关于Euler数的一些同余式

三
一
如
有
一 ∑㈦
１
（ 井 （ ／ 一 Ｂ ｓ ） Ｂ ｐ ｍ） 计 （／ ） ，
ｍ Ｏ
ｄ
当
是
＋
＋
ｍ Ｏ
ｄ
一 ∑
：
＋
（） ８
一
／
ｐ
三
三
一
（ ４ １）
ｄ
这 里 ｓ 满 足 ｓ ｐ ｍｏ 是 三 （ ｄｍ）的最小 正整 数 ．
也成 立 ， 样就 证 明 了式 （ ） 这 ３．
（） 丢） 等一 （） Ｂ ，㈩ ３ 同 式４ｔＶ 余 （ ￣， ） Ｎ
此 时 由 Ｖｏ ｔｕ ｔ ｌｕ ｅ ｎ Ｓ ａ ｄ— ａ ｓｎ定 理 ， ２ ｌ一 ０及 式 Ｃ Ｂ抖
（， （） ０ 。 ）由 马 定 ， ５ 有Ｂ 手 三 （ ｄ ， 费 小 理 ） 三 ｍ 三
一
直 受 到众 多 学 者 的关 注 ． 献 Ｅ ｉ给 出 了 一个 有 文 ｌ
０ ｍｏ ２ ｄｐ ）
趣 的 同余 式 ， 对于 人员 的奇 素数 ｐ，
Ｅ （ ，Ｐ３ｏ） ㈩ ｍｐ 耄三（ （ ｏ２当 ４ １ ｄ） ｍ４ ） ｄ． ，
，
ｆ一 ３２ ４ ［４一 ） （ ｄＰ ） （ ｑ ＋ ｑｐ］ ／！ ｍｏ 。 ，
所 以有
这 （） Ｌｅｒ 号 里 是 ｅｎｅ ． ｇｄ符
当 Ｐ三 ５ ｍｏ ） Ｅ ／ ］ 一奇 数． （ ｄ８ ， ｐ ４ 为 注意 到 当 １
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第 ４ 期
曾平 安 ： 于 Ｅ ｌ 数 的 一 些 同 余 式 关 ｕｅ ｒ
３１ ７
摘 要 ： 用 幂 次 和 和 Ｂ ｒ ｏ ｌ 多项 式 的 方 法 ， 到 了 同余 式 利 ｅ ｎ ｕｌ ｉ 得
Ｅ１ １ （ 一ｇ ｆ ）（ ｄ 当 三 （ ｄ） 三 ７ ４Ⅲ＋ 户ｍ 户 ， 户三 ｍ 三２ ［ 兰＋ ｐ 。 ） 三 。４ ３
还 重 新 证 明 了其 他 一 些 Ｅｕｅ ｌｒ数 的 同余 式 ．
４ ” ＝ ２ 三 １ ｒｏ ） （ ｄ 及式 （ ） 式 （ ） 以简 化 ｏ ６， ９可
为
［／ ｐ Ｃ
ｚ
由 ８ｓ， 一１一等 （） 式（，４ ）（ ） 等一
Ｂ（） 另 方 ， ｝ 一面 丢 ，
Ｅ ／３ ， ｐ＇ ４
、
到
（）ｍｄ （） ｓ （ １ Ｏ ０
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第３ 第４ ５卷 期
２０ ０ ８年 ７月
浙 江 大 学 学 报（ 学版 ） 理 Ｊ ｕ ｎ ｔｏ ｗｉ ｎ ｒ ｖｒｉｙ．ｃｅ ｃ ｓｉｉｎｊ ｏ ｒｈｌ ｆＺｈｗｗ．ｏ ｎ ｅ．ｔ（ｅｉｎ ｅＥｄ ｏ ａｔ ／ ＜ｉ ｇ Ｕｎ ａｓ ｕＳｄ ． ｎ ｃｔ ／ ａ ｊ ｕ ｉ ｌｓ ｐ： ｕ ｃ／ ｉ
一
ｆ一 ３２ ４ ４ ～ Ｗ ） （ ｄＰ ） （ ｇ ＋ ｇ ／！ ］ ｐ 户 ｍｏ 。 ，当 Ｐ兰 １ｍｏ ） （ ｄ４ ，
