高三文科数学第一轮复习及练习：第9章平面解析几何第5讲第2课时

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湘教版高考总复习一轮数学精品课件第9章平面解析几何第2节两条直线的位置关系

l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2
l1:y=k1x+b1
两直线平行时,它们的斜率可能都不存在
l2:y=k2x+b2
l1与l2相交⇔k1≠k2
l1⊥l2⇔ k1k2=-1
当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2
若 A1,A2,B1,B2,C1,C2 均不为 0,则 l1 与 l2 重
分别为2x+y-2=0,2x+y-2=0,此时l1与l2重合,当a=-1时,两条直线的方程分别
为2x-y+2=0,2x-y-2=0,此时l1与l2平行;当直线l1与l2相交时,2a2≠2,即a≠±1;当
直线l1与l2垂直时,4a+a=0,解得a=0.
考点二距离问题
例3(1)在平面直角坐标系中,已知点A(cos 15°,sin 15°),B(cos 75°,
7 5
=
.
10
2
2
x-4y+3=0之间的距离为 2 + (-4)
|-4-3|
题组三连线高考
8.(2009·上海,文15)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,
则k的值是( C )
A.1或3
B.1或5
C.3或5
D.1或2
解析当 k-3=0 时,两直线的方程分别为 y=-1 和
的坐标为(-2-x,4-y).因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,所以2(-2-x) +3(4y)-6=0,即2x+3y-2=0.
(2)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段恰

2017版高考数学一轮总复习课件：第9章平面解析几何第五节

第五节抛物线及其性质
第一页，编辑于星期六：十九点五十七分。
第二页，编辑于星期六：十九点五十七分。
知识点一抛物线的定义与方程 1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F(点F不在直线l上)和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛
物线的准线.
(2)满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 ①在平面内； ②动点到定点F距离与到定直线l的距离相等； ③定点不在定直线上.Fra bibliotekx≤0
y≤0
y≥0
第十页，编辑于星期六：十九点五十七分。
►两个易错点：不把抛物线方程标准化；忽略p的符号. (3)[把抛物线方程化成标准方程y2＝mx或x2＝ny的形式再进行相关求解]若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为______.
解析由 y＝ax2 得 x2＝1ay，所以－41a＝2，a＝－18. 答案－18
第二十八页，编辑于星期六：十九点五十七分。
2.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“ 点差法”以及定义的灵活应用.
第二十九页，编辑于星期六：十九点五十七分。
弦的中点问题求解策略【示例】 (2014·银川质量检测)已知一条过点P(2，1)的直线与抛
④弦长 AB＝sin22pα(α 为 AB 的倾斜角).
第十三页，编辑于星期六：十九点五十七分。
⑤以 AB 为直径的圆与准线相切. ⑥焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90°]若抛物线 y2＝2x 上的两点 A，B 到焦点的距离之和是 5，则线段 AB 中点的横坐标是________. 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，又 p＝1，则|AB|＝x1＋x2＋p ＝x1＋x2＋1＝5，所以 x1＋x2＝4.线段 AB 中点的横坐标为 x1＋2 x2＝2.

人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件第9章解析几何第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题

(3y1+6-x1-x2)(y-y2)-(y1-y2)(x-x2)=0.
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2

2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第5讲椭圆课时作业含解析北师大版

椭圆课时作业1．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．33 C ．22D ．24答案 C解析因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22，故选C ．2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8答案 D解析椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4.∴m ＝8.3．(2019·杭州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 答案 A解析由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.选A ．4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D ．32答案 B解析 |ON |＝12|MF 2|＝12×(2a －|MF 1|)＝12×(10－2)＝4，故选B ．5．(2019·河南豫北联考)已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．24C ．12 D ．1答案 D解析由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △PAB ＝12×2a ×22＝1，故选D ．6．(2019·吉林长春模拟)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则·的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2]答案 C解析由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴＝(－1－x ，－y )，＝(1－x ，－y )，则·＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C ．7．(2019·湖南郴州模拟)设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．⎝⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)答案 C解析当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C ．8．若椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率是( )A ．2B ．－2C ．13D ．－12答案 D解析设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36，整理，得x 21－x 22＝－4(y 21－y 22)，∴此弦的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4(y 1＋y 2)＝－12，则此直线的斜率为－12. 9．(2020·甘肃联考)设A ，B 是椭圆C ：x 212＋y 22＝1的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M ：x 2＋y 2＝10的一个交点，则||PA |－|PB ||＝( )A ．2 2B ．4 3C ．4 2D ．6 2答案 C解析由题意知，A ，B 恰好在圆M 上且AB 为圆M 的直径，∴|PA |＋|PB |＝2a ＝43，|PA |2＋|PB |2＝(2c )2＝40，∴(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA ||PB |，解得2|PA ||PB |＝8，∴(|PA |－|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2－2|PA ||PB |＝32，则||PA |－|PB ||＝42，故选C ．10．(2020·西安摸底检测)设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A ．463B ．263C ．433D ．233答案 A解析不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA ＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为(－1,1)，∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.11．(2019·山西八校联考)椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为( )A ．53 B ．103C ．203D ．53答案 A解析在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆左、右焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)．由△ABF 2的内切圆周长为π，可得内切圆的半径为r ＝12.△ABF 2的面积＝△AF 1F 2的面积＋△BF 1F 2的面积＝12|y 1|·|F 1F 2|＋12|y 2|·|F 1F 2|＝12(|y 1|＋|y 2|)·|F 1F 2|＝3|y 1－y 2|(A ，B 在x轴的上下两侧)，又△ABF 2的面积＝12r (|AB |＋|BF 2|＋|F 2A |)＝12×12(2a ＋2a )＝a ＝5，所以3|y 1－y 2|＝5，即|y 1－y 2|＝53.12．(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 240＋y 215＝1C ．x 249＋y 224＝1 D ．x 245＋y 220＝1 答案 C解析由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|＝12|FF ′|知，∠FPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，得a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝72－52＝24，所以椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1，故选C ．13．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案33解析设|PF 2|＝m ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m .又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c .∴2a ＝3m,2c ＝3m ，∴C 的离心率为e ＝c a ＝33. 14．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.答案 (3，15)解析设F 1为椭圆的左焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．15．(2019·浙江高考)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案15解析如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F ′(2,0)．线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM ＝2. 在△FF ′P 中，OM 12PF ′，所以PF ′＝4.根据椭圆的定义，得PF ＋PF ′＝6，所以PF ＝2. 又因为FF ′＝4，所以在Rt △MFF ′中，tan ∠PFF ′＝MF ′MF ＝FF ′2－MF 2MF＝15，即直线PF 的斜率是15.16．(2020·南充模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b ax 相交于P ，Q 两点，且·＝0，＝3，则椭圆C 的标准方程为________，圆A 的标准方程为________．答案x 24＋y 2＝1 (x －2)2＋y 2＝85解析如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ，则AT ⊥PQ .∵·＝0，即AP ⊥AQ ， ∴|AT |＝12|PQ |.又＝3， ∴|OT |＝|PQ |. ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12. 由已知得半焦距c ＝3，∴a 2＝4，b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又|AT |2＋|OT |2＝4， ∴|AT |2＋4|AT |2＝4，∴|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105.∴圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.17．(2019·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．解 (1)连接PF 1.由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率为e ＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当 12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c ＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，② x 2a 2＋y 2b 2＝1.③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c2.又由①知y 2＝162c2，故b ＝4.由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c2(c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥4 2. 当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P . 所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．18．(2019·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)．代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即直线BN ⊥l .19．(2019·广东广州联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为26，且过点A (2,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，证明：直线PQ 的斜率为定值．解 (1)因为椭圆C 的焦距为26，且过点A (2,1)，所以4a 2＋1b2＝1,2c ＝2 6.又因为a 2＝b 2＋c 2，由以上三式解得a 2＝8，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2≠2，则y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－84k 2＋1.因为k AP ＋k AQ ＝0，所以y 1－1x 1－2＝－y 2－1x 2－2，化简得x 1y 2＋x 2y 1－(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4＝0. 即2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4m ＋4＝0. 所以2k (4m 2－8)4k 2＋1－8km (m －1－2k )4k 2＋1－4m ＋4＝0，整理得(2k －1)(m ＋2k －1)＝0. 因为直线l 不经过点A ，所以2k ＋m －1≠0，所以k ＝12.所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12.20．(2019·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0)，直线PB 的斜率为k (k ≠0)，因为B (0,2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以直线PB 的斜率为2305或－2305.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第九章平面解析几何学案

