
b )≤1，f (－a －2b )≤3，则
b ＋2
a ＋1
的取值范围为( )
图 1
A.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，45∪[3，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫45，＋∞
C ．(－∞，3]
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤45，3 【解析】 由y ＝f ′(x )的图象可知，当x ∈(－∞，0)时，y ＝f (x )为减函数， 当x ∈(0，＋∞)时，y ＝f (x )为增函数，所以f (2a ＋b )≤1可转化为f (2a ＋b )≤f (3)，即2a ＋b ≤3，f (－a －2b )≤3可转化为f (－a －2b )≤f (－2)，即－a －2b ≥－2，a ＋2b ≤2，
因此实数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥0，
b ≥0，
2a ＋b ≤3，
a ＋2
b ≤2，
画出所表示的平面区域，如图阴影部分所示，而
b ＋2
a ＋1
表示阴影区域内的任意一点(a ，b )与点M (－1，－2)连线的斜率，由图可知⎝
⎛⎭
⎪⎫b ＋2a ＋1max ＝k MA
＝
1－－20－－1＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2a ＋1min ＝k MB ＝－2－0－1－
32
＝45，故b ＋2a ＋1的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤45，3.故选D.
【答案】 D
4．(2015·临沂二模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为减函
数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n m ＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln m n －2f (1)＞0，则m 2＋n 2
mn 的取值范围是( ) A ．(e ，＋∞)
B ．[2，e)
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e ，＋∞
D.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫2，e ＋1e
【解析】 由于ln n m ＝－ln m n 且函数f (x )为偶函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n m ＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln m n －2f (1)＝
2f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
ln n m －2f (1)＞0，即f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
ln n m ＞f (1)．又f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
ln n m ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪ln n m ＞f (1)，所以⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
ln n m
＜1，
即1e ＜n m ＜e.又m 2＋n 2mn ＝m n ＋n m ，令n m ＝t 得g (t )＝t ＋1t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e ，易知函数g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1上单调递减，在[1，e)上单调递增，故g (t )min ＝g (1)＝2，g (t )＜g (e)＝e ＋1
e
，故选D.
【答案】 D
5．已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为 ．
【解析】 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝0，即a 2
－4b ＝0，∴b －a 2
4＝0，
∴f (x )＝x 2
＋ax ＋14a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2.
又∵f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，
∴m ，m ＋6是方程x 2
＋ax ＋a 2
4
－c ＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得
⎩
⎪⎨⎪⎧
2m ＋6＝－a ，m m ＋6＝a 2
4－c ，解得c ＝9.
【答案】 9
6．(2015·云南一检)已知函数f (x )＝ln x －x
1＋2x .
(1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； (2)若f [x (3x －2)]＜－1
3，求实数x 的取值范围．
【解】 (1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝ln x －
x
1＋2x
， ∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x 1＋2x 2＝
4x 2
＋3x ＋1
x 1＋2x 2. ∵x ＞0，∴4x 2
＋3x ＋1＞0，x (1＋2x )2
＞0， ∴当x ＞0时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
(2)∵f (x )＝ln x －x 1＋2x ，∴f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－1
3
.
由f [x (3x －2)]＜－1
3
得f [x (3x －2)]＜f (1)．
由(1)得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x
3x －2＞0，x 3x －2＜1，
解得－13＜x ＜0或2
3
＜x ＜1，
∴实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，1.
