江苏省中考数学深度复习讲义 分式(教案+中考真题+模拟试题+单元测试)

分式及分式方程
◆知识讲解 1．分式
用A ，B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成A B 的形式，若B 中含有字母，式子A
B
就叫做分式．
2．分式的基本性质
A B =,A M A A M
B M B B M ⨯÷=⨯÷（其中M 是不等于零的整式）
3．分式的符号法则
a b =a a a
b b b
--=-=---．
4．分式的运算
（1）加减法：
,a b a b a c ad bc
c c c b
d bd ±±±=±=． （2）乘除法：a b ·,c ac a c a d ad
d bd b d b c bc
=÷==
（3）乘方（a b ）n =n
n a b
（n 为正整数）
5．约分
根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分． 6．通分
根据分式的基本性质，•把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分． ◆例题解析 例1 填空题：
（1）若分式224
2
x x x ---的值为零，则x 的值为________；
（2）若a ，b 都是正数，且
1a －1b =22
2,ab
a b a b +-则，则=______．
【解答】（1）由x 2
=4，得x=±2，把x=2代入分母，得x 2
－x －2=4－2－2=0， 把x=－2•代入分母，得x 2
－x －2=4+2－2=4≠0，故答案为－2．
（2）由整体代换法：把
1a －1b =22b a a b ab a b
-=++化为，b 2－a 2
=2ab ，
即a 2－b 2
=－2ab ，代入22
22
2ab
ab ab
a b
a b ab =
---中得=
12，故答案为1
2
．
例2 选择题：
（1）已知两个分式：A=
2411
,422B x x x
=+-+-，其中x ≠±2， 那么A 与B 的关系是（ ）
A ．相等
B ．互为倒数
C ．互为相反数
D ．A 大于B （2）已知23,2
3
4
3a b c a b c a b c
+-=
=
-+则
的值为（ ）
A ．－
57 B ．57 C ．97 D ．－9
7
【解答】（1）B=22
112(2)42244
x x x x x x --+-==-+---， ∴A+B=0，A ，B 互为相反数，选C ． （2）设234
a b c
===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ， 代入
232399,3377
a b c a b c k a b c
a b c
k +-+-==-+-+中可得
，选C ．
例3先化简再求值：2221412211
a a a a a a --÷+-+-，其中a 满足a 2
－a=0．
【解答】原式=
2
1(2)(2)(1)(1)2(1)1
a a a a a a a -+--++-=（a －2）（a+1）=a 2
－a －2 由a 2
－a=0得原式=－2
（2011四川南充市，15，6分）先化简，再求值：21x x -(x
x 1
-－2),其中x =2. 【答案】解：方法一：21(2)1x x x x ---=2212
11
x x x
x x x -⋅-⋅--=12(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x -⋅-+-+- =121(1)(1)x x x x -++-=12(1)(1)(1)(1)x x x x x x --+-+-=12(1)(1)x x x x --+-=121(1)(1)(1)(1)x x x
x x x x ----=+-+- =
(1)(1)(1)x x x -++-=1
1
x --
当x =2时，1
1
x --=121--=-1 方法二：2
1(2)1x x x x ---=212()1x x x x x x ---=2121
x x x
x x --⋅
-=1(1)(1)x x x x x --⋅+- =
(1)(1)(1)x x x x x -+⋅+-=1
1
x --
当x =2时，1
1
x -
-=121--=-1. 分式方程
◆知识讲解
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想方法
分式方程−−−→去分母
换元
整式方程． 3．解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验 4．列分式方程解应用题的步骤和注意事项 列分式方程解应用题的一般步骤为：
①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；
②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；
③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； ④解方程并检验； ⑤写出答案．