第九章平面解析几何1. （原创）设m 为常数，则过点A （2，－1），B （2，m ）的直线的倾斜角是Ｗ. 答案：90°解析：因为过点A （2，－1），B （2，m ）的直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为90°. 2. （必修2P 80练习1改编）若过点M （－2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为Ｗ.答案：1解析：由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，解得m ＝1.3. （原创）若直线l 的斜率k 的变化范围是[－1，3]，则它的倾斜角的变化范围是Ｗ.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：由－1≤k≤3，即－1≤tan α≤3，∴ α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4. （必修2P 80练习6改编）已知两点A （4，0），B （0，3），点C （8，a ）在直线AB 上，则a ＝Ｗ.答案：－3解析：由k AB ＝k BC 得3－4＝a －38，解得a ＝－3.5. （必修2P 80练习4改编）若直线l 沿x 轴的负方向平移2个单位，再沿y 轴的正方向平移3个单位后，又回到原来的位置，则直线l 的斜率为Ｗ.答案：－32解析：设直线上任一点为（x ，y ），平移后的点为（x －2，y ＋3），利用斜率公式得直线l 的斜率为－32.1. 直线倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°；直线的倾斜角α的取值范围是[0，π）Ｗ.2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同.3. 过两点的斜率公式过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式为k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°Ｗ.[备课札记], 1 直线的倾斜角和斜率之间的关系), 1) 如果三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为Ｗ.答案：α1＜α2＜α3解析：由tan α1＝k 1＝1>0，所以α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.tan α2＝k 2＝－12<0，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α2>α1.tan α3＝k 3＝－13<0，所以α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以α3>α2.综上，α1<α2<α3.变式训练已知经过两点A （4，2y ＋1），B （2，－3）的直线的倾斜角为3π4，则y 的值为Ｗ.答案：－3解析：由2y ＋1－（－3）4－2＝2y ＋42＝y ＋2＝tan 3π4，得y ＋2＝－1，所以y ＝－3., 2 求直线的倾斜角和斜率) , 2) 已知两点A （－1，－5），B （3，－2），直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.解：设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，由题意可知tan 2α＝34，∴ 2tan α1－tan 2α＝34. 整理得3tan 2α＋8tan α－3＝0，解得tan α＝13或tan α＝－3.∵ tan 2α＝34>0，∴ 0°<2α<90°，∴ 0°<α<45°，∴ tan α>0，故直线l 的斜率为13.变式训练如图，已知直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1，l 2的斜率.解：直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan 30°＝33. ∵ 直线l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴ 直线l 2的斜率k 2＝tan 120°＝tan （180°－60°）＝－tan 60°＝－ 3. , 3 求直线的倾斜角和斜率的取值范围) , 3) 已知两点A （－3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线l 与线段AB 有公共点.（1）求直线l 的斜率k 的取值范围；（2）求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解：如图，由题意可知，k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.（1）要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.（2）由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间. 又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是[45°，135°]. 变式训练若直线mx ＋y ＋1＝0与连结点A （－3，2），B （2，3）的线段相交，求实数m 的取值范围.解：直线的斜率为k ＝－m ，且直线经过定点P （0，－1），因为直线PA ，PB 的斜率分别为－1，2，所以斜率k 的取值范围是（－∞，－1]∪[2，＋∞），即实数m 的取值范围是（－∞，－2]∪[1，＋∞）.1. 已知A （－1，23），B （0，3a ），C （a ，0）三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α的大小是Ｗ.答案：120°解析：若a ＝0，则点B ，C 重合，不合题意.由A ，B ，C 三点共线得k AB ＝k BC ，即3a －230＋1＝0－3a a －0，解得a ＝1，所以B （0，3）.此三点所在直线的斜率k AB ＝3－230＋1＝－3，即tan α＝－ 3.又0°≤α＜180°，所以α＝120°.2. 直线xcos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：由直线的方程可知其斜率k ＝－cos α3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.设直线的倾斜角为θ，则tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，且θ∈[0，π），所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π. 3. 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值.解：如图，由于点（x ，y ）满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x≤3可知，点P （x ，y ）在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别为A （2，4），B （3，2）.由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x 的最大值为2，最小值为23.4. 已知直线kx ＋y －k ＝0与射线3x －4y ＋5＝0（x≥－1）有交点，求实数k 的取值范围.解：kx ＋y －k ＝0⇒k （x －1）＋y ＝0，直线过定点（1，0）⇒由题意作图可得：由题意可看出： k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.（或者由两直线方程联立，消去y 得x ＝4k －53＋4k ≥－1，即4k －14k ＋3≥0⇒k ≥14或k ＜－34）1. 已知x 轴上的点P 与点Q （－3，1）连线所成直线的倾斜角为30°，则点P 的坐标为Ｗ.答案：（－23，0）解析：设P （x ，0），由题意得k PQ ＝tan 30°＝33，即1－3－x ＝33，解得x ＝－23，故点P 的坐标为（－23，0）.2. 如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则它们的大小关系为Ｗ.答案：k 1＜k 3＜k 2 解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.3. 已知函数f （x ）＝asin x －bcos x.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为Ｗ.答案：3π4解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知，函数f （x ）的图象关于直线x ＝π4对称，所以f （0）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以－b ＝a ，所以直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1.设直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为α，则tan α＝－1，因为α∈[0，π），所以α＝3π4，即直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为3π4.4. 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是Ｗ.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 解析：如图，直线l ：y ＝kx －3过定点P （0，－3）.又A （3，0），所以k PA ＝0－（－3）3－0＝33，所以直线l 的斜率范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，由于直线的倾斜角的取值范围为[0，π），所以满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.1. 求斜率要熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标（x 1≠x 2）时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，倾斜角与斜率的关系是k ＝tanα（α≠90°），其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手，而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范围是[0，π），而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k∈[0，＋∞）；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈（－∞，0）.第2课时直线的方程（对应学生用书（文）123～124页、（理）128～129页）1. （必修2P 82练习1（1）～（4）改编）过点P （－2，0），且斜率为3的直线的方程是Ｗ.答案：y ＝3x ＋6解析：设所求直线方程为y ＝3x ＋b ，由题意可知3×（－2）＋b ＝0，∴ b ＝6，故y ＝3x ＋6.2. （必修2P 87练习4改编）如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件Ｗ.答案：a≠0且b ＝c ＝0解析：ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，即x ＝0，∴ b ＝c ＝0，a ≠0.3. （必修2P 87练习1改编）直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为Ｗ.答案：－1解析：令x ＝0，得y ＝－4；令y ＝0，得x ＝3. 故直线在两坐标轴上的截距之和为－4＋3＝－1.4. （必修2P 85练习4改编）下列说法中正确的是Ｗ.（填序号） ① 经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0＝k （x －x 0）表示； ② 经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示；③ 不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示；④ 经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）（x 2－x 1）＝（x －x 1）（y 2－y 1）表示.答案：④解析：对于①②，斜率有可能不存在，对于③，截距也有可能为0. 5. （必修2P 85练习2（2）（3）改编）若一直线经过点P （1，2），且在y 轴上的截距与直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距相等，则该直线的方程是Ｗ.答案：3x －y －1＝0解析：直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距为－1，由题意，所求直线过点（0，－1），又所求直线过点P （1，2），故由两点式得直线方程为y ＋12＋1＝x －01－0，即3x －y －1＝0.1. 直线方程的五种形式111222（1）当x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1Ｗ. （2）当x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1Ｗ. （3）当x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0Ｗ. （4）当x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0Ｗ. （5）直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系如下表：若点P 1，P 2的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），且线段P 1P 2的中点M 的坐标为（x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式., 1 求直线方程), 1) 已知直线l 过点P （5，2），分别求满足下列条件的直线方程. （1）直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍；（2）直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52.解：（1）当直线l 过原点时，直线l 的斜率为25，∴ 直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线l 不过原点时，设直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将x ＝5，y ＝2代入得a ＝92，∴ 直线方程为x ＋2y －9＝0.综上，直线l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0. （2）显然直线与坐标轴不垂直. ∵ 直线l 经过点P （5，2），且能与坐标轴围成三角形，∴ 可设直线l 的方程为y －2＝k （x －5）（k≠0），则直线在x 轴上的截距为5－2k，在y 轴上的截距为2－5k ，由题意，得12|5－2k |·|2－5k|＝52，即（5k －2）2＝5|k|.当k>0时，原方程可化为（5k －2）2＝5k ，解得k ＝15或k ＝45；当k<0时，原方程可化为（5k －2）2＝－5k ，此方程无实数解；故直线l 的方程为y －2＝15（x －5）或y －2＝45（x －5），即x －5y ＋5＝0或4x －5y －10＝0.变式训练求过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.解：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点（－3，4），从而－3a＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. , 2 含参直线方程问题), 2) 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 （k∈R ）. （1）求证：直线l 过定点；（2）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；（3）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.（1）证明：直线l 的方程是k （x ＋2）＋（1－y ）＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， ∴ 无论k 取何值，直线l 总经过定点（－2，1）.（2）解：由方程知，当k≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k≥1，解得k>0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k≥0.（3）解：由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B （0，1＋2k ）.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0.∵ S ＝12·OA ·OB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k|＝12·（1＋2k ）2k ＝12·⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×（2×2＋4）＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴ S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0. 变式训练已知直线l 的方程为（m 2－2m －3）x ＋（2m 2＋m －1）y ＋6－2m ＝0. （1）求实数m 的取值范围；（2）若直线l 的斜率不存在，求实数m 的值；（3）若直线l 在x 轴上的截距为－3，求实数m 的值；（4）若直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值. 解：（1）当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或m ＝3；令2m 2＋m －1＝0解得m ＝－1或m ＝12.所以实数m 的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）.（2）由（1）易知，当m ＝12时，方程表示的直线的斜率不存在.（3）依题意，有2m －6m 2－2m －3＝－3，所以3m 2－4m －15＝0，所以m ＝3或m ＝－53，由（1）知所求m ＝－53.（4）因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1.由－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43或m ＝－1（舍去）.所以当直线l 的倾斜角为45°时，m ＝43., 3 直线方程的综合应用), 3) 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图，建立平面直角坐标系，则E （30，0），F （0，20），∴ 线段EF 的方程为x 30＋y20＝1（0≤x≤30）.在线段EF 上取点P （m ，n ），作PQ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝PQ·PR＝（100－m ）（80－n ）.又m 30＋n 20＝1（0≤m≤30），∴ n ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 30.∴ S ＝（100－m ）⎝⎛⎭⎪⎫80－20＋23m ＝－23（m －5）2＋18 0503（0≤m≤30）.∴ 当m ＝5时，S 有最大值，∴ 当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点距AD 边5 m 时，草坪面积最大.备选变式（教师专享）如图，互相垂直的两条道路l 1，l 2相交于点O ，点P 与l 1，l 2的距离分别为2千米、3千米，过点P 建一条直线道路AB ，与l 1，l 2分别交于A ，B 两点.（1）当∠BAO＝45°时，试求OA 的长；（2）若使△AOB 的面积最小，试求OA ，OB 的长.解：以l 1为x 轴，l 2为y 轴，建立平面直角坐标系，则O （0，0），P （3，2）. （1）由∠BAO＝45°知，OA ＝OB ，可设A （a ，0），B （0，a ）（a ＞0），直线l 的方程为x a ＋ya＝1.∵ 直线l 过点P （3，2），∴ 3a ＋2a＝1⇒a ＝5，即OA ＝5千米. （2）设A （a ，0），B （0，b ）（a ＞0，b ＞0），则直线l 的方程为x a ＋yb＝1.∵ 直线l 过点P （3，2），∴ 3a ＋2b ＝1，b ＝2aa －3（a ＞3）.从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3，令a －3＝t ，t ＞0，则a 2＝（t ＋3）2＝t 2＋6t ＋9，故有S △ABO ＝t 2＋6t ＋9t ＝t ＋9t ＋6（t ＞0）.设f （t ）＝t ＋9t＋6，可证f （t ）在（0，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，∴ 当t ＝3时，f （t ）min ＝f （3）＝12，此时a ＝6，b ＝4，直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即OA ＝6千米，OB ＝4千米.1. 若直线（2m 2＋m －3）x ＋（m 2－m ）y ＝4m －1 在x 轴上的截距为1，则实数m 的值是Ｗ.答案：2或－12解析：令y ＝0，则（2m 2＋m －3）x ＝4m －1，∴ x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，∴ m ＝2或－12.2. 若方程（a 2－a －2）x ＋（a 2＋a －6）y ＋a ＋1＝0表示垂直于y 轴的直线，则a 为Ｗ.答案：－1解析：因为方程表示垂直于y 轴的直线，所以a 2－a －2＝0且a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.3. 已知直线l 过点M （1，1），且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.当OA ＋OB 取得最小值时，直线l 的方程是Ｗ.答案：x ＋y －2＝0解析：设A （a ，0），B （0，b ）（a>0，b>0），直线l 的方程为x a ＋yb＝1，已知直线l 过点M （1，1），则OA ＋OB ＝a ＋b ＝（a ＋b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.4. 已知直线l 过点（0，5），且在两坐标轴上的截距之和为2，则直线l 的方程为Ｗ.答案：5x －3y ＋15＝0解析：∵ 直线过点（0，5），∴ 直线在y 轴上的截距为5. ∵ 在两坐标轴上的截距之和为2， ∴ 直线在x 轴上的截距为－3.∴ 直线l 的方程为x －3＋y5＝1，即5x －3y ＋15＝0.5. 已知在△ABC 中，A （1，－4），B （6，6），C （－2，0）.求（1） △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；（2） BC 边的中线所在直线的一般式方程和截距式方程. 解：（1）平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线.因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.（2）因为BC 边上的中点为（2，3），所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.1. 若方程（2m 2＋m －3）x ＋（m 2－m ）y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足条件Ｗ.答案：m≠1解析：2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0.2. 若直线（2t －3）x ＋2y ＋t ＝0不经过第二象限，则t 的取值范围是Ｗ.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 解析：直线方程可化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－t x －t 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32－t≥0，－t2≤0，解得0≤t≤32.3. 不论m 取何值，直线（m －1）x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点 . 答案：（－2，3）解析：把直线方程（m －1）x －y ＋2m ＋1＝0，整理得（x ＋2）m －（x ＋y －1）＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.4. 已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点.若动点P （a ，b ）在线段AB 上，则ab 的最大值为Ｗ.答案：12解析：由题意知A （2，0），B （0，1），所以线段AB 的方程可表示为x2＋y ＝1，x ∈[0，2].又动点P （a ，b ）在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0，2].又a 2＋b≥2ab 2，所以1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，ab 取得最大值12. 5. 已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1），Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程.解：由题意，知P （2，3）在已知直线上， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋1＝0，2a 2＋3b 2＋1＝0， ∴ 2（a 1－a 2）＋3（b 1－b 2）＝0，即b 1－b 2a 1－a 2＝－23，∴ 所求直线方程为y －b 1＝－23（x －a 1），∴ 2x ＋3y －（2a 1＋3b 1）＝0，即2x ＋3y ＋1＝0.1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况.2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值.[备课札记]第3课时直线与直线的位置关系（对应学生用书（文）125～126页、（理）130～131页）1. （原创）“a＝3”是“直线ax ＋3y ＝1与直线x ＋y ＝1平行”的条件. 答案：充要解析：若a ＝3，直线ax ＋3y ＝1与直线x ＋y ＝1显然平行；若直线ax ＋3y ＝1与直线x＋y ＝1平行，由a 1＝ 31 ≠ 11，易得a ＝3.2. （必修2P 93练习6改编）过点P （－1，3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为Ｗ.答案：2x ＋y －1＝0解析：设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，又直线过点P （－1，3），则－2＋3＋c ＝0，c ＝－1，即所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3. （必修2P 95练习3改编）若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝Ｗ.答案：－12解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， ∴ 点（－1，－2）在x ＋ky ＝0上，即－1－2k ＝0，∴ k ＝－12.4.（必修2P 105练习1改编）已知点（a ，2）（a ＞0）到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a .1解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴ |a ＋1|＝ 2.