关
键
词 ： 次和 ； ｅ ｎ ｕｌ 多项 式 ；Ｅ ｌｒ ；同余 式 幂 Ｂ ｒｏ ｌ ｉ ｕｅ 数 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ０ ８ ９ ９ （ ０ ８ ０ —３ ９ ０ １０ — ４ ７ ２ ０ ） ４ ６ — ３
一 一
∑ Ｅ 三 （ｏ ． ２ 一ｌ ｄ ｍ ）
相 近 的 同余 式 ．
（ ３ ）
最 近文 献 ［ ］对 于高 阶 Ｅ ｌｒ ， 得 到 了与 式 （ ） ６ ｕｅ 数 也 ３ 以上式 （ ） （ ）同余 式 的得 到 ， 用 到了 生成 １～ ３ 都 函数．本 文 用 文 献 Ｅ ］ 的 方 法 ，通 过 幂 次 和 和 ９
当
：
意 到
令 ｚ一 （ 一
一 ∑ ） ｍ， ． １ ２ … ，ｐ ｍ］ 分别 代入 ／ ，一 ， ， ［ ／ ，
Ｅ
（ ） ７
（三 ｛ 一 等｛ ｃ 一 ）－ ∑ ห้องสมุดไป่ตู้∑㈣
ｐ
． ． ．
一 ∑
４
Ｅ
７ ； （
±
２
三
Ｓ
１
一 ４
式 （ ） 整 理 后 可 得 ７， （ ～ ） 一
（０ ， （ ）成立 ． １ ）式 ２
２ ２ 式 （ ） 证 明 ． ３ 的
由文献 ［ ］定 理 ３ １ 若 ２ ２ （ ｄＰ一 １ ， ８ ．， ｍ ｎ ｍｏ ） 则 Ｅ 三 Ｅ ｒｏ ） 。（ ｄ ．所 以 对 于 任 意 的 ｎ ｏ ，有
（ １ ／ 扩 ）２ （声 １ ／ ）２
显 见 Ｂ （ ）一 Ｂ ．当 ｎ为奇 数 ， １ 则
（ ５ ）
ｓ ２
Ｉ ｛
（） ＋
ｆ ｎｏ ） ０（ ｌ ｄ ，
４
｝ ，
（ ２ １ ）
昕 注 ， 由 Ｖｏ ｔｕ ｔ ｌｕ ｅ ｎＳ ａ ｄ— ａ ｓｎ定理 ， ２ 一 ０及式 （ ） Ｃ Ｂ ５
ｐ ｐ
Ｌ
—
、
ｍ Ｏ
一
２ 同余 式 （ ）和 （ ）的证 明 ２ ３
／ ２
一
ｉ（ １一 一 一
ｐ
— 二ｒ
一
／
Ｌ
０ ｒｏ ） 所 以上 式可 以简 化为 （ ｄ ， ｏ
３
、
为了 便， （ ， 一 ∑ （一 ） 方 记Ｓｍ ｎ ）
中 图分 类号 ： ５ ． Ｏ１ ６ １
Ｚ ＮＧ Ｐ ｎ － ｎ Ｄ ｐ ｒｍｅ ｔ ｆ Ｓ ｉ ｃ ，Ｚ ｉｉ ｎ ｏｌｇ ｆ Ｚ ｅ ｉｎ ｎ ｖ ｒｉ ｆ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ Ｅ ｉｇ ａ （ ｅ ａ ｔ ｎ ｃ ｎ ｅ ｈ ｊａ ｇ Ｃ ｌ ｅ ｏ ｈｊａ ｇ Ｕ ｉｅ ｓ ｙ ｏ ｅｈ ｏｏ ｙ， Ｈａ ｇ ｈ ｕ ｏ ｅ ｅ ｔ ｎ ｚ ｏ
—
；
，
文献 ［ ］证 明 了 ， ２ 对任 意 素数 Ｐ三 ５ ｍｏ ） 有 （ ｄ８ ，
Ｅ（ ） ≠ （ ｄ ） １ ０ ｍｏ ． （） ２