注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．
◆例题解析 例1 解方程：
2x x ++22x x +-=28
4
x -． 【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──去分母法，并且在解此方程时必须验根． 【解答】去分母，得x （x －2）+（x+2）=8． x 2
－2x+x 2
+4x+4=8 整理，得x 2
+x －2=0． 解得x 1=－2，x 2=1．
经检验，x1=1为原方程的根，x2=－2是增根．
∴原方程的根是x=1．
【点评】去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法．
例2 已知关于x的方程2x2－kx+1=0的一个解与方程21
1
x
x
+
-
=4的解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程2x2－kx+1=0的另一个解．【分析】解分式方程必验根．
【解答】（1）∵21
1
x
x
+
-
=4，
∴2x+1=4－4x，
∴x=1
2
．
经检验x=1
2
是原方程的解．把x=
1
2
代入方程2x2－kx+1=0，解得k=3．
（2）解2x2－3x+1=0，得x1=1
2
，x2=1．
∴方程2x2－kx+1=0的另一个解为x=1．
【点评】分式方程与一元二次方程“珠联壁合”，旨在通过分式方程的解来确定一元二次方程的待定系数，起到通过一题考查多个知识点的目的．
例 3 某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲，乙两个工程队竞标，•竞标资料上显示：•若由两队合做，•6•天可以完成，•共需工程费用10200元；若单独完成此项工程，甲队比乙队少用5天，•但甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，•若从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？为什么？
【分析】解答本题的关键是先求出每个工程队单独完成此项工程用的天数和每天的费用，并弄清下列关系：①甲队6天完成的工程+乙队6天完成的工程=1；•②甲队6天的费用+乙队6天的费用=10200元；③乙队单独完成的天数=甲队单独完成的天数+•5天；④乙队每天的工程费用=甲队每天的工程费用－300元．
【解答】设甲工程队单独完成需x天，每天需费用m元，•则乙工程队单独完成需（x+5）天，每天需费用（m－300）元．
根据题意，得
6x +65
x +=1，整理得x 2
－7x －30=0． 解得x 1=10，x 2=－3，经检验：x 1=10，x 2=－3都是原方程的解，但x 2=－3不合题意，∴x=10．•
又 6（m+n －300）=10200，解得m=1000，
∴甲工程队单独完成需费用10×1000=10000（元）， 乙工程队单独完成需费用15×700=10500（元）．
答：若由一个队单独完成，从节约资金的角度考虑，应由甲工程队单独完成． 【点评】分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x•的值是否是方程的解，再检验是否符合题意．
2011年真题
一、选择题
2. （2011山东威海，8，3分）计算：211(1)1m
m m
+÷⋅--的结果是（ ） A ．2
21m m --- B ．2
21m m -+- C ．2
21m m --
D ．2
1m -
【答案】B
3. （2011四川南充市，8，3分） 当8、分式
2
1
+-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）－2 【答案】B
4. （2011浙江丽水，7，3分）计算
1a -1 – a
a -1
的结果为（ ） A. 1+a
a －1
B. －
a a -1
C. －1
D.1－a
【答案】C
5. （2011江苏苏州，7,3分）已知2111=-b a ，则b
a a
b -的值是 A.
21 B.－2
1
C.2
D.－2 【答案】D
6. （ 2011重庆江津， 2，4分）下列式子是分式的是( ) A.
2x B.1+x x C. y x +2 D. 3
x 【答案】B.
7. （2011江苏南通，10，3分）设m ＞n ＞0，m 2
＋n 2
＝4mn ，则22m n mn
-的值等于
A.
D. 3
【答案】A
8. （2011山东临沂，5，3分）化简（x －
x 1-x 2）÷（1－x 1
）的结果是（ ） A ．
x
1
B ．x －1
C ．x 1-x
D ．1
-x x
【答案】B
9. （2011广东湛江11,3分）化简22
a b a b a b
---的结果是 A a b + B a b - C 22
a b - D 1
【答案】A
10．（2011浙江金华，7，3分）计算1a -1 – a
a -1
的结果为（ ） A.