又∵ a＞0，∴ a ＝2－1.5. （必修2P 106习题10改编）与直线7x ＋24y ＝5平行，并且距离等于3的直线方程是Ｗ.答案：7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0解析：设直线方程为7x ＋24y ＋c ＝0，则d ＝|c ＋5|242＋72＝3，∴ c ＝70或－80.1. 两条直线的位置关系设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标Ｗ.若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.若方程组有无数组解，则两条直线重合Ｗ.3. 几种距离（1）两点间的距离：平面上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式：d （A ，B ）＝AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. （2）点到直线的距离：点P （x 1，y 1）到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B2. （3）两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.4. 常见的三大直线系方程（1）与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0（m∈R 且m≠C）. （2）与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0（m∈R ）.（3）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ∈R ），但不包括l 2.5. 中心对称（1）点关于点对称：若点M （x 1，y 1）与N （x ，y ）关于P （a ，b ）对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解.（2）直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程.6. 轴对称（1）点关于直线的对称若两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连结P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A （y 1－y 2）＝B （x 1－x 2），可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标（x 2，y 2）（其中A≠0，x 1≠x 2）.特别地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A|＝|B|，则P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0.（2）直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.[备课札记], 1 两直线的平行与垂直), 1) 已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：（a －1）x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：（1） l 1⊥l 2，且直线l 1过点（－3，－1）；（2） l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解：（1） ∵ l 1⊥l 2，∴ a （a －1）－b ＝0. ∵ 直线l 1过点（－3，－1），∴ －3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2. （2） ∵ 直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴ 直线l 1的斜率存在.∴ k 1＝k 2，即ab＝1－a.∵ 坐标原点到这两条直线的距离相等，∴ l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b.故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.变式训练已知直线l 1经过点A （3，a ），B （a －1，2），直线l 2经过点C （1，2），D （－2，a ＋2），分别在下列条件下求a 的值：（1） l 1∥l 2；（2） l 1⊥l 2.解：设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－（a ＋2）1－（－2）＝－a3.（1）若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率k 1＝－a3.又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a 3，解得a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. （2）若l 1⊥l 2.① 当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意.② 当k 2≠0时，直线l 2的斜率存在，此时k 1＝2－aa －4.由k 2k 1＝－1，得－a 3·2－aa －4＝－1，解得a ＝3或a ＝－4.经检验，当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2. , 2 两直线的交点) , 2) 已知△ABC 的顶点B （3，4），AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求AC 的长.解：∵ k CE ＝－23，AB ⊥CE ，∴ k AB ＝32， ∴ 直线AB 的方程为3x －2y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －1＝0，2x －3y ＋1＝0，解得A （1，1），设C （a ，b ），则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2，4＋b 2，∵ C 点在CE 上，BC 的中点D 在AD 上， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b －16＝0，2·3＋a 2－3·4＋b2＋1＝0，得C （5，2），由两点间距离公式得AC 的长为17. 变式训练已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程.解：依题意知：k AC ＝－2，A （5，1），∴ l AC ：2x ＋y －11＝0.联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴ C （4，3）.设B （x 0，y 0），则AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴ B （－1，－3）， ∴ k BC ＝65，∴ 直线BC 的方程为y －3＝65（x －4），即6x －5y －9＝0., 3 点到直线及两平行直线之间的距离) , 3) 已知点P （2，－1）.（1）求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；（2）求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解：（1）过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，－1），可见，过P （2，－1）且垂直于x 轴的直线满足条件. 此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k （x －2），即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.（2）过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线，由l⊥OP，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2（x －2），即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.（3）不存在.理由：由（2）可知，过P 点不存在到原点距离大于5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.备选变式（教师专享）已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点. （1）若点A （5，0）到l 的距离为3，求直线l 的方程；（2）求点A （5，0）到直线l 的距离的最大值. 解：（1）由直线l 经过直线l 1与l 2交点知，其直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.∵ 点A （5，0）到直线l 的距离为3，∴ |10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴ λ＝2或λ＝12，∴ 直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.（2）设直线l 1与l 2的交为P ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得P （2，1），如图，过点P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d≤PA（当l⊥PA 时等号成立）.∴ d max ＝PA ＝（5－2）2＋（0－1）2＝10., 4 对称问题), 4) 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A （－1，－2）.求：（1）点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；（2）直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程；（3）直线l 关于点A （－1，－2）对称的直线l′的方程. 解：（1）设A′（x ，y ），由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴ A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. （2）在直线m 上任取一点，如M （2，0），则M （2，0）关于直线l 的对称点必在m′上.设对称点为M′（a ，b ），则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，解得N （4，3）.∵ m ′经过点N （4，3），∴ 由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.（3）设P （x ，y ）为l′上任意一点，则P （x ，y ）关于点A （－1，－2）的对称点为P′（－2－x ，－4－y ）.∵ P ′在直线l 上，∴ 2（－2－x ）－3（－4－y ）＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 备选变式（教师专享）光线通过点A （2，3），在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射，反射光线经过点B （1，1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程.解：设点A （2，3）关于直线l 的对称点为A′（x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解得A′（－4，－3）.由于反射光线经过点A′（－4，－3）和B （1，1），所以反射光线所在直线的方程为y －1－3－1＝x －1－4－1，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13.所以入射光线所在直线的方程为y －3－13－3＝x －2－23－2，即5x －4y ＋2＝0.1. （2016·上海卷文）已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2.解析：利用两平行线间距离公式得d ＝|－1－1|22＋12＝255. 2. 将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m ，n ）重合，则m ＋n 的值是Ｗ.答案：345解析：点（0，2）与点（4，0）关于y －1＝2（x －2）对称，则点（7，3）与点（m ，n ）也关于y －1＝2（x －2）对称，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋32－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋72－2，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.∴ m ＋n ＝345. 3. 已知l 1，l 2是分别经过A （1，1），B （0，－1）两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是 .答案：x ＋2y －3＝0解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大.因为A （1，1），B （0，－1），所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12（x－1），即x ＋2y －3＝0.4. 在平面直角坐标系中，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，－1）的距离之和最小的点的坐标是Ｗ.答案：（2，4）解析：设P 为平面上一点，则由三角形两边之和大于第三边知PA ＋PC≥AC，PB ＋PD≥BD，所以四边形ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC 的方程为y －2＝2（x －1），直线BD 的方程为y －5＝－（x －1），由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2（x －1），y －5＝－（x －1），得交点坐标为（2，4）.5. △ABC 的两条高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为（1，2），求BC 边所在直线的方程.解：可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB ，AC 边上的高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，则可求得AB ，AC 边所在直线的方程分别为y －2＝－32（x －1），y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得B （7，－7），由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得C （－2，－1），所以BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0.1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：（2k －1）x ＋ky ＋1＝0，则当实数k 变化时，原点O 到直线l 的距离的最大值为Ｗ.答案： 5解析：直线l 过定点P （1，－2），原点O 到直线l 的距离的最大值即为OP ＝12＋（－2）2＝ 5.2. 若过点P （1，2）作一直线l ，使点M （2，3）和点N （4，－1）到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为Ｗ.答案：2x ＋y －4＝0或x ＋2y －5＝0解析：当直线l 经过MN 的中点时，其方程为x ＋2y －5＝0；当过M ，N 两点的直线平行于直线l 时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0.3. 已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是Ｗ.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.（若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行）∴ 交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.∵ 交点位于第一象限，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.∴ 实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12. 4. 已知直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的斜率为Ｗ.答案：－3或13解析：（解法1）在直线l 上任取一点P （x ，y ），点P 到直线l 1和直线l 2的距离相等.|2x －y －2|22＋（－1）2＝|x ＋2y －1|12＋22，整理得，直线l 的方程为3x ＋y －3＝0或x －3y －1＝0，所以直线l 的斜率为－3或13.（解法2）设l 1的倾斜角为α.因为l 1⊥l 2，所以l 的倾斜角为α±π4，所以直线l 的斜率为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 因为tan α＝2，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝－3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝13，所以直线l 的斜率为－3或13.1. 在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系.解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题.判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论.2. 运用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2求两平行直线间的距离时，一定要把x ，y 项系数化为相等的系数.3. 对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系.[备课札记]第4课时圆的方程（对应学生用书（文）127～128页、（理）132～133页）1. （必修2P 111练习4改编）圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是Ｗ. 答案：（2，－3）解析：由（x －2）2＋（y ＋3）2＝13知，圆心坐标为（2，－3）. 2. （必修2P 111习题7改编）已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为Ｗ.答案：（x －2）2＋y 2＝10解析：设圆心坐标为（a ，0），易知（a －5）2＋（－1）2＝（a －1）2＋（－3）2，解得a ＝2，∴ 圆心为（2，0），半径为10，∴ 圆C 的标准方程为（x －2）2＋y 2＝10.3. （必修2P 111练习6改编）经过三点A （1，－1），B （1，4），C （4，－2）的圆的一般方程为Ｗ.答案：x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A ，B ，C 三点代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，∴ 所求圆的一般方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.4. 已知点P （1，1）在圆x 2＋y 2－ax ＋2ay －4＝0的内部，则a 的取值范围是Ｗ. 答案：（－∞，2）解析：由圆的一般方程知a∈R ，因为点P 在圆内，所以1＋1－a ＋2a －4<0，解得a<2.5. （原创）已知实数x ，y 满足x 2＋（y ＋3）2＝4，则（x －3）2＋（y －1）2的最大值为Ｗ.答案：49解析：（x －3）2＋（y －1）2表示圆x 2＋（y ＋3）2＝4上一动点P （x ，y ）到点（3，1）的距离d 的平方，因为圆心（0，－3）到点（3，1）的距离为5，所以d 的最大值为5＋2＝7，所以d 2的最大值为49.1. 圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径Ｗ.2. 圆的标准方程（1）以（a ，b ）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2Ｗ.（2）特殊的，x 2＋y 2＝r 2（r>0）的圆心为（0，0），半径为r Ｗ. 3. 圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. （1）当D 2＋E 2－4F>0时，该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E22（2）当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2；（3）当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形.4. 点与圆的位置关系点M （x 0，y 0）与圆（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2的位置关系：（1）若M （x 0，y 0）在圆外，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2>r 2Ｗ.（2）若M （x 0，y 0）在圆上，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＝r 2Ｗ.（3）若M （x 0，y 0）在圆内，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2<r 2Ｗ. [备课札记]1 确定圆的方程) 1) 求经过点A （－2，－4），且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B （8，6）的圆的方程.解：（解法1）设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，∴ k CB ＝6＋E 28＋D 2.∵ 圆C 与直线l 相切，∴ k CB ·k l ＝－1，即6＋E 28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1 ①.又有（－2）2＋（－4）2－2D －4E ＋F ＝0 ②，又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0 ③.联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，∴ 所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0. （解法2）设圆的圆心为C ，则CB⊥l，可得CB 所在直线的方程为y －6＝3（x －8），即3x －y －18＝0 ①. 由A （－2，－4），B （8，6），得AB 的中点坐标为（3，1）.又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴ AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－（x －3），即x ＋y －4＝0 ②.由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴ 所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252， ∴ 所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.变式训练圆经过点A （2，－3）和B （－2，－5）. （1）若圆的面积最小，求圆的方程；（2）若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程. 解：（1）要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C （0，－4），半径r ＝12AB ＝5，所以所求圆的方程为x 2＋（y ＋4）2＝5.（2）因为k AB ＝12，AB 中点为（0，－4），所以AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为（－1，－2）.根据两点间的距离公式，得半径r ＝10，因此，所求的圆的方程为（x ＋1）2＋（y ＋2）2＝10.备选变式（教师专享）已知一圆的圆心在原点，且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，求圆的方程. 解：如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°，而圆心O （0，0）到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36., 2 与参数有关的圆方程问题), 2) 已知圆C 的方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a ＋1＝0.（1）若圆C 上任意点A 关于l ：x ＋2y －5＝0的对称点也在圆上，求实数a 的值；（2）求圆心C 到直线ax ＋y －a 2＝0的距离的取值范围.解：（1）将圆C 的方程配方得（x －a ）2＋（y ＋1）2＝a 2－a.由题意知圆心C （a ，－1）在直线l ：x ＋2y －5＝0上，即a －2－5＝0，所以a ＝7.（2）由圆方程可知， a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0.由方程得圆心C （a ，－1）到直线ax ＋y －a 2＝0的距离d ＝|a 2－1－a 2|a 2＋1＝1a 2＋1.因为a ＞1或a ＜0，所以a 2＋1＞1，所以0＜d ＜1，所以所求距离的取值范围为（0，1）.变式训练已知圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝1，设平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为Ｗ. 答案：37解析：作出可行域，如图，由题意知，圆心为C （a ，b ），半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.而直线y ＝1与可行域边界的交点为A （6，1），B （－2，1），目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.备选变式（教师专享）设△ABC 顶点坐标为A （0，a ），B （－3a ，0），C （3a ，0），其中a>0，圆M 为△ABC 的外接圆.（1）求圆M 的方程；（2）当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由.解：（1）设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵ 圆M 过点A （0，a ），B （－3a ，0），C （3a ，0）∴ ⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a ，∴ 圆M 的方程为x 2＋y 2＋（3－a ）y －3a ＝0.（2）圆M 的方程可化为（3＋y ）a －（x 2＋y 2＋3y ）＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3. ∴ 圆M 过定点（0，－3）., 3 圆方程的应用), 3) 如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹.为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l ，m ，欲再新建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上（点P ，Q 分别在点O 的正东，正北方向上），且要求PQ 与圆A 相切.（1）当点P 距O 处2百米时，求OQ 的长；（2）当公路PQ 长最短时，求OQ 的长.。

