高中数学竞赛专题讲座---复数

复 数
专题一 复数与数列
复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握．
例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(4
1
i +的等比复数列． （1）求4z ．
（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ． （3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和． 解：（1）)6sin 6(cos 2
1)26(41ππi i r +=+=
．i r z 2124834==． （2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6
r 的等比数列．所以
4
3
3=
a ． （3）这个级数是公比8
16
-==r 的无穷等比级数，从而和3
128
)
8
1(148=
--=
． 例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时）
分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论．
解：1+n a 的辐角记作θ，21
2111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ．
（1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+，所以)(13
1tan ∞→→+-=n n
n θ． （2）当1≠k 时，21
111
1)1(a k k
k a a n n n --++--=k k k k k n n n ---++--=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(1
3313)13(1tan 1∞→⎪⎩
⎪
⎨⎧<<>+-→---+=-n k k k k k k k n
n n θ． 例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示．
（2）若（1）中的i 31+=α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数．
解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,21223)(αα=-=-z z z z (1)
211)(----=-=-n n n n n z z z z αα
于是，从1≠α得，α
α--=11n
n z ．
（2）)3sin 3(cos
231ππ
αi i +=+=，所以)3
sin 3(cos 2ππαn i n n n +=,要使n z 在圆10||=z 的内部，它的充分必要条件是10,z <，∴100||2
<n z ．即100<⋅n n z z ，而)23
cos 21(3121n n n n n z z +-=
⋅+π
，
∴100)23cos
2
1(3
121
<+-+n n n π．又n n n 2123
cos 21+-+π221)21(221n n n -=+->+， 能适合300)21(2
<-n 的n 只是4,3,2,1,0．在逐个验证这五个点确信都在圆10||=z 的内部，故符合条件的点共有5个．
例4 设平面上有点 ,,10P P ，如图所示，其中，线段 ,,,21100P P P P OP ，的长成首项为1，公比为
r 的等比数列．
（1）若10<<r ，则当∞→n 时，n P 与哪一点无限接近？
（2）将（1）中的极限点用Q 表示．若固定2
1
=r 而θ变动时，点Q 所
描述的是怎样的曲线？
解：（1）)sin (cos θθωi r +=，此时，若将表示点n P 的复数记作n z ，则有n
n n z z ω=--1，其中1
-z 就是原点O ．于是)1(1111
2
≠--=++++=+ωω
ωωωωn n
n z ．|1||1||||11|11ωωωω-=-=--++n n n r z , 因此，若10<<r ，令∞→n ，则0|11|→--ωn z ，n z 所表示的点与
ω
-11
所表示的点最靠近． （2）ω-=
11z ，则有z z 1-=ω，2
1
=r 固定，θ做变动，点ω总在以原点为圆心的圆周上．但因21||=
ω，故有2|1|||=-z z ．于是当点ω在以原点为中心，21为半径的圆上，点ω-11相应的在以点3
4
为
圆心，
3
2
为半径的圆上． 例5 设在复平面上:
（1）原点为O ，表示复数Z 的点为A ，点B 由||||OA k AB =，OA AB , 的交角为θ所确定。

试求 表示点B 的复数。

这里k 是实数。

（2）点列 ,,,,,210n A A A A 由下述方式确定：0A 取)0,0(，1A 取
)0,1(，),3,2,1(1 =+n A n 由||2||11n n n n A A A A -+=，以及n n n n A A A A 11,-+的夹角θ所定义。

试求被表示为n A 复数n z 。

（3）若（2）中，2
π
θ=，且记12311-+++=n z z z S ，n z z z S 2422+++= ，将212iS S +化
简。

解：（1）将表示B 的复数记作ω，则对有关系AB OC =的点C 表示为复数，就是z -ω，从而
)sin (cos θθωi kz z +=-，所以z ik k ]sin )cos 1[(θθω++=。

（2）OQ A A OP A A n n n n ==+-11,所表示的点Q P ,，则用复数分别表示为n n n n z z z z --+-11,。

由
θ=∠POQ ，推出n n z z -+12=)sin )(cos (1θθi z z n n +--，因此，数列}{1--n n z z 是首项为10101=-=-z z ，公比为)sin (cos 2θθi +的等比数列。