1+a a －1 B. －a
a -1
C. －1
D.1－a 【答案】C 二、填空题
1. （2011浙江省舟山，11，4分）当x 时，分式x
-31
有意义． 【答案】3x ≠
2. （2011福建福州，14，4分）化简1(1)(1)1m m -++的结果是
【答案】m
3. （2011山东泰安，22 ，3分）化简：（2x x+2-x x-2）÷x x 2-4
的结果为 。

【答案】x-6
4. （2011浙江杭州，15，4）已知分式
23
5x x x a
--+，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝ ，
当a <6时，使分式无意义的x 的值共有 个． 【答案】6，2
5. (2011 浙江湖州，11，4)当x ＝2时，分式1
1
x -的值是 【答案】1
6. （2011浙江省嘉兴，11，5分）当x 时，分式x
-31
有意义． 【答案】3x ≠
7. （2011福建泉州，14，4分）当x = 时，分式2
2
+-x x 的值为零. 【答案】2；
8. （2011山东聊城，15，3分）化简：2222222a b a b
a a
b b a b
--÷+++＝__________________．
【答案】
2
1 9. （2011四川内江，15，5分）如果分式2327
3
x x --的值为0，则x 的值应为 ．
【答案】－3
10．（2011四川乐山11，3分）当x= 时，1
12
x =- 【答案】3
11. （2011四川乐山15，3分）若m 为正实数，且13m m -=，221
m m
-则= 【答案】133
12. （2011湖南永州，5，3分）化简a
a a -+
-11
1=________． 【答案】1．
13. （2011江苏盐城，13，3分）化简：x 2 - 9
x - 3
= ▲ ．
【答案】x +3
三、解答题
1. （2011安徽，15，8分）先化简，再求值：
1
2112---x x ，其中x =－2． 【答案】解:原式=
11
21
11)1)(1(1)1)(1(21-=+-=+=-+-=-+-+x x x x x x x .
2. （2011江苏扬州，19（2）,4分）（2）x
x x 1
)11(2-÷+
【答案】（2）解：原式=x x x x x )1)(1(1-+÷+=)1)(1(1-+⨯+x x x
x x =1
1-x 3.
4. （2011浙江衢州，17（2）,4分）化简：
3a b a b
a b a b
-++--. 【答案】原式3222()
2a b a b a b a b a b a b a b
-++--=
===--- 5. （2011四川重庆，21，10分）先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2
－x
x 2＋2x ＋1
，其中x 满
足x 2
－x －1＝0．
【答案】原式＝(x －1x －x －2x ＋1)÷2x2－x x2＋2x ＋1 ＝ (x －1)( x ＋1)－ x( x －2)x( x ＋1)÷2x2－x
x2＋2x ＋1
＝
2x －1x(x ＋1)×(x ＋1)2 2x －1＝x+1
x2
当x2－x －1＝0时，x2＝x ＋1，原式＝1．
6. （2011福建泉州，19，9分）先化简，再求值2
221x x
x x x +⋅-，其中2x =． 【答案】解：原式2
(1)
(1)(1)x x x x x x +=
+- ·················· 4分
1
1
x =
- ·································· 6分 当2x =时，原式1=． ··························· 9分 7. （2011湖南常德，19，6分）先化简，再求值.
22
1211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭
其中
【答案】解: 22
12111
11x x x x x x ⎛⎫-+-+÷ ⎪+-+⎝⎭
()()()2
11111111111
2
2==2.
21
x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+=+ ⎪
⎪++--⎝⎭+=
+-=
-=-当时，原式
8. （2011湖南邵阳，18，8分）已知
111x =-，求211
x x +--的值。

【答案】解：∵
1
11
x =-，∴x-1=1. 故原式=2+1=3
9. （2011广东株洲，18，4分）当2x =-时，求221
11x x x x ++++的值． 【答案】解：原式=
22
21(1)111
x x x x x x +++==+++ 当2x =-时，原式1211x =+=-+=-
10．（2011江苏泰州，19（2），4分）a
b
a b a b b a +⋅+)2﹢﹣（
【答案】（2）原式＝a b a b a b b a b a b a +⋅++++-]))(([2＝a
b a b a b b a +⋅++-222＝
a
b
a b a a +⋅+2＝a 11. （（2011山东济宁，16，5分）计算：2
2()a b ab b a a a --÷- 【答案】原式=22
2a b a ab b a a
--+÷………………2分 =
2()a b a
a a
b -⋅
-………………4分 =
1
a b
-………………5分 12. （2011四川广安，22，8分）先化简22(
)5525
x x x x x x -÷---，然后从不等组23
212
x x --⎧⎨⎩≤的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．
的x 的值代入求值． 【答案】解：原式=
2(5)(5)
52x x x x x
+-⨯- =5x +
解不等组得：－5≤x ＜6
选取的数字不为5，－5，0即可（答案不唯一）
13. （ 2011重庆江津， 21（3），6分）先化简,再求值: )12
1
(212-+÷+-x x x ,其中31=x ·
【答案】（3）原式=
2212)1)(1(+--÷+-+x x x x x =)
1(2