命题点二 数列与不等式交汇
题型：选择、解答题
命题指数★★
难度：中
n A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0
【解析】 设等差数列 {a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，∴a 2
2－a 1a 3＝(a 1＋d )2
－a 1(a 1＋2d )＝d 2
>0，∴a 2>a 1a 3，故选项
C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2
≤0，故选项D 错．
【答案】 C
2．(2015·大连双基测试)数列{a n }满足a n －a n ＋1＝a n ·a n ＋1(n ∈N *
)，数列{b n }满足b n ＝1a n
，
且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6( )
A ．最大值为99
B ．为定值99
C ．最大值为100
D ．最大值为200
【解析】 将a n －a n ＋1＝a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，可得1
a n ＋1－1
a n
＝1，即b n ＋1－b n ＝1，
所以{b n }是公差d ＝1的等差数列，其前9项和为
9b 1＋b 9
2
＝90，所以b 1＋b 9＝20，所以
b 4·b 6≤⎝
⎛⎭⎪⎫b 4＋b 622＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 1＋b 922＝100，当且仅当b 4＝b 6
时等号成立．
【答案】 C
3．(2015·邢台模拟)已知正项等比数列{a n }满足S 3－3a 1－2a 2＝0，若存在两项a m ，a n
使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4
n
的最小值是( )
A ．9 B.95 C.32 D.4
3
【解析】 依题意，设等比数列{a n }的公比为q (其中q ＞0)，则有a 3－a 2－2a 1＝0，a 3
a 1
－
a 2a 1
－2＝0，即q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0，又q ＞0，因此q ＝2.由a m a n ＝4a 1得a 21·2m ＋n －2
＝16a 2
1
＞0，m ＋n ＝6(其中m ，n ∈N *
)，因此①⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝1，
n ＝5，此时1m ＋4n ＝9
5；②⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝2，n ＝4，此
时1m ＋4n ＝3
2；③⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝3，n ＝3，此时1m ＋4n ＝5
3；④⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝4，n ＝2，此时1m ＋4n ＝9
4；⑤⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝5，n ＝1，此时1
m
＋
4n ＝215.综上所述，1m ＋4n 的最小值是3
2
，选C. 【答案】 C
4．(2015·湖北八市联考)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，
a 3，a 7成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对∀n ∈N *恒成立，求实数λ的最小
值．
【解】 (1)设公差为d .
由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
4a 1＋6d ＝14，
a 1＋2d 2
＝a 1a 1＋6d ，
解得d ＝1或d ＝0(舍去)，∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1. (2)∵
1
a n a n ＋1
＝
1
n ＋1n ＋2
＝
1n ＋1－1
n ＋2
， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝
n
2n ＋2
. ∵T n ≤λa n ＋1对∀n ∈N *
恒成立，即
n 2n ＋2
≤λ(n ＋2)对∀n ∈N *
恒成立， ∴
n
2
n ＋2
2＝
12⎝
⎛⎭
⎪
⎫n ＋4n
＋4≤124＋4
＝1
16(当且仅当n ＝2时等号成立)，
∴λ的最小值为1
16
.
5．(2015·山师大附中模拟)数列{a n }的通项a n 是关于x 的不等式x 2
－x ＜nx 的解集中正整数的个数，f (n )＝
1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n ＋n
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n
2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；
(3)求证：对n ≥2且n ∈N *
恒有712
≤f (n )＜1.
【解】 (1)x 2
－x ＜nx 等价于x (x －n －1)＜0，解得x ∈(0，n ＋1)． 其中有正整数n 个，于是a n ＝n .
(2)b n ＝n 2n ＝n ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
，
S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1×1
2
＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋n ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
n ，
12S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，
两式相减得
12S n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋1 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1
，
故S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
.
(3)证明：f (n )＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n ＋n
＝
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n ＋n
＜1n ＋1n ＋…＋1
n
＝1.
由f (n )＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n ＋n
＝
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n
， 知f (n ＋1)＝
1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋1
2n ＋2
于是f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＞12n ＋2＋12n ＋2－1
n ＋1＝0，
故f (n ＋1)＞f (n )，
∴当n ≥2且n ∈N *
时f (n )为增函数，∴f (n )≥f (2)＝712
. 综上可知，对n ≥2且n ∈N *
恒有712≤f (n )＜1.
命题点三 函数与数列交汇
题型：选择、填空、解答题
命题指数★★
难度：中、高
1.定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：
①f (x )＝x 2
；②f (x )＝2x
；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③
D ．②④
【解析】 不妨令a n ＝2n
.
①因为f (x )＝x 2
，所以f (a n )＝4n .显然{f (2n
)}是首项为4，公比为4的等比数列； ②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24
，
f (a 3)＝f (8)＝28，所以f a 2f a 1＝2422＝4≠f a 3f a 2＝2
8
2
4＝16，所以{f (a n )}不是等比数列；
③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n ＝(2)n
. 显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列；
④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln 2n
＝n ln 2.显然{f (a n )}是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列．故应选C.