2019届高考数学文科人教新课标版一轮复习课件：第9章平面解析几何第5讲第2课时

4－t2－2 4－t2＋2 则 k1＋k2＝－＝－1，得 t＝2，不符合题 2t 2t x2 2 设．从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)．将 y＝kx＋m 代入＋y 4 ＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0．
解：(1)由题意知，以椭圆 C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x－c)2＋y2＝a2， |c＋1| 所以圆心到直线 x＋y＋1＝0 的距离 d＝＝a，(*) 2 因为椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，所以 b＝c，a＝ 2b＝ 2c，代入(*)式得 b＝c＝1，所以 a＝ 2b＝ 2， x2 2 故所求椭圆方程为＋y ＝1． 2
x2 y2 (2)证明：将直线 AM 的方程 y＝k(x＋2)(k＞0)代入＋＝1， 4 3 得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0． 16k2－12 2（3－4k2）由 x1·(－2)＝， 2 ，得 x1＝ 2 3＋4k 3＋4k
2 12 1 ＋ k 故|AM|＝|x1＋2| 1＋k2＝ 2 ． 3＋4k
所以 t∈(－2，0)∪(0，2)．综上可得 t∈(－2，2)．
考点二
椭圆中定点、定值问题
x2 y2 (2017· 高考全国卷Ⅰ)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)， a b 3 3 四点 P1(1，1)，P2(0，1)，P3(－1， )，P4(1， )中恰有三 2 2 点在椭圆 C 上． (1)求 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A， B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．
1 由题设，直线 AN 的方程为 y＝－k(x＋2)，故同理可得|AN| 12k 1＋k2 ＝． 3k2＋4 2 k 由 2|AM|＝|AN|，得， 2＝ 2 3＋4k 3k ＋4 即 4k3－6k2＋3k－8＝0．

高三数学(文)一轮复习(课件+课时跟踪训练)第九章平面解析几何 (5)

师
基
引
领
考点突
拓视野
破
提能力
第16页
第九章第五节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
[解析] 由已知可得△F1AB 的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋
吃 |BF2|＝4a＝8.
透
教
材夯
[答案] 8
名
双
师
基
引
领
考点突
拓视野
破
提能力
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第九章第五节
)
吃
透
13
525
教材
A. 3 B. 3 C.3 D.9
夯
名
双
师
基
引
领
考点突
拓视野
破
提能力
第14页
第九章第五节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
[解析] 根据题意知，a＝3，b＝2，则 c＝ a2－b2＝ 5，
吃透教
∴椭圆的离心率 e＝ac＝ 35，故选 B.
材
夯双
高考概览
吃
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.了解
透
教材
圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
夯
名
双
师
基
引
领
考点突
拓视野
破
提能力
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第九章第五节
与名师对话·系列丛书
吃透教材夯双基考点突破提能力
第4页
高考总复习·课标版·数学（文）
吃透教材夯双基