所以1--n n z z 11)sin (cos 2--+=n n i θθ（n 是
正整数）。

所以)
sin (cos 21)sin (cos 21θθθθi n i n z n n +-+-=。

（3）数列}{},{212k k z z -仍为等比数列，故可求得ni iS S =+212。

专题二 复数与几何
1. 有关轨迹问题：
例1 已知一圆B 及圆外一点A ，在圆上任取一点Q ，以AQ 为边按逆时针作正三角形AQP ，求点P 的轨迹.
解：如图：建立复平面，设a AB =，圆B 半径为r .P 、Q 分别对应复数为1,z z
则r a z =-1.令3sin 3cos 0π
πi z +=， 3
π=∠QAP ，∴0
1,01z z z z z z =⋅=故r a z z
=-0
,∴r z r az z ==-00.故点P 的轨迹是圆，圆心对应的复数 为0az ，即
i a a 2
32+，半径为r . 例2 已知复数2121,,z z z z +在复平面上分别对应点A 、B 、C ，O 为复平面的原点.
(1) 若i z 2
1
231+=
，向量OA 逆时针旋转︒90，模变为原来的2倍后与向量OC 重合，求2z ； （2）若)(22121z z z z +=-，试判断四边形OACB 的形状.
解：向量OA 逆时针旋转︒90，模变为原来的2倍所得的向量对应的复数为i z 21⋅，而OC 对应的复
数为21z z +，故21z z +=i z 21⋅.故=+-=)21(12i z z )21)(2
1
23(i i +-+ 整理可得：i z 2
1
322322-++-
=. (2) )(22121z z z z +=-,OC BA ⊥.又 四边形OACB 为平行四边形，∴四边形OACB 为菱形.
2. 复数的模与辐角
求复数的辐角主值常有两种方法：
(1) 利用复数的三角式，应用三角函数的知识求解.
(2) 根据复数的几何意义，将问题转化为几何问题求解.
例3 设复数z 满足1=z ,求复数2-z 的辐角主值的最大值与最小值。

解：1=z ∴可设)20(sin cos πθθθ<≤+=i z ,θθsin 2cos 2i z +-=-∴.设a z =-)2arg(,由于,1sin 1,02cos ≤≤-<-θθ故
2
32
ππ
<
<a . 令,2
cos sin -=
=θθ
tga y 则可先求出y 的最值。

由,2cos sin ,sin 2cos y y y y -=-=-θθθθ
得)(2)sin(12
y tg y y =-=-+ϕϕθ其中,1)sin(≤-ϕθ ,2
12y y +≤-∴,
即,3333,142
2
≤≤-
+≤y y y 3333≤≤-∴tga ,故6
7)2arg(,65)2arg(max min ππ=-=-z z . 方法二:由1=z ，知z 对应的点Z 在单位圆12
2=+y x 上，设A （2，0），根据复数减法的几何意义，
复数2-z 对应的向量是AZ .（如图），
当射线AZ 是圆O 的切线时，2-z 对应的向量分别为21AZ AZ 和，其中
Z 1，Z 2为切点.连接OZ 1，则11AZ OZ ⊥，可知1OAZ ∆为直角三角形.
由2,11==OA OZ ,故67)2arg(,65)2arg(max min π
π=
-=
-z z 例4 设{}
{},,1z 12 C z z z z A ∈≤⋂≤+=求A 中辐角主值最大的复数z .
解：12≤+z 满足 的点在以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆内（包括圆周），满足1≤z 的点在单位圆内，（包括圆周），A ∴对应如图两圆共同部分 .A ∴中辐角主值最大的复数P 点对应的复数
i i z 2
2
2245sin 45cos
--=+=ππ 例5 若c z z ∈21,,求证：21211z z z z ⋅-=-成立的充分必要条件是21z z 、中至少有一个是1.
证：必要性：212
211z z z z ⋅-=- ,2
212
211z z z z ⋅-=-∴,故有
()()()()
21212121
11z z z z z z z z ⋅-⋅⋅-=-⋅-.根据互为共轭的复数间关系有：
()())1)(1(2
1
2
1
2
1
2
1
z z z z z z z z
⋅-⋅-=--.化简整理得：2121221
1
1z z z z z z z
z ⋅⋅+=⋅+⋅
2
22
12
22
11z z z z ⋅+=+∴,(
)(
)
0112
22
1=--∴z z ,1z ∴、2z 至少有一个为1 。