2)1)(1(+-+⨯+-+x x x x x =1-x ·
把31=
x 代入得 原式=1-31=3
2
· 14. (2011江苏南京，18，6分)计算221(
)a b
a b a b b a
-÷-+-
【答案】22
1)a b
a b a b b a
-÷-+-解：（ ()()()()a a b b a b a b a b a b b a ⎡⎤-=-÷⎢⎥+-+--⎣⎦
()()b b a
a b a b b
-=
⋅+-
1a b
=-
+ 15. （2011贵州贵阳，16，8分）
在三个整式x 2-1，x 2+2x +1，x 2
+x 中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一
个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x =2时分式的值．
【答案】解：选择x 2-1为分子，x 2
+2x +1为分母，组成分式x 2-1x 2+2x +1
．
x 2-1x 2+2x +1=（x +1）（x -1）（x +1）2
=x -1x +1
． 将x =2代入
x -1x +1，得1
3
． 16. （2011广东肇庆，19，7分） 先化简，再求值：
)21
1(342--⋅--a a a ，其中3-=a ． 【答案】解:
)2
1
1(342--⋅--a a a ＝)2122(3)2)(2(----⋅--+a a a a a a ＝
2
3
3)2)(2(--⋅--+a a a a a
＝2+a
当3-=a 时，原式＝2+a ＝123-=+- 17. (20011江苏镇江,18（1）,4分) (2)化简:
2
21
42
x x x --- 答案：（2）原式=
()()()()()()22
2222221222
x x x x x x x x x x x +-
+-+---==
+-+
18. （2011重庆市潼南,21,10分）先化简，再求值：2121(1)1a a a a
++-⋅+，其中a
【答案】解：原式=2
11(1)1a a a a
+-+⋅+ ---------------------4分 = 1a + ----------------------8分 当a =2时， 原式
11-= ---------------------10分
19. （2011山东枣庄，19，8分）先化简，再求值：⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋ 1 x －2÷ x 2
－2x ＋1
x 2－4，其中x ＝－5．
解：4
12)211(22-+-÷-+x x x x ＝)2)(2()1(2122
-+-÷-+-x x x x x ……………………2分
＝2
)
1()
2)(2(21--+⋅--x x x x x ＝
1
2
-+x x , ………………………………………………………………………5分 当5-=x 时，原式＝12-+x x ＝2
1
1525=--+-． ………………………………………8分
20．（2011湖北宜昌，16，7分）先将代数式1
1)(2
+⨯+x x x 化简，再从-1，1两数中选取
一个适当的数作为x 的值代入求值.
【答案】解：原式＝1
1
)1(+⨯+x x x = x （3分,省略不扣分）＝x （6分） 当x ＝1时，原
式＝1．（7分）（直接代入求值得到1，评4分），
分式
一、 选择题 A 组
1、（2011年北京四中模拟26） 若分式
31
x
x -有意义，则x 应满足 （ ） A ．x =0 B ．x ≠0 C ．x =1 D ．x ≠1
答案：D
3、（淮安市启明外国语学校2010－2011学年度第二学期初三数学期中试卷）化简 m 2
－1
m
÷
m+1
m
的结果是（ ） A ．m －1 B ．m C ．1m D ．1
m －1
答案：A
4、（2010－2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）化简
22424422
x x x
x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪
-++-⎝⎭，其结果是（ ） A ．8
2
x -- B ．
82
x -
C ．8
2
x -
+ D ．
82
x + 答案：D
5、（2011年浙江杭州七模）在函数2
1
-=
x y 中，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．2-≠x
B ．2≠x
C ．x ≤2
D ．x ≥2
答案：B B 组
1、（2011浙江慈吉 模拟）已知分式
x
x -+21
, 当x 取a 时, 该分式的值为0; 当x 取b 时, 分式无意义; 则a
b 的值等于（ ） A. 2- B. 2
1
C. 1
D. 2 答案： B
2、（2011年三门峡实验中学3月模拟）要使式子
a ＋2
a
有意义，a 的取值范围是（ ） A 、a ≠0 B、a ＞－2且a ≠0 C、a ＞－2或a ≠0 D、a ≥－2且a ≠0 答案：D
3、（2011杭州上城区一模）下列判断中，你认为正确的是（ ）
A ．0的倒数是0 B.2
π是分数 1 2
答案：C
4、（安徽芜湖2011模拟）化简293
33a a a a a ⎛⎫++÷
⎪--⎝⎭
的结果为 （ ） A ．a
B ．a -
C ．()2
3a +
D ．1
答案: A
5、（浙江杭州金山学校2011模拟）（原创）函数1
4
y x =-中自变量x 的取值范围是（ ▲ ）
A ．x ≤3
B ．x ＝4
C ． x ＜3且x≠4
D ．x≤3且x ≠4 答案：A
6、（2011深圳市全真中考模拟一）化简2
4()22a a a a a a
---+的结果是 (A)一4 (B)4 (C)2a (13) 2a +4 答案：A
7、（2011年北京四中33模）若分式16
3
2
--x x 的值为0,则x 的值为（ ） A ．4 B. －4
C. ±4
D. 3
答案D 二、 填空题 A 组
1、（2011年北京四中三模）若x 为12-的倒数，则6
33
622
-++÷
---x x x x x x 的值为 .