高考数学一轮复习第九章平面解析几何

第九章平面解析几何1.平面解析几何初步 (1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2.圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).(4)了解曲线与方程的对应关系. (5)理解数形结合的思想. (6)了解圆锥曲线的简单应用.§9.1 平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________.(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝__________________________.②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝ . 2.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________.(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______).当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率.倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝.3.直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距.注：截距____________距离(填“是”或“不是”).(2)直线方程的五种形式：名称方程适用范围点斜式①k存在斜截式②k存在两点式③④截距式⑤a≠0且b≠0一般式⑥平面直角坐标系内的所有直线注：斜截式是________的特例；截距式是________的特例.(3)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程①若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为____________；②若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为____________；③若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为____________；④若x1≠x2，且y1＝y2＝0，直线即为x轴，方程为____________.自查自纠：1.(1)|x2－x1|(2)①()x2－x12＋()y2－y12②x1＋x22y1＋y222.(1)正向平行重合0°≤α<180°(2)正切值tanα90°＝> < 90°(3)y2－y1x2－x13.(1)横坐标a纵坐标b不是(2)①y－y0＝k(x－x0) ②y＝kx＋b③y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1④x1≠x2且y1≠y2⑤xa＋yb＝1 ⑥Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)点斜式两点式(3)①x＝x1②y＝y1③x＝0 ④y＝0过点M(－1，m)，N(m＋1，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A.1B.12C.2D.13解：由4－mm＋2＝1，得m＝1.故选A.直线3x－3y＋1＝0的倾斜角是( )A.30°B.60°C.120°D.135°解：直线方程可变形为y＝3x＋33，tanα＝3，∵倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝60°.故选B.过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距2倍的直线方程是( )A.2x＋y－12＝0B.2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C.x－2y－1＝0D.x－2y－1＝0或2x－5y＝0解：当直线过原点时所求方程为2x－5y＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为xa＋y2a＝1，由该直线过点(5，2)即可解得a＝6，对应方程为x6＋y12＝1，即2x＋y－12＝0，故选B.若直线斜率的绝对值为3，则直线的倾斜角为________.解：∵|k|＝|tanα|＝3，α∈[0，π).∴tanα＝±3，α＝π3或2π3.故填π3或2π3.下列四个命题中真命题有______个.①经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；②经过任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示；④经过定点(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.解：①当k不存在时，直线方程为x＝x0，不正确；②正确；③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；④k可能不存在，不正确.故填1.类型一直线的倾斜角和斜率(1)已知直线l经过A(cosθ，sin2θ)和B(0，1)不同的两点，求直线l倾斜角的取值范围.解：当cosθ＝0时，sin2θ＝1－cos2θ＝1，此时A，B重合.∴cosθ≠0.∴k＝1－sin2θ0－cosθ＝－cosθ∈[－1，0)∪(0，1].因此倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.(2)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________.解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－3，故填33；－3.点拨：①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量.倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系.②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈[0，π)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题.(1)设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A.a ＋b ＝1B.a －b ＝1C.a ＋b ＝0D.a －b ＝0 解：由题意得sin α＝－cos α，显然cos α≠0，则tan α＝－1，∴－a b＝－1，a ＝b ，a －b ＝0.故选D.(2)已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.解：∵直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点，∴k AB ＝m 2－11－2＝1－m 2.又∵m ∈R ，∴k AB ∈(－∞，1]，其倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.类型二求直线方程根据所给条件求直线的方程.(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sin α＝1010(α∈[0，π))，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ±3y＋4＝0.(2)若截距不为0，设直线的方程为x a ＋ya＝1，∵直线过点(－3，4)，∴－3a ＋4a＝1，解得a ＝1.此时直线方程为x ＋y －1＝0.若截距为0，设直线方程为y ＝kx ，代入点(－3，4)，有4＝－3k ，解得k ＝－43，此时直线方程为4x＋3y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －1＝0或4x ＋3y ＝0.(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x －5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得||10－5k 1＋k2＝5，解得k ＝34.此时直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.点拨：本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱.(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线.求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5. 解：∵直线y ＝－3x ＋1的倾斜角α＝120°.∴所求直线的倾斜角为30°.(1)所求直线方程是：y＋1＝tan30°(x－3)，即3x－3y－6＝0.(2)所求直线方程为：y＝33x－5，即3x－3y－15＝0.类型三直线方程的应用已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，求||PA＋||PB的最小值.解：设点A1(x1，y1)与A(4，－1)关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，∴||P0A1＝||P0A，||PA1＝||PA.∴||PA＋||PB＝||PA1＋||PB≥||A1B＝||A1P0＋||P0B＝||P0A＋||P0B.当P点运动到P0点时，||PA＋||PB取到最小值||A1B.∵点A，A1关于直线l对称，∴由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y1＋1x1－4×1＝－1，x1＋42－y1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，y1＝3，即A1(0，3).∴(||PA＋||PB)min＝||A1B＝82＋（－1）2＝65.点拨：平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础.求A关于l的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据.(2013·湖南)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )A.2B.1C.83D.43解：以AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，得△ABC的重心D⎝⎛⎭⎪⎫43，43，设P(m，0)，m∈(0，4)，则点P关于直线BC，AC的对称点分别为P1(4，4－m)，P2(－m，0)，由于D，P1，P2三点共线，∴kP1D＝kP2D，即43－（4－m）43－4＝4343＋m，解得m＝43或0.又∵m∈(0，4)，∴m＝43.故选D.1.直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k＝tanα的图象(如图)来解决.这里，α∈[0，π)，k的范围是两个不连续的区间.在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在分类进行讨论.2.直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距可能为0.3.在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单.4.对于直线方程来说，要注意的是：每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目.在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形.如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A2＋B2≠0而出现增解.5.求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，求出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，从而写出直线方程.1.下列命题中，正确的是( )A.直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是αB.直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC.直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D.直线的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增解：因为直线的斜率k ＝tan θ，且θ∈[0，π)时，θ才是直线的倾斜角，所以A 不对；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝π2时，直线的斜率不存在，所以B 不对；当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，斜率大于0；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率小于0，C 不对.故选D.2.已知直线的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A.y ＝3x ＋2B.y ＝－3x ＋2C.y ＝－3x －2D.y ＝3x －2解：∵k ＝tan120°＝－3，且直线在y 轴上的截距为－2，∴由斜截式得y ＝－3x －2.故选C.3.已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( )A.1B.－1C.－2或－1D.－2或1解：显然a ≠0，由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a＝－2或1.故选D.4.已知直线l 过点(0，2)，且其倾斜角的余弦值为45，则直线l 的方程为( )A.3x －4y －8＝0B.3x ＋4y －8＝0C.3x ＋4y ＋8＝0D.3x －4y ＋8＝0解：∵cos α＝45，α∈[0，π)，∴sin α＝35，k ＝tan α＝34.∴直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x－4y ＋8＝0.故选D.5.若A (a ，b )，B (c ，d )是直线y ＝mx ＋n 上的两点，那么A ，B 间的距离为( )A.||a －c 1＋m 2B.||a －c (1＋m 2) C.||a －c 1＋m2D.||a －c ·||m 解：||AB ＝（a －c ）2＋（b －d ）2＝（a －c ）2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －d a －c 2 ＝（a －c ）2（1＋m 2）＝||a －c ·1＋m 2.故选A.6.(2013·北京海淀模拟)已知点A (－1，0)，B (cos α，sin α)，且||AB ＝3，则直线AB 的方程为( )A.y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B.y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C.y ＝x ＋1或y ＝－x －1D.y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解：∵||AB ＝（cos α＋1）2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，∴cos α＝12，sin α＝±32.当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32时，直线AB 的方程为y ＝33x ＋33；当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32时，直线AB 的方程为y ＝－33x －33.故选B. 7.直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是____________.解：由题意得直线l 的斜率k ＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33，∴直线l 的斜率为33.故填33. 8.(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.解：在四边形ABCD 所在平面内任取一点P ，则PA ＋PC ≥AC ，PB ＋PD ≥BD ，∴PA ＋PB ＋PC ＋PD ≥AC ＋BD ，当且仅当P 为AC 与BD 的交点时取等号，此时点P 到点A ，B ，C ，D 的距离之和最小.易知直线AC 的方程为y ＝2x ，直线BD 的方程为y ＝－x ＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即所求点P 的坐标为(2，4).故填(2，4).9.设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距是－3； (2)直线l 的斜率是1.解：(1)令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意知2m －6＝－3，解得m ＝32.(2)∵直线l 的斜率存在， ∴m ≠0.于是直线l 的方程化为y ＝－1m x ＋2m －6m. 由题意知－1m＝1，解得m ＝－1.10.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，求1a ＋1b的值.解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a＋1b ＝12. 11.已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程.解：设所求直线l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵k ＝16，∴－b a ＝16，得a ＝－6b.又S △ABC ＝12|a |·|b |＝3，∴|ab |＝6.联立⎩⎨⎧a ＝－6b ，||ab ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－1.∴所求直线方程为：x －6＋y 1＝1或x 6＋y－1＝1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.已知△ABC 中，顶点A (4，5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值.解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于B ，交x 轴于C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0，7).易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝（4－0）2＋（－5－7）2＝410.§9.2 两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________.(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________.2.两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有惟一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________；若方程组有无穷多解，则两条直线____________.3.距离公式(1)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ .(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________.4.过两直线交点的直线系方程若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，这条直线可以是l 1，但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程.自查自纠：1.(1)k 1＝k 2 l 1∥l 2 (2)k 1k 2＝－1 l 1⊥l 22.相交交点的坐标无公共点平行重合3.(1)||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2(2)||C1－C 2A 2＋B 2若直线l 过点(－1，2)，且与直线y ＝23x垂直，则直线l 的方程是( )A.3x ＋2y －1＝0B.3x ＋2y ＋7＝0C.2x －3y ＋5＝0D.2x －3y ＋8＝0解：由条件知，直线l 的斜率k ＝－32，∴其方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.故选A.若直线2ay －1＝0与直线(3a －1)x ＋y －1＝0平行，则实数a 等于( )A.12B.－12C.13D.－13解：因为两直线平行，所以3a －1＝0，即a ＝13.故选C.“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：充分性显然成立，若“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”，则(－1)×1a＝－1，解得a ＝1，必要性也成立.故选C.点A (4，5)关于直线l 的对称点为B (－2，7)，则l 的方程是____________.解：由题意得k AB ＝7－5－2－4＝－13，∵k l ⊥k AB ，∴k l ＝3.又线段AB 的中点在直线l 上，∴直线l 过点(1，6).∴直线l 的方程为y －6＝3(x －1)，即3x －y ＋3＝0.故填3x －y ＋3＝0.已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为____________.解：l 2可以化为3x ＋4y ＋12＝0，两直线平行，由两平行直线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－7－125＝32.故填32.类型一两条直线平行、重合或相交已知两条直线：l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.解：联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＋6＝0，（m －2）x ＋3y ＋2m ＝0.当m ＝0或m ＝2时两直线相交；当m ≠0或2时，此时A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m，当A 1A 2＝B 1B 2时，即1m －2＝m 3，解得m ＝－1或m ＝3；当A 1A 2＝C 1C 2时，即1m －2＝62m ，解得m ＝3. (1)当m ≠－1且m ≠3时，A 1A 2≠B 1B 2，方程组有唯一一组解.∴l 1与l 2相交.(2)当m ＝－1时，A 1A 2＝B 1B 2且A 1A 2≠C 1C 2，方程组无解. ∴l 1与l 2平行.(3)当m ＝3时，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，方程组有无穷多组解.∴l 1与l 2重合.点拨：由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用本题的结论，即：若A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，则直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零.当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x＋my －1＝0，l 2：3x －2y －5＝0，l 3：6x ＋y －5＝0不能围成三角形.解：记l 1，l 2，l 3三条直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 2＝32，k 3＝－6.若l 1∥l 2，或l 1∥l 3，则k 1＝k 2＝32，或k 1＝k 3＝－6，解之得m ＝－2或m ＝12；若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －5＝0，6x ＋y －5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， l 2与l 3交于点(1，－1)，将点(1，－1)代入3x ＋my －1＝0，得m ＝2.∴当m ＝±2或12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形.类型二两条直线垂直直线l 1：x ＋3y ＝7与直线l 2：kx －y＝2，以及与x ，y 轴围成的凸四边形有外接圆，求实数k 的值.解：结合图形分析，如图所示，由直线l 1，l 2及x ，y 轴所围成四边形为OABC ，其有外接圆的充要条件是对角互补.∵∠COA ＝90°，∴∠CBA ＝90°，即l 1⊥l 2.∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，解得k ＝3.点拨：(1)给定两直线：l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(或y ＝k 1x ＋b 1)；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(或y ＝k 2x ＋b 2).直线l 1⊥l 2的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0(或k 1k 2＝－1).认识此充要条件请把握好以下两点：①k 1k 2＝－1是A 1A 2＋B 1B 2＝0在一般式中两直线斜率均存在情况下的等价形式；②A 1A 2＋B 1B 2＝0含两条直线中一条直线斜率不存在而另一条直线斜率为零这一特殊的情形，此时两直线也垂直.(2)解析几何是用代数的方法解决几何问题，所以灵活运用平面几何中相关的性质、定理会使求解过程简捷、明快，这里应用了四边形有外接圆的充要条件：对角互补.(2013·北京一模)已知直线l 1：ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，则“a ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：当a ＝－2时，l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：x －2y ＋2＝0，k 1＝－2，k 2＝12，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2，充分性成立；反之，由l 1⊥l 2得a ·1＋(a ＋1)·a ＝0，解得a ＝－2或0，必要性不成立.综上知，故选A.类型三对称问题求直线l ：x －2y ＋6＝0关于点M (－1，1)对称的直线l ′的方程.解法一：取l 上的两点A (0，3)，B (－6，0)，求出它们关于点M 的对称点，A ′(－2，－1)，B ′(4，2)，再用两点式求出l ′的方程为x －2y ＝0.解法二：设点P ′(x ′，y ′)为所求直线l ′上的任意一点，则点P ′关于点M 在直线l 上的对称点为P (x ，y ).由⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x ＋x ′2，1＝y ＋y ′2得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－x ′，y ＝2－y ′，代入直线l 的方程得：(－2－x ′)－2(2－y ′)＋6＝0，得x ′－2y ′＝0，即x －2y ＝0为所求直线l ′的方程.点拨：利用点关于点对称列式，再用相关点间的代换法求l ′，此解法适用于求曲线F (x ，y )＝0关于点对称的曲线方程，具有普遍意义.有关直线与点的对称问题可分为四类：两点关于一点成中心对称；两线关于一点成中心对称；两点关于一直线成轴对称；两线关于一直线成轴对称，前两类较简单，后两类主要应用中点、垂直等条件解决.求曲线关于点或直线对称曲线的主要步骤是：①在已知曲线上任取一点M (x ，y )；②求出这点关于对称中心或对称轴的对称点M ′(x ′，y ′)；③已知曲线方程用x ′，y ′表示，求出所求曲线的方程G (x ′，y ′)＝0.已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，求BC 边所在直线的方程.解：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线.点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上.设A 1(x 1，y 1)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0，3).同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1). ∴BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0.类型四距离问题已知点A (－2，0)，B (0，4)到直线l的距离均为5，求直线l 的方程.解：当点A ，B 在直线l 的同侧时，有AB ∥l ，易得直线AB 的方程为2x －y ＋4＝0，则可设直线l 的方程为2x －y ＋t ＝0，∵两平行直线间的距离为5，∴d ＝|t －4|5＝5，解得t ＝9或－1.直线l 的方程为2x －y ＋9＝0或2x －y －1＝0. 当点A ，B 分居直线l 的两侧时，线段AB 的中点在直线l 上，即点(－1，2)在直线l 上，且直线l 的斜率存在，可设直线l ：y ＝k (x ＋1)＋2，由点到直线的距离公式得d ＝|k －2|k 2＋1＝5，解得k ＝－12，直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.综上，直线l 的方程为2x －y ＋9＝0或2x －y －1＝0或x ＋2y －3＝0.点拨：两点到直线的距离相等，可分为两点在直线同侧和两侧，其中位于直线两侧的情形极易遗漏，应引起注意.对于A ，B 两点在直线l 的两侧，若由|AB |＝25，发现直线l 即线段AB 的中垂线，则更易求解.(2013·武汉四月调研)已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )·(Ax 2＋By 2＋C )>0，且||Ax 1＋By 1＋C <||Ax 2＋By 2＋C ，则直线l ( )A.与直线P 1P 2不相交B.与线段P 2P 1的延长线相交C.与线段P 1P 2的延长线相交D.与线段P 1P 2相交解：由(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，得点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧，设d 1＝||Ax 1＋By 1＋C A 2＋B 2，d 2＝||Ax 2＋By 2＋C A 2＋B 2，由||Ax 1＋By 1＋C <||Ax 2＋By 2＋C 得d 1<d 2，即点 P 1(x 1，y 1)到直线l 的距离小于点P 2(x 2，y 2)到直线l 的距离，数形结合知直线l 与线段P 2P 1的延长线相交.故选B.类型五直线系及其应用求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标.证法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0，①再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0，②①②联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1，2)代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0，故点A (－1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A.证法二：将动直线方程按m 降幂排列整理得， m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A (－1，2).点拨：此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m 只是取两个特殊值，是否m ∈R 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m 的降幂排列，由于∀m ∈R 恒成立，所以得关于x ，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标.直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合.常见直线系方程有：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ).(3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Bx －Ay ＋λ＝0.(4)过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0).已知直线l ：(a ＋b )x ＋(a －b )y ＋2＝0，其中a ，b 满足3a －b ＋2＝0.求证：直线l 恒过一定点.证明：由已知得b ＝3a ＋2，则直线l 的方程可化为(4a ＋2)x －(2a ＋2)y ＋2＝0，整理得 a (4x －2y )＋2x －2y ＋2＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝0，2x －2y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∵点(1，2)恒满足直线l 的方程，∴直线l 恒过定点(1，2).1.无论是判断两条直线平行还是垂直，都是从两方面来讨论的，即两条直线斜率都存在的情况和两条直线至少有一条斜率不存在的情况.2.两条直线平行或垂直时求直线方程中的参数，需分类讨论及数形结合.3.如果能推导出用直线方程一般式表示的两条直线平行、重合或垂直的条件(一般式系数之间的关系)，并记住结论，往往会使问题更易于解决.4.求两条直线交点坐标的方法就是解方程组，利用解方程组也可以判断两条直线的位置关系，即将几何问题转化为代数问题.5.运用公式d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x ，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离.这一方法体现了化归思想的应用.6.点(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b (即y －kx －b ＝0)的距离公式d ＝||y 0－kx 0－b 1＋k2记忆容易，对于知d 求k ，b 很方便.7.对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决.1.过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A.x －2y ＋4＝0B.2x ＋y －7＝0C.x －2y ＋3＝0D.x －2y ＋5＝0解：由点斜式得所求直线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.故选A.2.(2013·山东模拟)已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于( )A.1或－3B.－1或3C.1或3D.－1或－3解：∵直线y ＝ax －2的斜率存在且为a ，∴a＋2≠0，直线3x －(a ＋2)y ＋1＝0可化为y ＝3a ＋2x＋1a ＋2.∵两条直线平行，∴3a ＋2＝a 且1a ＋2≠－2，解得a ＝1或－3.故选A.3.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( )A.(0，4)B.(0，2)C.(－2，4)D.(4，－2)解：∵直线l 1与l 2关于点(2，1)对称，且直线l 1过点(4，0)，∴直线l 2必过点(4，0)关于点(2，1)的对称点(0，2).故选B.4.(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710B.175C.8D.2 解：由题意得36＝4m ≠－314，解得m ＝8.∴直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0.∴两平行线间的距离为d ＝||－3－732＋42＝2.故选D. 5.如果直线(m ＋2)x ＋(m 2＋3m ＋2)y ＝m ＋2与y 轴平行，则m ＝( )A.－1或－2B.－1C.－1或2D.－2 解：∵直线与y 轴平行， ∴m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－1或－2. 当m ＝－1时，直线方程为x ＝1；当m ＝－2时，方程(m ＋2)x ＋(m 2＋3m ＋2)y ＝m ＋2不表示直线，舍去.综上知m ＝－1.故选B.6.已知直线l 1：ax ＋4y ＝2与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0垂直，点(1，c )为垂足，则a ＋b ＋c 等于( )A.－4B.20C.0D.24解：∵l 1⊥l 2，∴2a －20＝0，a ＝10.∴直线l 1的方程为5x ＋2y －1＝0.又∵点(1，c )为垂足，∴点(1，c )在直线l 1，l 2上，有⎩⎪⎨⎪⎧5＋2c －1＝0，2－5c ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，c ＝－2.∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选A. 7.过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，且与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为____________.解：设与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为3x －2y ＋m ＝0，由于其过圆心(－1，2)，所以有3×(－1)－2×2＋m ＝0，得m ＝7，所求直线方程为3x －2y ＋7＝0.故填3x －2y ＋7＝0.8.(2013·北京模拟)l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是____________.解：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大，∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2，两平行线的斜率为k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.故填x ＋2y －3＝0.9.已知△ABC 的顶点B (2，1)，C (－6，3)，其垂心为H (－3，2)，求顶点A 的坐标.解：设顶点A 的坐标为(x ，y ).∵AC ⊥BH ，AB ⊥CH ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BH ＝－1，k AB ·k CH ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝－1，y －1x －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，化简为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝5x ＋33，y ＝3x －5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝－62.∴A 的坐标为(－19，－62).10.设一直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程.解法一：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点为C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C ＝0， ∴C (1，0). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D ＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23.∴CD 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 又l 过点(－1，1)，由两点式得l 的方程为： y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0为所求方程. 解法二：∵与l 1，l 2平行且与它们距离相等的直线方程为：x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.(以下同解法一)解法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0，设所求方程为：(x －y －1)＋λ(x ＋2y －2)＝0，①∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，解得λ＝－3，代入①得2x ＋7y －5＝0.解法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2y 1－1＝0，x 2＋2y 2－3＝0得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0.①又AB 的中点在直线x －y －1＝0上， ∴x 1＋x 22－y 1＋y 22－1＝0.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝43，y 1＋y 22＝13.(以下同解法一)11.证明直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1对任意a ∈R 都通过第一象限，并求出直线不通过第二象限时a 的取值范围.证明：原直线方程可变形为x －2y ＋1＋a (y －3x )＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y －3x ＝0 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35. ∴方程①表示恒过点(15，35)的一条直线.又点(15，35)在第一象限，∴无论a 为何实数，此直线均过第一象限.解：当a ≠2时，直线方程可化为：y ＝3a －1a －2x－1a －2. 若要此直线不通过第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3a －1a －2＞0，－1a －2＜0，解得a ＞2. 又当a ＝2时，原方程可化为：x ＝15，也不经过第二象限.∴当a ≥2时，直线不通过第二象限.(2014·上海)已知P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1的解的情况是( )A.无论k ，P 1，P 2如何，总是无解B.无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解C.存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解D.存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解解：∵点P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)在直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上且斜率存在，∴k ＝b 2－b 1a 2－a 1(a 1≠a 2)，b 1＝b 2－b 1a 2－a 1·a 1＋1，得a 2b 1－a 1b 2＝a 2－a 1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1得(a 1b 2－a 2b 1)x ＝b 2－b 1，即 (a 1－a 2)x ＝b 2－b 1.∴方程组总有唯一解.故选B.§9.3 圆的方程1.圆的定义在平面内，到_________的距离等于__________的点的__________叫圆.确定一个圆最基本的要素是__________和__________.2.圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程：方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)叫做以点____________为圆心，__________为半径长的圆的标准方程.(2)圆的一般方程：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(____________)叫做圆的一般方程.注：将上述一般方程配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以____________为圆心，____________为半径长的圆.3.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，点M (x 0，y 0)，(1)点M 在圆上：________________________； (2)点M 在圆外：_______________________； (3)点M 在圆内：_________________________.自查自纠：1.定点定长集合圆心半径长2.(1)(a ，b ) r(2)D 2＋E 2－4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2 12D 2＋E 2－4F3.(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2(3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A.－1B.1C.3D.－3解：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，∵直线经过圆的圆心(－1，2)，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，得a＝1.故选B.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A.a <－2或a >23B.－23<a <0C.－2<a <0D.－2<a <23解：∵方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，∴D 2＋E 2－4F >0，即a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得－2<a <23.故选D.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径长为5的圆的方程为( )A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B. x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D. x 2＋y 2－2x －4y ＝0 解：由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0变形得y －2＝(a －1)(x ＋1)，∴该直线恒过点C (－1，2).∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y＝0.故选C.(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________.解：∵点(1，0)关于直线y ＝x 的对称点为(0，1)，∴圆心为(0，1).∴圆C 的标准方程为x 2＋(y－1)2＝1.故填x 2＋(y －1)2＝1.圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1，2)的圆的方程是________________.解法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.解法二(数形结合法)：作图，根据圆上的点到圆心的距离为1易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故填x 2＋(y －2)2＝1.类型一求圆的方程已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，并且判断点M (6，9)，N (3，3)，Q (5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外.解法一(待定系数法)：根据已知条件，圆心C (a ，b )是P 1P 2的中点，那么它的坐标为a ＝4＋62＝5，b＝9＋32＝6.再根据两点的距离公式，得圆的半径长是 r ＝|CP 1|＝（4－5）2＋（9－6）2＝10.因此所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10.。

