贝塞尔函数与三角函数

，等式（8）两
2
1
cos 2
2
1
同理，可得
2
cos 2 1 2
2
21
第一类贝塞尔函数
在柱坐标系中对拉普拉斯方程 尔方程
0进行分离变量法得到贝塞
0
（ 1）
对应于贝塞尔方程的通解为
（ 2） 或
（3） 上述第一种解的表达式只对 为非整数情况是成立的，因为当
为整数阶时，
1
，两个解不是独立的解；第二
种解的表达式对任意 均成立。
把
称为第一类贝塞尔函数。
图 1 0 阶、1 阶和 2 阶第一类贝塞尔函数（J x ）曲线
称为整数阶第一类贝塞尔函数的母函数。这是丹麦
天文学家汉森于1843 年提出的。
雅可比-安格尔恒等式
在（4）式中，令
，则
（6）
也可以变换为
（7）
雅可比-安格尔恒等式在物理（平面波与柱面波相互转换）和信
号处理（描述调频信号）中非常有用。
由于 为整数阶时，
1
，则式（7）变为
2
（8）
利用欧拉公式 边的实部、虚部分别相等，得到
第一类贝塞尔函数的级数表达式
伽马函数
1
!
12
k0 4
, 1 1; 2 1；当 n 为正整数时，
整数阶贝塞尔函数的母函数
0 1！
把e 和e
e
分别展开为绝对收敛级数，然后逐项相乘而得到
1x z
m n ! n! 2
1
x| |
1
z
n! |m| n ! 2
J xz
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
1 J| | x z
J xz
（5）
因此 e