ｔ７‰ｏ ｍ ｑ￣ 。 ２ １４ ｄ ＋一］ ４ （ｐＩ） ４ｍ （， ＋ ｄ
【 当 Ｐ； ３ ｍｏ ） （ ｄ４ ，
３１ ２４， Ｃｈｉ ａ） ００ ｎ
Ｓ ｍｅｃ ｎ ｒｅ ｃｓｃ ｎ ｅ’ ｎ ｌｒｎ ｍｂ ｒ． ｏ ｒ ａ ｆＺ ｅｉｎ ｉｅｓｔ （ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ，２ ０ ３ （ ） ３ ９ ３ １ ｏ ｏ ｇ ｕ ｎ ｅ ｏ ｃｒ ｉ ｇＥｕｅ ｕ ｅｓ Ｊ ｕ ｎ ｌ ｈ ｊ ｇ Ｕｎｖ ｒｉｙ Ｓ ｉｎ ｅＥｄｔｏ ） ０ ８，５ ４ ： ６ ～ ７ ｎ ｏ ａ
ｒ＝ ０
２ １ 式 （ ）的 证 明 ． ２
当 Ｐ； １ ｒｏ ） （ ＋ １ ／ （ ｄ ４ ， ｏ ） ２为一 奇 数 ．在 式 （）中令 一 ４ ８ ，ｎ一 （ ～ １ ／ ， ） ２ 有
Ｓ ４ Ｐ一 １ ／ ）一 （ ，（ ）２
式（１ １ ）得 证 ．
类 似地 ， 以证 明 当 Ｐ三 ３ ｒｏ ）时 ， （ １ 可 （ ｄ４ ｏ 式 １）
以
Ｂ丢一 （） 字 ． ㈤ ） ＝ （ ３＝ ＝ 一
最 后介 绍一 个 Ｂ ｒ ｏ ｌ 多项 式非 常有 用 的关 系 式 ： ｅｎ ｕｌ ｉ
Ｂ枉１ ｚ ＋ １ ＋（ ）一 Ｂ井ｌ ｚ 一 （ （ ） ｎ＋ １ ｘ ． ）
一 ∑
三
４
当１ ＜（一１ ２ ≤ ∑ ） ， ／
等 鲁 Ｂ｝三 ）一 ） ～ （）
ｐ （ ） ４∑ （ ） （ｏ Ｐ）（５ ∑ ４ － ４ ｍ ｄ ，１） ｒ ｒ
结合 式 （ ５ ，（ ９ １ ） １ ）和 （ １ ， 理 有 ：当 Ｐ 三 ２） 整
１ ｍｏ ） 则 （ ｄ４ ，
Ｅｅ１三 （ ３ ２４ ４ ［ ４！ 叫ｐ （ ａ Ｐ ） ２ ） － 一 ｇ － ｑｐ ］ 一 ／ ） ｍｏ ．（ ２
Ｖ ｌ ５ ． Ｊ ３ Ｎｏ ｏ＿ ４
ｕ．２ ０ １ ０８
ＤＯＩ ０ ３ ８ ／．ｓ ｎ １ ０ — ９ ９ ． ０ ８ ０ ． ０ ：１ ． ７ ５ ｊｉｓ ． ０ ８ ４ ７ ２ ０ ． ４ ０ ３
关 于 Ｅ ｌｒ 的 一 些 同余 式 ｕｅ 数
曾 平 安
（ 江 工 业 大 学 之 江 学 院 理 学 系 ，浙 江 杭 州 ３ ０ ２ ） 浙 １ ０ ４
塞
一
给．得：一， 一 ∑ Ｅ计 ∑ Ｅ ｒ ｄ ． 需要证明 出可 到ｏ１ Ｂ Ｂ 。三 ｚｏ ）现在只 （ｏ
（１ ） １
专 Ｂ一 ，ｚ ０ ＞ ） 著 的 ｏ ，ｚ 吉 Ｂ 川一 （ ０由 名 Ｖ ・ ｎ
Ｓｕ—ａｅ 理 保 了 ｔｄＣＵｎ ｍ 证 Ｂ ＋∑ ÷为 整 ａｔ１Ｓ 定 一
Ｂ ｒｏ ｌ 多项 式 ， ｅｎ ｕｌ ｉ 同样 得 到 了式 （ ）和 （ ） 并 把 式 ２ ３， （ ）推广 到 １