苏教版高考总复习一轮数学精品课件第九章平面解析几何解答题专项第2课时定值、定直线

2 +3 −1 −4
= −4,
则 = −1,即点在定直线 = −1上.

2
解由抛物线定义可知,2 + = 3,解得 = 2,即抛物线的方程为 2 = 4.
由题意,知直线的斜率不为0,设 1 , 1 , 2 , 2 ,直线的方程为
= + 1 ≠ 0 ,
= + 1,
由ቊ 2
消去得 2 − 4 − 4 = 0,Δ = 162 + 16 > 0恒成立,
动点的横、纵坐标关系,进而得出定直线（曲线）方程.
［对点训练2］已知抛物线: 2 = 2 > 0 上一点 2, 到其焦点的距离为3,,
为抛物线上异于原点的两点.延长,分别交抛物线于点,,直线,相交
于点.
（1）若 ⊥ ,求四边形面积的最小值；
3
值为3 3.
（1）求椭圆的方程.
解由题意得

6
= ,

3
1
⋅ ⋅ 2 = 3
2
2 = 2 + 2 ,
3,
= 3,
解得൞ = 3,
= 6,
2
故椭圆的方程为
9
+
2
3
= 1.
（2）若为坐标原点，直线交直线 = 4于点，过点且与直线垂直的直线记
为，直线交轴于点，交直线于点，试判断
2 = 2 + 2 ,
= 2,
则 = 2 5,
解得ቊ
= 4,

= = 5,

2故双曲线Biblioteka 的方程为4−2
16
= 1.
（2）记的左、右顶点分别为1 ,2 ,过点 −4,0 的直线与的左支交于,两点,在

2020版高考文科数学第一轮复习练习：第九章解析几何课后跟踪训练59 Word版含解析

课后跟踪训练(五十九)基础巩固练一、选择题1．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)[解析]　MN 的中点为原点O ，易知|OP |＝|MN |＝2，12∴P 的轨迹是以原点O 为圆心，以r ＝2为半径的圆，除去与x 轴的两个交点．故选D ．[答案]　D2．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )MN → MP → MN → NP →A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x[解析]　设点P 的坐标为(x ，y )，则＝(4,0)，＝(x ＋2，y )，MN → MP →＝(x －2，y )．NP →∴||＝4，||＝，·＝4(x －2)．根据已知条MN → MP → (x ＋2)2＋y 2MN → NP →件得4＝4(2－x )．(x ＋2)2＋y 2整理得y 2＝－8x ，∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .故选B ．[答案]　B3．(2019·浙江杭州七校质量检测)F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线[解析]　当点Q 在双曲线右支上时，延长F 1P 交直线QF 2于点S ，∵QP 是∠F 1QF 2的角平分线，且QP ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝|F 2S |＝(|QS |－1212|QF 2|)＝(|QF 1|－|QF 2|)＝a ，∴点P 的轨迹为圆．同理当点Q 在双曲12线左支时，点P 的轨迹仍是圆．故选B ．[答案]　B4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足＝λ1＋λ2(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C OC → OA → OB →的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线[解析]　设C (x ，y )，因为＝λ1＋λ2，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋OC → OA → OB →λ2(－1,3)，即Error!解得Error!又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x ＋2y ＝5，y ＋3x 103y －x10所以点C 的轨迹为直线，故选A ．[答案]　A5．已知F 是抛物线y ＝x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则14线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝2y －1B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －D ．x 2＝2y －212[解析]　把抛物线方程y ＝x 2化成标准形式x 2＝4y ，可得焦点14F (0,1)，设P (x 0，y 0)，PF 的中点M (x ，y )．由中点坐标公式得Error!∴Error!又∵P (x 0，y 0)在抛物线y ＝x 2上，14∴2y －1＝(2x )2，即x 2＝2y －1.故选A ．14[答案]　A 二、填空题6．一条线段AB 的长为2，两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是__________．[解析]　解法一：设A (a,0)，B (0，b )，AB 中点为M (x ，y )，则a ＝2x ，b ＝2y ，由|AB |＝2，得＝2，即x 2＋y 2＝1.故AB 中点的轨迹为单位(2x －0)2＋(0－2y )2圆．解法二：当A ，B 分别在x 轴，y 轴上时，由直角三角形AOB 斜边上的中线等于斜边的一半可知，中点到原点的距离为1.当点A 或B 与原点重合时，中点到原点的距离也是1，故中点轨迹为单位圆．[答案]　圆7．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (－2,0)，B (2,0)，点P 为动点，且直线AP 与直线BP 的斜率之积为－，则动点P 的34轨迹C 的方程为__________．[解析]　设P 点的坐标为(x ，y )．∵A (－2,0)，B (2,0)，直线AP 与直线BP 的斜率之积为－，34∴·＝－(x ≠±2)．y x ＋2y x －234化简整理得P 点的轨迹C 的方程为＋＝1(x ≠±2)．x 24y 23[答案]　＋＝1(x ≠±2)x 24y 238．(2019·江西红色七校二模)已知动圆C 过点A (－2,0)，且与圆M ：(x －2)2＋y 2＝64相内切，则动圆C 的圆心的轨迹方程为________．[解析]　圆M ：(x －2)2＋y 2＝64，圆心M 的坐标为(2,0)，半径R ＝8.因为|AM |＝4<R ，所以点A (－2,0)在圆M 内．设动圆C 的半径为r ，依题意得r ＝|CA |，且|CM |＝R －r ，即|CM |＋|CA |＝8>|AM |.所以圆心C 的轨迹是中心在原点，焦点为A ，M ，长轴长为8的椭圆，设其方程为＋＝1(a >b >0)，则a ＝4，c ＝2.所以b 2＝a 2－c 2＝x 2a 2y 2b 212.所以动圆C 的圆心的轨迹方程为＋＝1.x 216y 212[答案]　＋＝1x 216y 212三、解答题9．在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝3，求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程．[解]　依题意知直线A 1N 1的方程为y ＝(x ＋2)①m2直线A 2N 2的方程为y ＝－(x －2)②n2设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①×②得y 2＝－(x 2－4)．mn 4由mn ＝3，整理得＋＝1.x 24y 23∵N 1，N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在轨迹M 上，∴轨迹M 的方程为＋＝1(x ≠±2)．x 24y 2310．如图，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P的轨迹方程．[解]　设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则N 点的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)．∵N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 1＋2y －y 1＝2.①又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2，∴＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0，②y －y 1x －x 1①、②联立解得Error!③又点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴x －y ＝1.④2121③代入④，得动点P 的轨迹方程是2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.能力提升练11．在直角坐标平面内，已知两点A (－2,0)，B (2,0)，动点Q 到点A 的距离为6，线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，则点P 的轨迹方程是( )A ．＋＝1B ．＋＝1x 25y 29x 29y 25C ．＋＝1D ．＋＝1x 28y 24x 24y 28[解析]　连接PB ，因为线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，所以|PB |＝|PQ |，又|AQ |＝6，所以|PA |＋|PB |＝|AQ |＝6，又|PA |＋|PB |>|AB |，从而点P 的轨迹是中心在原点，以A ，B 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝4，所以b 2＝9－4＝5，所以椭圆方程为＋＝1.故选B ．x 29y25[答案]　B12．(2018·安徽六安一中第四次月考)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支[解析]　过定点A 与AB 垂直的动直线l 组成一个平面，该平面与平面α交于一条直线，故动点C 的轨迹是一条直线．故选A ．[答案]　A13．P 是椭圆＋＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，Ox 24y 23为坐标原点，有一动点Q 满足＝＋，则动点Q 的轨迹方程OQ → PF 1→ PF 2→是__________．[解析]　由＝＋，OQ → PF 1→ PF 2→又＋＝＝2＝PF 1→ PF 2→ PM → PO → －2，OP → 设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由＝－，OP →12OQ → 则(x 0，y 0)＝，∴Error!(－x 2，－y2)又P 在椭圆上，则有＋＝1，(－x 2)24(－y 2)23即＋＝1.x 216y 212[答案]　＋＝1x 216y 21214．如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足＝.DM →12DP →(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形．(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．[解]　(1)设M (x ，y )，则D (x,0)，由＝知P (x,2y )，DM →12DP →∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为＋y 2＝1，且轨迹Cx24为椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入＋y2x 24＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，24k 21＋4k 2∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝－6k ＝.24k 31＋4k 2－6k 1＋4k 2∵四边形OAEB 为平行四边形，∴＝＋＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)OE → OA → OB →＝，(24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k2)又＝(x ，y )，∴Error!OE →消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0得，k 2<，∴0<x <.1583∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0.(0<x <83)拓展延伸练15．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB的垂线，垂足为N .若M 2＝λ·N ，其中λ为常数，则动点M 的N → AN → B →轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线[解析]　以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为M 2＝λ·N ，N → AN → B →所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．故选C ．[答案]　C16．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3，上，则顶点C 的轨迹方程为__________．[解析]　如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6<10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，轨迹方程为－＝1(x >3)．x 29y 216[答案]　－＝1(x >3)x 29y 216。

