决战中考九年级数学综合复习课件 第二章 方程与不等式 第二节 一元二次方程

解得x1＝5，x2＝－1.
(3)原方程整理得2x2－7x＋4＝0， a＝2，b＝－7，c＝4. ∵b2－4ac＝(－7)2－4×2×4＝17，
(4)原方程整理得(x＋1)2＝6(x＋1)， 移项得(x＋1)2－6(x＋1)＝0， 即(x＋1)(x－5)＝0，
解得x1＝－1，x2＝5.
考点二
一元二次方程根的判别式
【自主解答】 ∵x2－x－1＝(x＋1)0， ∴x2－x－1＝1， 即(x－2)(x＋1)＝0，
解得x1＝2，x2＝－1.
当x＝－1时，x＋1＝0，故x≠－1. 故选C.
讲：
解一元二次方程的注意点
(1)在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般
形式，再确定 a ， b ， c 的值，否则易出现符号错误； (2) 用
相等 b2－4ac<0⇔方程_____实数根． 没有
当一元二次方程不是一般形式时，要先化成一般形式，再
求根的判别式．
2．如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为
c b x1，x2，那么x1＋x2＝____ ，x1x2＝___． a a
应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意以下几点： (1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化成一般形式； (2)应用x1＋x2＝－ b 时，不要漏“－”号；(3)应用根与系 2－4ac≥0是否成立，判别式 数的公式前，首先确定判别式 b a
(1)一元二次方程的解一般分为“无实根”“有实根”“有 两个相等的实根”“有两个不相等的实根”四种情况，注 意与判别式的对应关系；(2)利用根的情况确定字母系数的 取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这个隐含条件．
3．(2017·潍坊二模)若关于x的方程x2－ 0有两个相等的实数根，则锐角α 为( A．30° B．45° C．60° C
2．应用题中常见的等量关系 (1)增长率等量关系：增长率＝增长量÷基础量×100%. 一般类型：设原来量为 a ，平均增长 ( 下降 ) 率为 x ，则一次
增长 ( 下降 ) 后的值为 a(1±x) ，两次增长 ( 下降 ) 后的值为
a(1±x)2.
(2)利润等量关系：利润＝售价－成本(进价)， 利润率＝ ×100%.
b2－4ac≥0是应用根与系数的公式的前提．
知识点四
一元二次方程的应用
1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审，即审清 题意，找出题中的已知量、未知量；(2)设，即设出关键未
知数；(3)列，找出等量关系，列方程；(4)解，即解方
程；(5)验，即检验结果是否正确或是否有实际意义； (6)答，回归题中，规范作答．
2．解方程． (1)(2x－1)2＝25；(2)(x－1)(x－3)＝8； (3)2x2－7x＝－4；(4)(x＋1)2＝6x＋6.
解：(1)(2x－1)2＝25， 开方得2x－1＝±5，
解得x1＝3，x2＝－2.
(2)原方程整理得x2－4x＋3＝8， 移项得x2－4x＝5， 配方得(x－2)2＝9， 开方得x－2＝±3，
2
x＋cos α ＝
) D．75°
4．(2017·泰安)关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋(k2
5 －1)＝0无实数根，则k的取值范围为____ k> ． 4
考点三 例3
一元二次方程根与系数的关系
(5年1考)
(2017·潍城一模)已知a，b是关于x的一元二次方程x2 的值是( )
＋nx－1＝0的两实数根，则式子
(5年3考)
例2 (2017·潍坊)若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有 实数根，则k的取值范围是____________．
【分析】 根据题意可得 Δ >0 ，据此可求出 k 的取值范围， 同时注意二次项系数k≠0. 【自主解答】 由题意得Δ ＝4－4k≥0，且k≠0，解得k≤1
且k≠0.故答案为k≤1且k≠0.
A．n2 ＋2
C．n2 －2
B．n2 ＋2
D．－n2－2
【分析】 先把代数式
变形为两根之积或两根之和
的形式，然后利用一元二次方程根与系数的关系代入数值 计算即可．
【自主解答】 由题意知a＋b＝－n，ab＝－1， ＝－n2－2.故选D.
讲：
应用根与系数关系的前提
研究一元二次方程根与系数的关系的前提： (1)二次项系数 a≠0；(2) 判别式Δ ≥0.因此利用一元二次方程根与系数的 关系求方程中所含字母的值或范围时，必须要考虑这两个
(3)利息等量关系：利息＝本金×利率×期数，
本息和＝本金＋利息，利息税＝利息×税率．
(4)行程等量关系：路程＝速度×时间.
考点一 解一元二次方程 例1
(5年1考) )
如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为(
A．2或－1
C．2
B．0或1
D．－1
【分析】 首先根据零次幂的性质，整理题目给出的一元二 次方程，通过十字相乘法得出方程的解，最后检验方程的 解是否满足题意．
因式分解法确定一元二次方程的解时，一定要保证等号的 右边化为 0 ，否则易出现错误； (3) 如果一元二次方程的常
数项为 0 ，不能在方程两边同时除以未知数，否则会漏掉 x
＝ 0 的解； (4) 对于含有不确定量的方程，需要把求出的解 代入原方程检验，避免增根． 练：链接变式训练1
1．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的 两根，则该等腰三角形的周长是___． 12
知识点二 一元二次方程的解法
b b 2－4ac 2a
知识点三 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1．_______ 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根 2 b －4ac 的判别式．判别式的符号决定了方程根的情况，即
b2－4ac>0⇔方程有两个_______的实数根； 不相等 b2－4ac＝0⇔方程有两个 _____的实数根；
决战中考九年级数学综合复习
第二节
一元二次方程
知识点一
一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程：方程的两边都是整式，它们都只含有___ 一 个未知数，并且整理后未知数的最高次：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，其 中ax2，bx，c分别叫做这个方程的二次项、一次项和常数 项，a，b分别叫做二次项系数和一次项系数．