充分性：以上过程均可逆。

∴ 结论成立。

常用到的与复数的模相关的结论：
（1）22||||z z z z ==⋅ （2）||||||2121z z z z ⋅=⋅ )(||||N n z z n
n ∈=⇒
（3）)0(|
||
|||
22121≠=z z z z z （4）||||||||||||212121z z z z z z +≤+≤-. （5）)(|||||,|||bi a z z b z z a z +=≤≤-≤≤-,.||2||2||||2
221221221z z z z z z +=-++
例6 某草场上有宝.取宝法如下：该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树，记住步数，向右拐︒
90走同样多步打个桩.然后回到绞架那里，再走到松树，记住步数，向左拐︒
90走同样多步，又打一个桩.在这两个桩正中挖掘，可以得宝。

年久日长，草场上绞架已经风化，渺无踪迹，但是橡、松二树犹存.问应如何取宝.
解：取草场为复平面，以两棵树所在的直线为实轴，以两棵树连线的中点 为原点O ，建立如图所示的坐标系，设A 、B 为橡、松二树，其坐标分别为 （-1，0），（1，0）. 令点Z 表示绞架，Z 1、Z 2、Z 0分别表示第一个桩、第二个 桩以及两桩的中点.他们对应的复数分别表示为z ,z 1,z 2,z 0.
由复数减法的几何意义，知 1AZ 对应的复数为11+z ；1BZ 对应的复数为12-z .依照乘法的几
2
Z 2
何几何意义，知1AZ 可由AZ 逆时针旋转︒
90得到.i z z )1(11+=+,即i z z )1(11++-= 同理,i z z )1(12--=,其中点Z 0 对应的复数为i z z z =+=
2
2
10.即Z 0 为虚轴上的点i .∴不论绞架位置 在哪儿，宝的位置总对应虚轴上相应于复数为 的那一点，故宝可取.
例7 某人在宽大的大草原上自由漫步，突发如下想法：向某一方向走1km 后向左转︒
30，后向前
走1km 后向左转︒
30，如此下去，能回到出发点吗？
解：以出发点作为坐标原点O ，走第一个1km 时所沿的直线作为 Ox 轴， 建立如图所示的复平面. ∴第一个1km 的终点A 对应的复数是1，第二个1km 的终点B 对应的复数是
1+(︒︒+30sin 30cos i )，第三个1km 的终点C 对应的复数是1+(︒︒+30sin 30cos i )+(︒
︒+60sin 60cos i ).
如此下去，走第n 个1km 时所达到的点对应的复数是1+(︒︒+30sin 30cos i )+(︒
︒+60sin 60cos i )
+︒
︒-+-+30)1sin(30)1cos(n i n ，即1+(︒︒+30sin 30cos i )+(︒
︒+30sin 30cos i )2
+
1
)
30sin 30(cos -︒︒++n i =)
30sin 30(cos 1)30sin 30(cos 1︒
︒︒︒+-+-i i n 当 n =12时，上述复数为0，即可回到出发点。