2020版高考文科数学第一轮复习练习：第九章解析几何课后跟踪训练54 Word版含解析

课后跟踪训练(五十四)基础巩固练一、选择题1．“－3<m <5”是“方程＋＝1表示椭圆”的( )x 25－m y 2m ＋3A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]　要使方程＋＝1表示椭圆，只需满足Error!解x 25－m y 2m ＋3得－3<m <5且m ≠1，因此，“－3<m <5”是“方程＋＝1x 25－m y 2m ＋3表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.[答案]　B2．设F 1，F 2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上x 225y 216一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5[解析]　连接PF 2，由题意知，a ＝5，在△PF 1F 2中，|OM |＝|PF 2|＝123，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.故选A.[答案]　A3．已知椭圆＋＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 在该椭圆x 24y 22上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( )A.B ．2C ．2D.223[解析]　由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，2又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以2有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，所以S △PF 1F 2＝|F 1F 2|·|PF 2|＝×2×1＝.故选A.121222[答案]　A4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右顶点x 2a 2y 2b 2分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A. B. C. D.63332313[解析]　以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r ＝a ，圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：d ＝a ，2ab a 2＋b 2整理可得a 2＝3b 2，即a 2＝3(a 2－c 2)，2a 2＝3c 2，从而e 2＝＝，椭圆的离心率e ＝＝＝，c 2a 223ca2363故选A.[答案]　A5．(2019·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－2，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则5椭圆C 的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1x 225y 25x 230y 210C.＋＝1 D.＋＝1x 236y 216x 245y 225[解析]　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，x 2a 2y 2b 2连接PF ′.由已知，半焦距c ＝2.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝590°.在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝＝＝8.由|FF ′|2－|PF |2(45)2－42椭圆的定义可知2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(2)2＝16，故所求椭圆方程为＋＝1，故选C.5x 236y216[答案]　C 二、填空题6．(2019·安徽黄山一模)已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆＋＝x 2a 2y 2b 21(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________.[解析]　圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆＋＝1(a >b >0)的一个顶点x 2a 2y 2b 2和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F (1,0)，一个顶点为A (3,0)，所以c ＝1，a ＝3，因此椭圆的离心率为.13[答案]　137．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的一个焦点是x 2a 2y 2b 2F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．[解析]　由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝|MN |＝×b ＝3232231.解得b ＝，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为＋＝1.3x 24y 23[答案]　＋＝1x 24y 238．从椭圆＋＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左x 2a 2y 2b 2焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析]　由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P.∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－＝－，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2(－c ，b 2a )b a b 2ac ＝2c 2，则＝，即该椭圆的离心率是.ca 2222[答案]　22三、解答题9．F 1、F 2分别是椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆上的x 2a 2y 2b 2点到F 2的最近距离为4，最远距离为16.(1)求椭圆方程；(2)P 为该椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解]　(1)依题意知Error!，∴a ＝10，c ＝6.∴b ＝8.∴所求椭圆方程为：＋＝1.x 2100y 264(2)∵∠F 1PF 2＝60°，∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝144.∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|＝144.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，∴|PF 1|·|PF 2|＝.2563∴S △F 1PF 2＝|PF 1|·|PF 2|·sin60°12＝××＝.12256332643310．(2019·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝时，求点M 的坐标．223[解]　(1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2.2由已知得|MB |＝|MP |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝2，2故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以2为长轴长的椭圆，设Γ的2方程为＋＝1(a >b >0)，a ＝，c ＝1，b ＝1，x 2a 2y 2b 22所以曲线Γ的方程为＋y 2＝1.x 22(2)由点P 在第一象限，cos ∠BAP ＝，|AP |＝2，得P2232.(53，223)于是直线AP 的方程为y ＝(x ＋1)．24代入椭圆方程，消去y ，可得5x 2＋2x －7＝0，即(5x ＋7)(x －1)＝0.所以x 1＝1，x 2＝－.因为点M 在线段AP 上，75所以点M 的坐标为.(1，22)能力提升练11．(2018·辽宁大连二模)焦点在x 轴上的椭圆方程为＋＝x 2a 2y 2b 21(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为( )b3A. B. C. D.14131223[解析]　由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c ·b ＝(2a ＋2c )·，得a ＝2c ，即e ＝＝，1212b 3c a 12故选C.[答案]　C12．(2019·广西桂林期末)若点O 和点F 分别为椭圆＋＝1的x 24y 23中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )OP → FP →A ．2B ．3C ．6D ．8[解析]　设点P (x 0，y 0)，则＋＝1，即y ＝3－.又因为点F (－x 204y 203203x 2041,0)，所以·＝x 0(x 0＋1)＋y ＝x ＋x 0＋3＝(x 0＋2)2＋2.又x 0∈OP → FP → 20142014[－2,2]，所以(·)max ＝6.故选C.OP → FP →[答案]　C13．(2019·云南昆明质检)椭圆＋＝1上的一点P 到两焦点的x 29y 225距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．[解析]　记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤2＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即(|PF 1|＋|PF 2|2)点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．[答案]　(－3,0)或(3,0)14．已知椭圆＋＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，x 2a 2y 2b 2A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．AF 2→ F 2B → AF 1→ AB → 32[解]　(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝c ，e ＝＝.2c a 22(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝，设B (x ，y )．a 2－b 2由＝2，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，AF 2→ F 2B →解得x ＝，y ＝－，即B .3c 2b 2(3c 2，－b2)将B 点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a 2＝x 2a 2y 2b 294c 2a 2b 24b 29c 24a 2143c 2①.又由·＝(－c ，－b )·＝，AF 1→ AB →(3c 2，－3b 2)32得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.x 23y 22拓展延伸练15．(2019·广东中山一模)设椭圆：＋＝1(a >b >0)的右顶点为A ，x 2a 2y 2b 2右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限内的点，直线BO 交椭圆于点C ，O 为原点，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.12131415[解析]　如图，设点M 为AC 的中点，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且＝＝，即＝，解|OF ||FA ||OM ||AB |12c a －c 12得e ＝＝.故选B.c a 13[答案]　B16．(2019·浙江温州模拟)正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆＋x 2a 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的y 2b2取值范围是( )A. B.(5－12，1)(0，5－12)C.D.(3－12，1)(0，3－12)[解析]　设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c .又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆＋＝1(a >b >0)上，∴x 2a 2y 2b 2＋＝1>＋＝e 2＋，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<＝m 2a 2m 2b 2c 2a 2c 2b 2e 21－e 23－52，(5－1)24∴0<e <.故选B.5－12[答案]　B。

高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.5 椭圆第2课时直线与椭圆教学案理新人教A版-新

第2课时直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( )A.m >1B.m >0C.0<m <5且m ≠1D .m ≥1且m ≠5 答案 D解析方法一由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，∴5k 2＋m －1≥0， ∴m ≥1且m ≠5.2.已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.解将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例1斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105答案 C解析设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15.∴|AB |＝2|x 1－x 2| ＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.命题点2 中点弦问题例2已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________. 答案 x ＋2y －3＝0解析方法一易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x 24＋y22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k k －12k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4kk －12k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，②①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点A (－1，0)，B (1，0)，过焦点F (0，1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，当|CD |＝322时，则直线l 的方程为________. 答案2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.解析由题意得b ＝1，c ＝1. ∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋1＝2. ∴椭圆方程为y 22＋x 2＝1.若直线l 斜率不存在时，|CD |＝22，不符合题意. 若l 斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋2x 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.Δ＝8(k 2＋1)>0恒成立.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2). ∴x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. ∴|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22k 2＋1k 2＋2.即22k 2＋1k 2＋2＝322，解得k 2＝2，∴k ＝± 2.∴直线l 方程为2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.(2)(2019·某某模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.14D.32答案 A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1.∵PF ∥l ，∴k PF ＝k l ＝－b c ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1. ∴x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，∴2a 2＋－bc b2＝0，可得2bc ＝a 2，∴4c 2(a 2－c 2)＝a 4，化为4e 4－4e 2＋1＝0，解得e 2＝12，又∵0<e <1，∴e ＝22. 直线与椭圆的综合问题例3(2019·某某)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率. 解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意知，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0).设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 跟踪训练2已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程.解 (1)由题意知，△F 1B 1B 2为等边三角形，则⎩⎨⎧c ＝3b ，c ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3b 2，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1.(2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，Δ＝8(k 2＋1)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－12k 2＋1，F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±77，故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A.至多为1B.2C.1D.0 答案 B 解析由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2.直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )A.2B.433C.4D.不能确定答案 B解析直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x ，y )，则弦长为x 2＋y －12＝4－4y 2＋y 2－2y ＋1＝－3y 2－2y ＋5，当y ＝－13时，弦长最大为433.3.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.103答案 B解析由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53，故选B.4.已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A.12B.－12C.2D.－2 答案 B解析设弦所在直线的斜率为k ，弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，所以2x 1－x 29＝－4y 1－y 29，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故弦所在直线的斜率为－12.故选B.5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M (1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 k AB ＝0＋13－1＝12，k OM ＝－1，由k AB ·k OM ＝－b 2a 2，得b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.6.(2019·某某模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba的值为( ) A.32B.233 C.932 D.2327答案 B解析方法一设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，则by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b y 1－y 2y 1＋y 2a x 1－x 2x 1＋x 2＝－1，由题意知，y 1－y 2x 1－x 2＝－1，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22与原点的直线的斜率为32，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝32， ∴b a×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B. 方法二由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，ax 2＋by 2＝1消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，可得AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，∴k OP ＝a b ＝32，∴b a ＝233. 7.直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________.答案相交解析由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.8.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________. 答案x 29＋y 26＝1 解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c .① 又2F AB S △＝12×2c ×2b2a＝43，②a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是________. 答案 1解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12， ∴2mn ＝4，mn ＝2， ∴12F PF S △＝12mn ＝1.10.(2020·某某部分重点中学联考)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为________. 答案105解析设|BF 1|＝k ，则|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝4k .由|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，得2a ＝5k ，|AF 2|＝2k .在△ABF 2中，cos∠BAF 2＝4k 2＋2k 2－4k 22×4k ×2k＝14，又在△AF 1F 2中，cos∠F 1AF 2＝3k 2＋2k 2－2c22×3k ×2k ＝14，所以2c ＝10k ，故离心率e ＝ca ＝105. 11.已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P (1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为________.答案 2 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k (x －1)，代入椭圆方程化简，得(k 2＋2)x 2－2k (k －2)x ＋k 2－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解，因此x 1＝k 2－22k －2k 2＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22k 2＋2，由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k 2＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝ 2. 故直线AB 的斜率为 2. 12.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为22，点(0，1)是E 上一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程.解 (1)由题意知，b ＝1，且e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，x ＝my －1，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，① y 1y 2＝－1m 2＋2，② 因为F 1(－1，0)，所以BF 1→＝(－1－x 2，－y 2)，F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，由BF 1→＝2F 1A →可得，－y 2＝2y 1，③由①②③可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±144，则2BF k ＝146或－146，所以直线BF 2的方程为14x －6y －14＝0或14x ＋6y －14＝0.13.(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C ：x 2＋y 2b 2＝1(b >0，且b ≠1)与直线l ：y ＝x ＋m 交于M ，N 两点，B 为上顶点.若|BM |＝|BN |，则椭圆C 的离心率的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫63，1D.⎝⎛⎦⎥⎤0，63 答案 C解析设直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2＋y 2b 2＝1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 2＋y 2b 2＝1，得(b 2＋1)x 2＋2mx ＋m 2－b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－2m b 2＋1，x 1x 2＝m 2－b 2b 2＋1， Δ＝(2m )2－4(b 2＋1)(m 2－b 2)＝4b 2(b 2＋1－m 2)>0.设线段MN 的中点为G ，知G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m b 2＋1，b 2m b 2＋1，因为|BM |＝|BN |，所以直线BG 垂直平分线段MN ，所以直线BG 的方程为y ＝－x ＋b ，且经过点G ，可得b 2m b 2＋1＝m b 2＋1＋b ，解得m ＝b 3＋b b 2－1. 因为b 2＋1－m 2>0，所以b 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＋b b 2－12>0，解得0<b <33，因为e 2＝1－b 2，所以63<e <1. 14.(2019·某某调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.若△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3，则椭圆C 的离心率为________.答案 63解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，两式相减得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2y 1＋y 2b 2＝0.(*) 因为△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2－c 3＝c 6，y 1＋y 23＝c 3，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝3c 2，y 1＋y 2＝c ，代入(*)式得3x 1－x 2c 2a 2＋y 1－y 2c b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－3b 22a 2＝－12，即a 2＝3b 2，所以椭圆C 的离心率e ＝63. 15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则椭圆在其上一点A (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其焦距为2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为( ) A.22B.2C.3D.2 答案 B解析由题意可得2c ＝2，即c ＝1，a 2－b 2＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22代入椭圆方程，可得1a 2＋12b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1，即椭圆的方程为x 22＋y 2＝1，设B (x 2，y 2)，则椭圆C 1在点B 处的切线方程为x 22x ＋y 2y ＝1，令x ＝0，得y D ＝1y 2，令y ＝0，可得x c ＝2x 2，所以S △OCD ＝12·1y 2·2x 2＝1x 2y 2，又点B 为椭圆在第一象限上的点，所以x 2>0，y 2>0，x 222＋y 22＝1，即有1x 2y 2＝x 222＋y 22x 2y 2＝x 22y 2＋y 2x 2≥2x 22y 2·y 2x 2＝2，即S △OCD ≥2，当且仅当x 222＝y 22＝12，即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22时，△OCD 面积取得最小值2，故选B. 16.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积.解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4，所以x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1. 由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75. 又|AB |＝1＋34x 1＋x 22－4x 1x 2＝72·4－m 2， O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72，所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.。