答案：1
2、（2011年北京四中四模）化简1
1
2
-+x x 得___ __. 答案：
1
1-x 4．（2011年江苏连云港）若一个分式含有字母m 2
，且当5m =时，它的值为2，则这个分式可以是 ． （写出一个．．即可） 答案250
m
（不唯一）； B 组
1、（2011浙江慈吉 模拟）化简: m
m m -+-2242
=______________. 答案：2--m
2、（2011 天一实验学校 二模）在函数1
5
y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 答案： x ≠5__
3、（2011北京四中模拟）化简：23224
x x x x x x 骣÷ç-?÷ç÷ç桫++-
答案：24x -
4、（2011深圳市三模）函数函数12
-+=
x x y 中自变量x 的取值范围是 ；
答案： 2-≥x 且1≠x ；
5、（浙江杭州靖江2011模拟）函数y=0
)
2(1--x x 的自变量x 的取值范围是
_____________。

（原创） 答案：210≠≠≥x x x 且且
6、（2011广东南塘二模）若ab ＝1，x ＝b a +++1111，y ＝b
b
a a ++
+11，则xy ＝ 。

答案：1
7、（赵州二中九年七班模拟）函数y ＝1
1
+-x x 中，自变量x 的取值范围是 。

答案：x ≠－1
8、（2011年黄冈浠水模拟2）当x =________时，
25
3
2
--x x 有意义 答案：x 3≥且5≠x
三、 解答题
1、（浙江省杭州市2011年中考数学模拟）【根据习题改编】
先化简，再求值：a
a a a a -+-÷--2244)111(，其中a=－1 答案：解:原式=
当a=－1时,原式=
2、（2011年北京四中五模）先化简，再求值：2
22)2(6
54321-++÷-+-+x x x x x x ， 其中23-=x .
解：原式＝）
＋）（＋（－（）－）（＋（－＋3x 2x 2)x 2x 2x 3x 2x 12
⋅+ ＝
3
4
2x 442x 2x 2x 2x 2
22＝）＋（分）＝（）＋（－－）＋（＋
3、（2011年如皋市九年级期末考）化简（1
a －b
－
1a ＋b ）÷ab
a 2－b
2 ． 答案：（2）（
1
a －b
－
1a ＋b ）÷ab
a 2－b
2 =2()()b a b a b -+×()()a b a b ab
+- =
2
a
． 4、（2011年北京四中模拟26） 计算312x ⎛⎫-
⎪+⎝⎭
·1x x - 答案：解原式=1212
x x x
x x x -∙=+-+
（3）（2011年江苏连云港）211
()a a a a
--÷
答案 原式()()2
111
a a a a
a +-=
-………3分 ()2
1a a a a =+=+ ………6分 (2)
)
解
：
原
式
＝
2(5)(5)5
(5)a a a a a
+--÷+……………………………………………………………2′
＝
555a a
a a -+- ……………………………………………………………………3′
＝5
a
a + (4)
5.（2011年浙江杭州二模）在下面三小题中任选其中两小题．．．．．．．
完成 （1）已知2=+b a ，求代数式b b a 42
2+-的值；
答案：（1）2=+b a
b b a b a b b a 4))((422++-=+-∴
b b a b b a 4224)(2+-=+-= 422)(222=⨯=+=+=b a b a （2）)16(23224
4
-=-a a
)4)(4(222-+=a a )2)(2)(4(22+-+=a a a （3）3
2
=y x
，不妨设k y k x 3,2== 8
1
623422=+-=+-∴
k k k k y x y x 6、（2011年浙江杭州二模）1
0022011
15tan 45213π-⎛⎫-⨯+-⨯- ⎪⎝⎭
（）（）
…… 1′
…… 1′ …… 1′
…… 1′
…… 1′ …… 1′
…… 1′ …… 2′
答案：解：
1
022011
15tan 45213131413'
314
8
3'
π-⎛⎫-⨯+-⨯- ⎪⎝⎭
=⨯+-⨯-=++=（）（）
（）
7.（浙江省杭州市瓜沥镇初级中学2011年中考数学模拟试卷）（本题满分6分）
请你先化简224(2)24
a a
a a a -+÷+-，再从-2 ， 2
值.
