y=ax平方+b的图像性质
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22.1.3 二次函数y=ax +k的 图象和性质
二次函数y=ax2的性质 y ax2
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
2
的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线
y
1
x2
2
有什么关系？
二次函数y=-3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x2 y 3x2 1
二次函数y= -3x2－1的 图象形状与y= -3x2 一样,仍是抛物线.
2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). (2)最值不同:分别是c和0.
3.联系: y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平移 |c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).
练习
1．二次函数y=-3x2和y=3x2的图象有什么关系?它是轴对
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
位置不同; 最大值不同: 分别是0和-1.
二次项系数为负数-3,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.
请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.
二次函数y=ax2+c的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
y ax2 c
二次函数y 1 x2 3和 y 1 x2呢?.
2
2
5
10 ···
38
y x2 10 y = x2＋1
8
6
4
2
y = x2－1
－4 －2
24
（1）抛物线 y x2 1, y x2 1 的开口方向、对
称轴、顶点各是什么？
开口方向都向上，对称轴为y轴， y = x2＋1的顶点坐标是 （0，1）， y = x2－1的顶点坐标是（0，－1）
当x=0时,最大值为0.
开口大小 a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
例1 在同一直角坐标系中，画出二函数 y x2 1, y x2 1 的图象．
解：先列表：
x
··· －3 －2 －1 0
1
2
3
···
y = x2＋1 ···
y = x2－1 ··· 10
5
8
3
2
1
2
0 －1 0
···
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=0时,最小值为c.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最大值为c.
小结 拓展 回味无穷
二次函数y=ax²+c与=ax²的关系
1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y 都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在y轴左侧,y都随x的增大 而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
8 6 4 2
－4 －2 －2 －4
y 2x2 5
y 2x2
24 y 2x2 3.4
练习
在同一直角坐标系中，画出下列二处函数的图象：
y 1 x2, y 1 x2 2, y 1 x2 2
2
2
2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方
向、对称轴及顶点．你能说出抛物线 y 1 x2 k
（2）抛物线 y x2 1, y x2 1 与抛物线 y x2 有什么关系？
如右图所示
y x2 10 8 y = x2＋1
y x2 10
8 y = x2＋1
6
6
4 2 －4 －2
y = x2－1 24
4 2 －4 －2
y = x2－1 24
把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3．4 个单位呢？
称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什
么?先想一想,如果需要,作草图看一看.
二次函数y 1 x2和 y 1 x2 呢?
2
2
2．二次函数 y 3x2 1 和y=3x2的图象有什么关系?它
2
是轴对称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分
别是什么?先想一想,如果需要,作草图看一看.
y=ax2 (a>0) （0，0）
y= ax2 (a<0) （0，0）
对称轴
y轴
y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=0时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
３.增减性与最值
根据图形填表：
y ax2 c
抛物线 顶点坐标
y=ax2 +c(a>0) （0，c）
y=ax2 +c(a<0) （0，c）
对称轴
y轴
y轴
位置
当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限); 当c<0时,与x轴相交(经过一,二三四象限). 当c>0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).
22.1.3 二次函数y=ax +k的 图象和性质
二次函数y=ax2的性质 y ax2
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
2
的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线
y
1
x2
2
有什么关系？
二次函数y=-3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x2 y 3x2 1
二次函数y= -3x2－1的 图象形状与y= -3x2 一样,仍是抛物线.
2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). (2)最值不同:分别是c和0.
3.联系: y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平移 |c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).
练习
1．二次函数y=-3x2和y=3x2的图象有什么关系?它是轴对
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
位置不同; 最大值不同: 分别是0和-1.
二次项系数为负数-3,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.
请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.
二次函数y=ax2+c的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
y ax2 c
二次函数y 1 x2 3和 y 1 x2呢?.
2
2
5
10 ···
38
y x2 10 y = x2＋1
8
6
4
2
y = x2－1
－4 －2
24
（1）抛物线 y x2 1, y x2 1 的开口方向、对
称轴、顶点各是什么？
开口方向都向上，对称轴为y轴， y = x2＋1的顶点坐标是 （0，1）， y = x2－1的顶点坐标是（0，－1）
当x=0时,最大值为0.
开口大小 a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
例1 在同一直角坐标系中，画出二函数 y x2 1, y x2 1 的图象．
解：先列表：
x
··· －3 －2 －1 0
1
2
3
···
y = x2＋1 ···
y = x2－1 ··· 10
5
8
3
2
1
2
0 －1 0
···
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=0时,最小值为c.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最大值为c.
小结 拓展 回味无穷
二次函数y=ax²+c与=ax²的关系
1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y 都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在y轴左侧,y都随x的增大 而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
8 6 4 2
－4 －2 －2 －4
y 2x2 5
y 2x2
24 y 2x2 3.4
练习
在同一直角坐标系中，画出下列二处函数的图象：
y 1 x2, y 1 x2 2, y 1 x2 2
2
2
2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方
向、对称轴及顶点．你能说出抛物线 y 1 x2 k
（2）抛物线 y x2 1, y x2 1 与抛物线 y x2 有什么关系？
如右图所示
y x2 10 8 y = x2＋1
y x2 10
8 y = x2＋1
6
6
4 2 －4 －2
y = x2－1 24
4 2 －4 －2
y = x2－1 24
把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3．4 个单位呢？
称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什
么?先想一想,如果需要,作草图看一看.
二次函数y 1 x2和 y 1 x2 呢?
2
2
2．二次函数 y 3x2 1 和y=3x2的图象有什么关系?它
2
是轴对称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分
别是什么?先想一想,如果需要,作草图看一看.
y=ax2 (a>0) （0，0）
y= ax2 (a<0) （0，0）
对称轴
y轴
y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=0时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
３.增减性与最值
根据图形填表：
y ax2 c
抛物线 顶点坐标
y=ax2 +c(a>0) （0，c）
y=ax2 +c(a<0) （0，c）
对称轴
y轴
y轴
位置
当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限); 当c<0时,与x轴相交(经过一,二三四象限). 当c>0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).