高三数学一轮复习：第九章平面解析几何 89

与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点 F 为圆心、半径为 4 的
圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线 C 的方程为( )
A.x42－1y22 ＝1
B.x72－y92＝1
C.x82－y82＝1
D.1x22 －y42＝1
解：因为渐近线 y＝bax 与直线 x＝a 交于点 A(a，b)，c＝4 且（4－a）2＋b2＝4，解得 a ＝2，b2＝12，因此双曲线的标准方程为x42－1y22
解：若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF<45°，在 Rt△AFE 中， |AF|＝ba2，|FE|＝a＋c，则ba2<a＋c，即 b2<a2＋ac，即 2a2－c2＋ac>0，
则 e2－e－2<0，解得－1<e<2，又 e>1，则 1<e<2，故选 B.
【点拨】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于 a，c 的齐次式，进而求解．(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征
距为 4 5，则 b＝( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解：由题意得，ba＝2⇒b＝2a，C2 的焦距 2c＝ 4 5⇒c＝ a2＋b2＝2 5⇒b＝4，故选 B.
(2)过双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左焦点 F 作圆 O：x2＋y2＝a2
的两条切线，切点为 A，B，双曲线左顶点为 C，若∠ACB＝120°，
|PF|≥c－a 的运用．
(1)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线xm2－ m2y＋2 4＝1 的离心率大于 6，则 m 的取值范围为________．

精品高考数学一轮复习第9章平面解析几何章末总结分层演练文

(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
选修11 P62例5
圆与椭圆的定义、标准方程及其应用
(2016·高考全国卷Ⅰ，T20，12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
A． B．
C． D．
解析：选D．以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
则直线MA，MB的方程分别为y＝ (x＋a)，y＝－x＋a．
联立解得M的坐标为，所以＋＝1，化简得a2＝3b2＝3(a2－c2)，所以＝，所以＝．故选D．
第9章平面解析几何
章末总结
知识点
考纲展示
直线的方程
❶在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
❷理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
❸掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
两直线的位置关系
❶能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
· ＝－1．
即x ＋y ＝4．
所以|AP|2＋|AQ|2＝(x0＋1)2＋y ＋(x0－1)2＋y
＝2(x ＋y )＋2
＝2×4＋2＝10．
即|AP|2＋|AQ|2＝10．故选D．
3．(选修11 P35例3改编)
如图，AB是椭圆C长轴上的两个顶点，M是C上一点，∠MBA＝45°，tan∠MAB＝，则椭圆的离心率为()

高考数学(文科)一轮复习课件第九章平面解析几何第5讲精选ppt版本

3 3.
答案
3 3
5.已知点 P 是椭圆x52＋y42＝1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及
焦点 F1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为
________. 解析设 P(x，y)，由题意知 c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以 c＝1，则 F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y＝±1，把 y＝±1 代入x52＋y42＝1，得 x＝± 215，
题意知 m9 ＝1， 2 m＝3×2
或 m9 ＝1， n 2 n＝3×2
m，
解
得
m＝9， n＝1
或
mn＝＝891，. ∴椭圆的标准方程为x92＋y2＝1 或8y12 ＋x92＝1.
答案 (1)1x62 ＋y82＝1 (2)x92＋y2＝1 或8y12 ＋x92＝1
规律方法 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>F1F2这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0， m≠n)的形式.
(2)第二定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线(F 不在l上)的距离的比是常数e( 0<e)<时1 ，则这个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的，准常线数是椭圆的
. 离心率
2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程 ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)

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[学生用书P266(单独成册)]一、选择题1．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为( )A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，12解析：选C ．如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a ＝10，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12．2．设A 1、A 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得kPA 1²kPA 2>－12，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(0，22) C ．(22，1) D ．(12，1)解析：选C ．椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1(－a ，0)、A 2(a ，0)，设P(x 0，y 0)，根据题意，kPA 1²kPA 2＝y 20x 20－a 2>－12，而x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以a 2－x 20＝a 2y 20b 2，于是b 2a 2<12，即a 2－c 2a 2<12，1－e 2<12，所以e>22，又e<1，故22<e<1，选C ．3．(2016²高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选A ．设E(0，m)，则直线AE 的方程为－x a ＋y m ＝1，由题意可知M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，m －mc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 2和B(a ，0)三点共线，则m －mc a －m 2－c ＝m 2－a ，化简得a ＝3c ，则C 的离心率e ＝c a ＝13．4．已知椭圆C ：x 24＋y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2．若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →²F 2A →的最大值为( )A ．32B ．332 C ．94D ．154解析：选B ．设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ．由条件知|AF 2|＝b 2a ＝32，则F 1P →²F 2A →＝32|F 1P →|cos θ，于是F 1P →²F 2A →要取得最大值，只需F 1P →在向量F 2A →上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以F 1P →²F 2A →＝32|F 1P →|cos θ≤332，即F 1P →²F 2A →的最大值为332．二、填空题5．已知椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，A ，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1²k 2|＝14，则椭圆的离心率为________．解析：设M(x 0，y 0)，则N(x 0，－y 0)，|k 1²k 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋a ²y 0a －x 0＝y 20a 2－x 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2a 2－x 20＝b 2a 2＝14，从而e ＝1－b 2a 2＝32．答案：326．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆C 的右顶点A 的两条斜率之积为－14的直线分别与椭圆交于点M ，N ，则直线MN恒过的定点为________．解析：直线MN 过定点D ．当直线MN 的斜率存在时，设MN ：y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2．根据已知可知y 1x 1－2²y 2x 2－2＝－14，即4y 1y 2＋(x 1－2)(x 2－2)＝0，即(1＋4k 2)x 1x 2＋(4km －2)(x 1＋x 2)＋4m 2＋4＝0，所以(1＋4k 2)²4m 2－41＋4k ＋(4km －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 2＋4m 2＋4＝0，即(4km －2)(－8km)＋8m 2(1＋4k 2)＝0，即m 2＋2km ＝0，得m ＝0或m ＝－2k ．当m ＝0时，直线y ＝kx 经过定点D(0，0)．由于AM ，AN 的斜率之积为负值，故点M ，N 在椭圆上位于x 轴两侧，直线MN 与x 轴的交点一定在椭圆内部，而当m ＝－2k 时，直线y ＝kx －2k 过定点(2，0)，故不可能．当MN 的斜率不存在时，点M ，N 关于x 轴对称，此时AM ，AN 的斜率分别为12，－12，此时M ，N 恰为椭圆的上下顶点，直线MN 也过定点(0，0)．综上可知，直线MN 过定点D(0，0)．答案：(0，0) 三、解答题7．已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433．(1)求椭圆C 的方程；(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．解：(1)在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163．由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|²|MF 2|cos 60°＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|²(1＋cos 60°)，解得|MF 1|＋|MF 2|＝42．从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝22．由|F 1F 2|＝4得c ＝2，从而b ＝2，故椭圆C 的方程为x 28＋y24＝1．(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则其方程为y ＋2＝k(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k （x ＋1），得(1＋2k 2)x 2＋4k(k －2)x ＋2k 2－8k ＝0．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k （k －2）1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k2．从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋（k －4）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －(k －4)²4k （k －2）2k 2－8k ＝4．当直线l 的斜率不存在时，可得A(－1，142)， B(－1，－142)，得k 1＋k 2＝4．综上，k 1＋k 2为定值．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，右顶点为A ，且|AF|＝1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，是否存在点M(t ，0)使MP →²MQ →＝0成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，所以b ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2．设P(x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4km， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m ．因为M(t ，0)，Q(4，4k ＋m)，所以MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km －t ，3m ，MQ →＝(4－t ，4k ＋m)，所以MP →²MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －t ²(4－t)＋3m ²(4k ＋m)＝t 2－4t ＋3＋4k m (t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1．所以存在点M(1，0)符合题意．9．已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →．(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3．所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)由题意设P(0，m)，Q(x 0，0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t(y －m)，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m)＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，所以y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，所以λ1＝my 1－1．同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1．因为λ1＋λ2＝－3，所以y 1y 2＋m(y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ）得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，所以由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，所以(mt)2＝1，由题意mt<0，所以mt ＝－1，满足②，得直线l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点．10．如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解：(1)由题意知m≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b ．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1mx ＋b 消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0．因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0．①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2．② 由①②得m<－63或m>63． (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB|＝t 2＋1²－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1．设△AOB 的面积为S(t)，所以 S(t)＝12|AB|²d＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22．1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，所以1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝c ＝1．故椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1．(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋t ，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q(x 4，y 4)， MN 的中点为D(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 2＋2y 2＝2，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t 9且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，故y 0＝y 1＋y 22＝t9且－3<t<3，由PM →＝NQ →，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －159，又－3<t<3，可得－73<y 4<－1，因此点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l ． 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB与CD ．当直线AB 的斜率为0时，|AB|＋|CD|＝32．(1)求椭圆的方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围．解：(1)由题意知，e ＝c a ＝22，则a ＝2c ，b ＝c ．当直线AB 的斜率为0时，|AB|＋|CD|＝2a ＋2b2a ＝22c ＋2c ＝32，所以c ＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1．(2)①当直线AB 与直线CD 中有一条的斜率为0时，另一条的斜率不存在．由题意知S 四边形＝12|AB|²|CD|＝12³22³2＝2．②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程，并整理得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，所以|AB|＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1²2 2 k 2＋11＋2k 2＝22（k 2＋1）1＋2k2．同理，|CD|＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋11＋2k2＝22（k 2＋1）k 2＋2．所以S 四边形＝12²|AB|²|CD|＝12²22（k 2＋1）1＋2k 2²22（k 2＋1）k 2＋2 ＝4（k 2＋1）22k 4＋2＋5k2 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 22⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1．因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k²1k 2＋1＝9，当且仅当k ＝±1时取等号，所以S 四边形∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫169，2．综合①与②可知，S 四边形∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤169，2．。

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