答案：222(2)24(2)(2)(2)(2)2244(2)(2)
2421a a
a a a a a a a a a a a a a a a
a a -+÷+-⎡⎤-++-=-⨯⎢⎥++⎣⎦+-=⨯
+-==
=
8．(河北省中考模拟试卷) 先将
）x
1（11x 2x
x 2+⋅+-化简，然后选取一个使原式有意义且你喜欢的数代入求值．
答案：解：原式=
2x x 1
x 1x 2）x（x -=+⋅+-． 取x=2时，原式=0（说明：x 可取不是0和-1的任何数值）．
9.(2011年江苏省东台市联考试卷）化简：22
(1)(2)4422a a a a a a a a a +-⎡⎤-÷⎢⎥-+--⎣⎦
答案：1
B 组
1、（2011年重庆江津区七校联考）先化简，再求值：21
21111
a a a a -⎛⎫-÷
⎪+-+⎝⎭，其中1a =． 答案： 解：21
21111a a a a -⎛⎫-÷
⎪+-+⎝⎭ ＝
)1()1)(1()
2()1(+⋅-+---a a a a a
＝
1
1
-a
当1a = 原式＝3
33
11
131=
=
-+
2、（ 2011年杭州三月月考）计算：2121a a a a a -+⎛
⎫-÷ ⎪⎝
⎭．
答案：
3、（2011年三门峡实验中学3月模拟） 先化简，再求值：4
23
)252(+-÷+-
-x x x x ，其中x=32-。

答案：原式=3
)
2(2)2524(2-+∙+-+-x x x x x =2
92+-x x 3)
2(2-+∙x x
=
2)3)(3(+-+x x x 3
)2(2-+∙x x
=2x+6
当x=32-时，原式=2(32-)+6=22
4、（2011年安徽省巢湖市七中模拟）
先化简，再求值：x
x x )x x x x x x (416441222222+÷++－－－－－，其中x =22+
答案：.解：原式=)4()
4)(4()2(1)2(22+-+÷⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡----+x x x x x x x x x =x x x x x x x x x x 4)2()1()
2()2)(2(22-÷⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-----+ =4·)2()1()
2()2)(2(22-⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----+x x x x x x x x x x =
2
)
2(1-x
当x=2+2时，原式=2
1
5、（2011安徽中考模拟）已知2
20x -=，求代数式22
2(1)11
x x x x -+-+的值．
答案：原式=22
(1)(1)(1)1
x x x x x -+
-++ =2
111x x x x -+++ =211
x x x +-+
220x -=， 22x ∴=
∴原式21
1
x x +-=
+ ∴原式=1
6、（2011年深圳二模）先化简，再请你用喜爱的数代入求值
x
x x x x x x x x 42
)44122(
3
22-+÷+----+ 解：原式＝2
)
2)(2(])2(1)2(2[
2+-+⨯----+x x x x x x x x x
＝ｘ＋2－2
2--x x
x
＝
2
4
--x x 当ｘ＝6时，原式＝2
1
7、（2011年广东澄海实验学校模拟）化简:2
)441(2
+÷-+a a
a
解：原式=a a a a 244422+⨯-+- =a
a a a a 2
)2)(2(2+⨯
-+ =2-a a
8、（2011深圳市三模）
化简求值：a
a a
a a a a ÷--++--2
21212
22，其中12+=a ； 解：原式
当12+=a 时，原式
9、（2011深圳市模四）
先化简，再请你用喜爱的数代入求值
x
x x x x x x x x 42
)44122(
322-+÷+----+
解：原式＝2
)
2)(2(])2(1)2(2[2+-+⨯
----+x x x x x x x x x ＝ｘ＋2－22--x x x ＝24--x x 当ｘ＝6时，原式＝2
1
(选取的x 不能为0,2，﹣2)
10、（2011年黄冈市浠水县）先化简，再求值：
2112x x x x x ⎛⎫
++÷- ⎪⎝⎭
，其中1x =．
答案：解：原式=22
1212x x x x x
+--÷
=
12(1)(1)x x
x x x ++-
=
2
1
x -．
将1x =代入上式得原式2
==．
11、（北京四中2011中考模拟13）先化简，在求值:1
1
)1211(2+÷---+a a a a ，其中13+=a . 答案：原式1
1