∑（Ｅ ｎ １ 出Ｅｅ 在 论 组 ｋ ≥ ） ． ｌ数 数 和 合 ）（ 给 ｕ ｒ
＝ ０ … ，
２ｉ － ｋ ｎ
数学 中有 广泛 应用 ， ｕｅ 数 的同余性 质 在最 近几 年 Ｅ ｌｒ
力
结合式 （ ）和虚二 次域 的类 数公 式 ， ２ 文献 ［ ］进 一步 ３
得到 了 ， 任 意 Ｐ三 １ ｍｏ ） 有 对 （ ｄ４ ，
Ｅ（ ） （ ｄ ） １２≠ ０ ｍｏ ． ／
这 ｚ 为ｚ 最大 部分 一 ＿ 是 里［ ］ 的 整数 ， 二 二ｌ
Ｆｒ ｔ ， ｅｍａ 商 训 一 是 Ｗｉ 。 ｌ ｎ商 ．
浙 江 大 学 学 报（ 学版） 理
第 ３ ５卷
１ 幂 次 和 及 Ｂ ｒ ｏ ｌ 多项 式 的基 本 ｅｎ ｕｌ ｉ
知 识
Ｂ ｒｏ ｌ ｅｎ ｕｌ ｉ数 Ｂ 由 递 推 式 Ｂｏ 一 １ Ｂ 一 ，
≤．［４ ， ）±． （）０ 式 ， ｐ］ （ 一 １ ≠ ， ≤ ／时 故 由
这 证 明了文 献 ［］ ４ ４ Ｂ ５的一 个猜 想．
收 稿 日期 ： ０ ７ ０ — ０ ２ ０ － １３ ．
作 者 简 介 ： 平 安 （ ９ Ｏ ） 男 ， 士 ， 要从 事 随 机 过 程 的研 究 曾 １８一 ， 硕 主
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３０ ７
ｇｒ ｅ ｅｓｉ ｒ ｅ ｕ ｎｃ ｓ ｐ ｏｖ ｄ：
，
～
ｆ一３ ＋ ４ ４ 一 Ｗ ） ｍｏ ，当 Ｐ三 （ ｄ４ ， （ ｇ ／！ ｐ 户（ ｄＰ ） ］ 三１ｍｏ ）
Ｉ ＋（ｑ ～４ ］＋ ） ｍ ｄ ， 户三 ３ｍ ｄ ） ２ ７２ 吼 ／！ 户（ ｏ 户 ） 当 三 （ ｏ ． ４ 三 ４
Ａｂ ｔ ａ ｔ．Ｂｙ ｕｓｎ ｈ ｅ ｈｏ ｈｅｅ ｓｒ ｃ ． ｉ ｇ ｔ ｅ ｍ ｔ ｄ ｏｆｔ ｘｐｏ ｎ ｉｌｓ ｍ ｓ ａ ｄ ｔ ｏｌ ｏｍ ｉｌ ｆＢｅ ｎ ｌｉｎｕｍ ｂ ｒ ｎｅ ｔａ ｕ ｎ ｈｅ ｐ ｙｎ ａ ｓｏ ｒ ｏｕ ｌ ｅ ｓ，ｔ ｏ ｌ ｎｇ ｃ ｎ— ｈｅ ｆ ｌｏｗｉ ｏ
Ｋ ｅ ｒ ｓ：ｅ ｏｎｅ ｔａ ｕｍ ｓ；ｐｏ ｙ ｍ ｉ ｌ ｆＢｅ ｎｏ ｌ； Ｅｕ ｅ ｍ ｂｅ ｙ ｗｏ ｄ ｘｐ ｎ ｉ ｌｓ ｌ ｎｏ ａｓ ｏ ｒ ｕｌｉ ｌ ｒｎｕ ｒ；ｃ ｎｇｒ ｎ ｅ ｏ ｕｅ ｃ
文 献 Ｅ ］得到 了 ５
０ 引 言
Ｅ ｌｒ Ｅ ， Ｅ！ ｕｅ 数 。 Ｅ ， ，… 由递 推 式 Ｅ。 １ Ｅ ＝ ，
数 ， 对 于任意 素数 Ｐ Ｂｚ 故 ，ｐ 是 Ｐ 整 数． 一
Ｂ ｒｏ ｌ 多项 式 Ｂ （ ）则定 义 为 ｅｎ ｕｌ ｉ ｚ
ｋ≤ （ 一 １ ／ ） 有 ）２ ，
当 Ｐ三 １ ｒｏ ） 在式 （ ） （ ｄ４ ， ｏ ８ 中令 一 ４ ｎ一 ２ （ ≤ ， ｋ１
Ｂ ｚ一 ｆＢ 一， ） ？ １ （ １ｚ