【答案】 C
2．(2015·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋4x ≤6，a x －5x ＞6
(a ＞0，a ≠1)．数
列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *
)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是 ．
【解析】 ∵{a n }是单调递增数列，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4－a
2
＞0，
a ＞1，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－a 2×6＋4＜a 2
，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＜8，a ＞1，a ＜－7或a ＞4，
∴4＜a ＜8. 【答案】 (4,8)
3．已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足
f x
g x
＝a x
，且f ′(x )g (x )＜f (x )g ′(x )，
f 1
g 1＋f －1g －1＝52，若有穷数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫f n g n (n ∈N *)的前n 项和为31
32，则n ＝ . 【解析】 根据题意得⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x ，
因为f ′(x )g (x )＜f (x )g ′(x )，
所以⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x ＜0，即函数f x g x ＝a x 单调递减，
所以0＜a ＜1.
又
f 1
g 1＋f －1g －1＝52，即a ＋a －1＝52，即a ＋1a ＝52，解得a ＝2(舍去)或a ＝12
.所以 f x g x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
， 即数列⎩⎨
⎧⎭⎬⎫f
n g n 为首项为a 1＝12，公比q ＝1
2的等比数列，
所以S n ＝
a 11－q
n
1－q
＝12×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3132，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝132
，解得n ＝5. 【答案】 5
4．定义函数f (x )＝{x ·{x }}，其中{x }表示不小于x 的最小整数，如{1.4}＝2，{－2.3}＝－2.当x ∈(0，n ](n ∈N *
)时，函数f (x )的值域为A n ，记集合A n 中元素的个数为a n ，则1a 1
＋
1
a 2
＋…＋1
a n
＝ .
【解析】 由题意，a 1＝1，当x ∈(n ，n ＋1]时，{x }＝n ＋1，x ·{x }∈(n 2＋n ，n 2
＋2n ＋1]，{x ·{x }}的取值依次为n 2
＋n ＋1，n 2
＋n ＋2，…，n 2
＋2n ＋1共n ＋1个，即a n ＋1＝a n ＋n ＋1，由此可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋1
2
，1a n ＝
2n
n ＋1＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1，所以1a 1＋1
a 2＋…＋1a n ＝2－2n ＋1
. 【答案】 2－
2
n ＋1
5．(2013·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为 ．
【解析】 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由等差数列前n 项和可得⎩⎪⎨⎪⎧
10a 1＋10×9
2d ＝0，15a 1
＋15×142
d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝－3，d ＝2
3
.
∴nS n ＝n 2
a 1＋
n 2n －1
2d ＝－3n 2
＋13(n 3－n 2)＝13n 3－10n 2
3，∴(nS n )′＝n 2
－20n 3
，
令(nS n )′＝0，解得n ＝0(舍去)或n ＝20
3
.
当n ＞203时，nS n 是单调递增的；当0＜n ＜20
3时，nS n 是单调递减的，故当n ＝7时，nS n
取最小值，
∴(nS n )min ＝13×73－10×7
2
3＝－49.
【答案】 －49
6．(2015·陕西高考)设f n (x )＝x ＋x 2
＋…＋x n
－1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f ′n (2)；
(2)证明：f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0<a n －12<13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .
【解】 (1)法一：由题设f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1
，
所以f ′n (2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2
＋n ·2
n －1
，①
则2f ′n (2)＝2＋2×22
＋…＋(n －1)2
n －1
＋n ·2n
，②
①－②，得－f ′n (2)＝1＋2＋22
＋…＋2n －1
－n ·2n
＝1－2n
1－2
－n ·2n ＝(1－n )2n
－1，
所以f ′n (2)＝(n －1)2n
＋1.
法二：当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋1
1－x
－1，
则f ′n (x )＝
[1－n ＋1x n
]
1－x ＋
x －x n ＋1
1－x
2
，
可得f ′n (2)＝－[1－n ＋12n
]＋2－2
n ＋1
1－22
＝(n －1)2n
＋1.
(2)证明：因为f n (0)＝－1<0， f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n
≥1－2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫232>0， 所以f n (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23内至少存在一个零点． 又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx
n －1
>0，
所以f n (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23内单调递增， 因此，f n (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23内有且仅有一个零点a n . 由于f n (x )＝x －x n ＋1
1－x
－1，
所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1
n
1－a n
－1，
由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n >1
2，
故12<a n <2
3
， 所以0<a n －12＝12a n ＋1n <12×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .。