广东省佛山市高三数学第二次模拟考试(文)试卷

2009年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）
数 学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号涂在答题卡对应的格内。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷和答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡交回。

参考公式：
棱锥的体积公式1
,3
V S h =
其中S 是地面积，h 是高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1．设2{0,1,2,3,4,5},{1,3,5},{|20},U A B x x x ===-=则()U A
B ?=
A ．∅
B ．{3,4}
C ．{1,3,5}
D ．{2,4,5} 2．设x 是实数，则“0x >”是“||0x >”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分不必要条件
3．由1，2，3三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取一个数，恰为偶数的概率是
A ．
16 B ．13 C ．12 D ．23
4．若i 是虚数单位，且复数()(12)z a i i =-+为实数，则实数a 等于
A ．12-
B ．—2
C ．1
2
D ．2
5．已知α、β是不同的平面，m 、n 是不同的直线，则下列命题不正确的是 A ．若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则 B ．若//,,//m n m n ααβ=则 C ．若//,,m n m n αα⊥⊥则 D ．若,,//m m αβαβ⊥⊥则
6．已知函数2,[1,1]
(),[1,1]x f x x x ∈-⎧=⎨∉-⎩
，若[()]f f x =2，则x 的取值范围是
A ．∅
B ．[1,1]-
C ．(,1)(1,)-∞-+∞
D ．{2}[1,1]-
7．如图，是函数tan(
)42
y x π
π
=-的部分图象，则()OB OA OB -⋅= A ．4 B ．2 C ．—2 D ．—4
8．若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦点的14，则该
双曲线的离心率是
A
B
．
2 C ．2 D
．3
9．已知函数||2x y =的定义域为[,]m n （,m n 为整数），值域为[1,2]，则满足条件的整数数
对(,)m n 共有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措，我市某家电制造集团为尽快实
现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T 内完成预期的运输任务0Q ，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运
输效率（单位时间的运输量．．．．．．．．
）逐步提高的是
二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分） （一）必做题（11～13题）
11．命题“若0c >，则函数2()f x x x c =+-有两个零点。

”的逆否命题．．．．是____________ 12．已知{}n a 是公比为实数q 的等比数列，若4576,,a a a a +成等差数列，则q 等于_____。

13．在
直角坐标系中，若不等式组0
(1)1y y x y k x ≥⎧⎪
≤⎨⎪≤--⎩
表示一个三角形区域，则实数k 的取值
范围是__________________。

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲）如图，过圆外点P 作O 的割线PAB 与切线 ,PE E 为切点，连结AE 、BE ，APE ∠的平分线分别与AE 、BE
相交于点C 、D ，若30AEB ︒
∠=，则PCE ∠=___________。

15．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，喝极轴垂直且相交的直线l 于圆4ρ=相交于A 、B 两点，若||4AB =，则直线l 的极坐标方程 为______________________。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）
在ABC ∆中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C
所对的边，且满足sin 2A A =
（I ）求A 的大小；
（Ⅱ）现给出三个条件：①2a =； ②45B ︒
=；
③c =
试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC ∆
的面积，
（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）
17．（本题满分12分）
如图，侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 位于平行四边形ACDE 中，
2,4,60AE AC E ︒==∠=，点B 为DE 中点，连结1A E （I ）求证：平面1A BC ⊥平面12A ABB （Ⅱ）设四棱锥1A AEBC -与四棱锥111A B BCC - 的体积分别为1V 、2V ，求1V ：2V 的值。

18．（本题满分14分）
佛山市在每年的春节后，市政府都会发动公务员参与到植树活动中去，林管部门在值树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测，现从甲乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，量出的高度如下（单位：厘米）
甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33 乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46
（I ）根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据 你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出 两个统计结论：
（Ⅱ）设抽测的10株甲种树苗高度平均值x ，将 这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行的运算，问 输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义。

19．（本小题满分14分）
桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开打 一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形
池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所
示）种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池 塘所占面积为S 平方米，其中:1:2a b =， （I ）试用,x y 表示S ；
（Ⅱ）若要使S 最大，则,x y 的值各为多少？ 20．（本题满分14分）
如图，已知曲线21:1C y x =-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，圆2C 经过A 、B 、C 三点。

（I ）求圆2C 的方程；
（Ⅱ）过点(0,)(1)P m m <-的直线1l 与圆2C 相切，试探讨
1l 与1C 的位置关系；
（Ⅲ）当4m =-时，过点P 作直线2l 与2C 相交于M 、N 两点，
,,(0MQ QN MP PN λλλ==-≠且，1λ≠±） 证明：点Q 恒在一条定直线上。

21．（本题满分14分）
已知函数12
11
()()1(1)
f x t x x x =
--++，其中t 为常数，且0t > （I ）求函数1()f x 在(0,)+∞上的最大值；
（Ⅱ）数列{}n a 中，12
3
a =，112n n n n a a a a ++=-，求{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对任意的120,(),1,2n
n x a f x n >≥=…
2009年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）
数学试题（文科）参考答案和评分标准
11．若函数2
()f x x x c =+-没有两个零点，则0c ≤（或“若函数2
()f x x x c =+-至多有
一个零点，则0c ≤”） 12．
12
13．(,1)-∞- 14．75︒
15．cos ρθ=三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）
解：解（I ）依题意得2sin()23
A π
+
=，即sin()13
A π
+
=
0A π<< 43
33A π
π
π∴
<+
< 32A ππ∴+= 6
A π∴= （Ⅱ）方案一：选择①②
由正弦定理
sin sin a b A B =，得sin sin a
b B A
==
,sin sin()sin cos cos sin 4
A B C C A B A B A B π++=∴=+=+=
11
sin 21224
S ab C ∴==⨯⨯=
方案二：选择①③
由余弦定理2222cos b c bc A a +-=，有222
334b b b +-=，则2,b c ==
所以111
sin 2222
S bc A =
=⨯⨯=
说明：若选择②③，由c =得，sin 1C B ==>不成立，这样的三角形不存在。