专题三 复数与方程
1. n 次方程一定有n 个复数根．
例1 求1=n
z 的根．
解：设)sin (cos θθi r z +=，根据隶莫佛定理，1)sin (cos =+θθn i n r n
，从而方程的根 是n
i n π
π2sin
2cos
+（ ,3,2,1,0=n ）． 注：这n 个根的模都等于1，它的辐角按n
π
2增加，由此可见，这n 个根均位于单位圆上把圆周作了n 等分．
例2 设在1的立方根中，记其中不等于1的一个根为ω，问12
++ωω的值是多少？再问，当n 是整数时，13+n
ω
的值是多少？
解：0)1)(1(12
3
=++-=-x x x x ，于是012=++ωω．213=+n
ω．
例3 （1）设ω是1的5次方根（1≠），当ω
ωα1
+
=时，求αα+2
的值．
（2）以原点位中心，以)0,1(为顶点作五边形．求与)0,1(相邻的两个顶点的x 坐标β的值． （3）试构造一个以βββ--2
3
2为一个根的整系数二次方程． 解：（1）αα+2
ω
ωωωω
ωω
ω1
1
21
)1
(2
22+
++
+=+
++
=1)1(1
2342
+++++=
ωωωωω,
又1≠ω，故有12
3
4
++++ωωωω01
1
5=--=
ωω，所以12=+αα． （2）今将复平面作为给定的坐标平面，此时画出五边形．5
2sin
52cos
π
πωi +=, ===ωωωω154
52sin
52cos ππi -,ω及4
ω是点)0,1(的相邻两顶点，他们的横坐标都是5
2cos π，于是有ω
ω1
+
24=+=ωωβπ252cos
=，而由（1）
，ω
ωα1+= 得到012
=-+αα，解得251--=α（舍），4
1
5-=
β． （3）4
15-=
β，即514=+β，两边平方，518162=++ββ，所以01242
=-+ββ （1） x =--βββ232 （2） （1）β⨯2)2(⨯-，x 242-=+ββ，所以x 242--=ββ，将此式
代入（1），有01)12(2)12(42
=-+++x x ，于是有0520162
=++x x ．
根的存在性问题的判断的问题，有些实数范围内的结论仍可以应用到复数范围内．
例4 设关于x 的方程 0322
2=-++a a ax x 至少有一个模等于1的根，确定实数a 的值． 解：0322
2=-++a a ax x . （1）
（1）实根的情形：08)(892
2
2
≥+=--=a a a a a D ，所以0≥a 或8-≤a （2）
将1=x 代入（1）式，0322
=-++a a a ，所以0222
=++a a ，解得i a ±-=1，因为a 是实数，所
以不符合条件．其次，用1-=x 代入（1）整理后有 0242
=+-a a ，解得22±
=a ，这是实数，且
在（2）的范围内，故适合题中条件．
（2）虚根的情形：08)(892
2
2
<+=--=a a a a a D ，所以，08<<-a ．解（1）有，
4832i a a a x --±-=，为使它的模等于1，只须1)4
8()43(222=--+-a a a ，整理后，
022=--a a ，∴2=a （舍）或1-=a ．
综上，满足条件的a 为1,22-±
．
判断根的个数的问题，可以当解方程有困难时，可以调用不等式，函数单调性等手段来处理问题．
例5 试求满足01||23
=+-z z 非实数的复数z 的个数．式中y x yi x z ,(+=为实数时)． 分析：根据yi x +作为根的条件，求出y x ,的关系式，由此对单变数x 的函数求导，再求根． 解：满足01||23
=+-z z （1）的非实数的复数记为：y x yi x z ,(+=为实数时，0≠y )，代入原方程，012)(223=++-+y x yi x ，所以0)3()123(322223=-+++--y y x i y x xy x ，
∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=++--0
30123322223y y x y x xy x
0≠y ，由（3）
，2
23y x =,将它代入)2(，有01||483=-+x x .从而，如果0=x ，则由（4），0=y 这不合题意，为此0≠x ，
（1）当0>x 时，可化为01483
=-+x x ,（6）等式左边看成是关于x 的函数求导数得 0)16(42
>+x ，
这表明方程左侧关于x 的函数是增函数，又01)0(<-=f ，+∞=∞
→)(lim x f x ．可以推知，方程（6）只有
一个正根，在此，由)4(可确定两个复数．
（2）0<x 时，)5(式可化为01483
=--x x , （7）所以 0)124)(12(2
=--+x x x ，从而，（7）
式可以取两个负根：4
5
1,21--
．这两个值对应于（4）可确定4个复数． 综上，满足（1）的非实复数共有6个．。