17．（本题满分12分）
解：解：（I ）方法一、在平行四边形ACDE 中，
2,4,60,AE AC E ︒==∠=点B 为DE 中点。

60.30ABE CBD ︒
︒∠=∠=从而90ABC ︒∠=，即AB BC ⊥ 又1AA ⊥面,ABC BC ⊂平ABC
1AA BC ∴⊥，而14AA AB =，BC ⊥平面11A ABB BC ⊂平面1A BC ∴平面1A BC ⊥平面11A ABB
方法二、
2,4,60AE AC E ︒==∠=点B 为DE 中点。

2222,16,AB BC AB BC AC AB BC ∴==+==∴⊥
又1AA ⊥面ABC BC ⊂面ABC ，1AA BC ∴⊥，而1A A A B A =，
BC ∴⊥平面11A ABB BC ⊂平面1A BC ∴平面1A BC ⊥平面11A ABB
（Ⅱ）方法一、设平行四边形ACDE 的面积为1,S AA h =
则四棱锥1
A AEBC -的体积1131344
V Sh Sh =⋅= 四棱锥111A B BCC -的体积分别为2211
323
V Sh Sh =⋅=
1211
:():()3:443
V V Sh Sh ∴==
方法二、设1AA h =，则四棱锥1A AEBC -的体积111124332
AEBC V S AA +=
⋅=⋅= 111111*********.,A B B B A B B C B B B C B A B BCC B ⊥⊥=∴⊥面
∴四棱锥111A B BCC -的体积分别为1121111233BCC B V S A B =⋅⋅=⨯⨯=
12:):)3:4V V ∴==
18．（本题满分14分）
解：（I ）茎叶图如右
统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度； ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；
③甲种树苗的中位数为27，乙种树苗的中位数为28.5；
④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近。

乙种树苗的高度分布较为分散。

（给分说明：写出的结论中，1个正确得2分。

） （Ⅱ）27,35x S ==
S 表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量 S 值越小，表示长得越整齐，S 值越大，表示长得越参差不齐。

19．（本题满分14分） 解：（I ）由题可得：1800,2,xy b a ==则636y a b a =++=+
616
(4)(6)(316)(316)
1832633
y S x a x b x a x x y -=-+-⨯=-=-=--
（Ⅱ）方法一：16183261832183248013523S x y =--≤--=
当且仅当16
63
x y =，即40,45x y ==时，S 取得最大值1352。

方法二：1618009600
180********(6)3S x x x x =--⨯
+=-+
183218324801352≤-=-=
当且仅当96006,x x =即40x =时取等号，S 取得最大值，此时1800
45y x
==。

方法三：设 9600
()1832(6)(0)S f x x x x
==-+> 22
96006(40)(40)
'()6x x f x x x -+=-=
令'()0f x =得40x =
当040x <<时，'()0f x >，当40x >时，'()0f x <
∴当40x =时，S 取得最大值，此时45y =。

20. （本题满分14分）
解:（I ）由题可得()()()1,01,00,1,A B C OA OB OC -==、、则 因此圆C 2为以原点为圆心，1为半径的圆 且圆C 2的方程为221x y +=
（II ）依题意，直线1l 斜率存在，可设其直线方程为y kx m =+ 因为直线1l 与圆C 2
，即22
1k m =-
联立1l 与1C 的方程2
1
y kx m
y x =+⎧⎨
=-⎩，可得2
10x ks m ---=
因此2
2
4443k m m m ∆=++=++
当0∆<，即13m -<<-时，直线1l 与C 1没有公共点 当0∆=，即3m =-时，直线1l 与C 1有且只有一个公共点 当0∆>，即3m <-时，直线1l 与C 1有两个公共点 （III ）设点()()()1122,,,,,Q x y M x y N x y
()()()()()()()()121212121212222222
2121222111,11014411,x x x x x x x MQ QN y y y y y y y x x MP PN y y x x y y y x y x λλλλλλλλλλλλλλλ-=-⎧+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎪⎪=⇒⎨⎨
-=-+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎩⎩⎧-=-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪=-⎨
-=-⨯-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎩⨯⨯-+-=--+=由得同理由可得得又①
②③
④
①③+②④22221
1,1,41,4
y y y λ+=≠±-==-
所以即
∴点Q 恒在一条定直线1
4
y =-上。

21．（本题满分14分）
解：（I ）由2
11
()()1(1)
t f x t x x x =
--++，得 则2'
243
1(1)()2(1)2()
()(1)(1)(1)
t x t x x t x f x x x x -+--⋅+-=--=+++ 0x >，∴当x t <时，'()0t f x >：当x t >时，'()0t f x <，
∴当x t =时，1()f x 取得最大值1()1t f t t
=+ （II ）由题意知
1111111
1,1122n n n n a a a a ++⎛⎫=⋅+-=- ⎪⎝⎭
即 11n a ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭
数列是以111
12a -=为首项，12为公比的等比数列
∴111121()2221
n
n n n
n a a --=⋅=+即 （III ）()()1221111
0,()2121n
n n t f x x x x =
>=--++令则 由（I ）可知()1122112()122112
n n
n
n n n n
f x f a =≤=
==++ ∴对任意的0x >，不等式()()121,2,n
n a f x n ≥=⋅⋅⋅成立。