11)1)(1(21-=
+∙-++--=
a a a a a a 当13+=a 时；原式3
3
1
131=
-+=
14、（浙江杭州金山学校2011模拟）（中考复习学案实数章改编）计算2121a a a a a -+⎛
⎫-÷ ⎪⎝⎭
答案：原式=222
1(1)(1)(1)1
(1)1
a a a a a a a a a a a ---++÷=⨯=--
15、（浙江杭州进化2011一模） 化简求值：a a a a a a a ÷--++--2
21212
2
2，其中12+=a 答案：
原式
当12+=a 时，原式
16、 （河南新乡2011模拟）已知：x,y 满足
2
690x x +=．求代数式22
11y
x y x y x y
⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭的值．（要求对代数式先化简，再求值．）
解：
2690x x +=，
2(3)0x ∴+． 3010x x y ∴+=-+=且．
解得：3, 2.x y =-=-
22
11y x y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭ =22
2()()
x x y x y x y y -⨯
-+ =y x
2
将3,2x y =-=-代入，则
原式=y x 2=2(3)
3.
2⨯-=-
17、（2011年海宁市盐官片一模）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛
--
+2122x x ÷
2
4--x x
，其中42-=x .
答案：⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
+2122x x ÷24--x x
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----212242x x x x x --∙42
()()x
x x x x --∙--+=
422
44
4--=x
当x=42-时 原式=(
)
2442-=---
答案：3
2
=y x
，不妨设k y k x 3,2== 8
1
623422=+-=+-∴
k k k k y x y x [
19、（赵州二中九年七班模拟）先化简，再求值：3
2
9632-÷--+m m m m ，其中2-=m 。

答案：
20、（2011北京四中二模）化简：229.33x
x x x x x -⎛⎫-⋅
⎪-+⎝⎭
答案：9x +
21、（2011灌南县新集中学一模）化简求值：1
21
22++-x x x ，其中12-=x
答案：解：12122++-x x x =2
)1()1)(1(+-+x x x =11
+-x x ．
当12-=x 时，原式=11+-x x =1
12112+--- =222- =12-．
22、（2011年浙江杭州27模）
已知c b a ,,均不为0，且
723352a c c b b a -=-=+，求a
b b
c 322+-的值。

答案：解：设7
23352a
c c b b a -=-=+＝k ，则 k b a 52=+
……………① k c b 33=-……………② k a c 72=-……………③
由①+③得，2b+2c=12k,∴b+c=6k ……………④ 由②＋④，得4b=9k, ∴b=
k 49，分别代入①，④得，a=k 21,c=k 4
15
∴816432
329294
15322-=-=+-=+-k k
k k k k a b b c
分式方程.
一、选择题
1、（重庆一中初2011级10—11学年度下期3月月考）某公司承担了制作600个广州亚运会道路交通指引标志的任务， 原计划x 天完成，实际平均每天多制作了10个，因此提前5天完成任务．根据题意，下列方程正确的是 ( )
A ．600600
10
5x x -=- B ．600600105x x -=+ C ．600600510x x -=+ D ．600600
105
x x +=- 答案：A
2、（2011年浙江省杭州市模拟）分式方程
1
31
x x x x +=--的解为（ ） A ．1 B ．-1 C ．-2 D ．-3 答案：D
3、（2011年浙江杭州27模）分式方程1x-2 —1 = 1
2-x 的解是（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．无解 答案：C
4、（浙江杭州靖江2011模拟）分式方程1x-2 —1 = 1
2-x 的解是（原创 ）（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．无解 答案：C
二、填空题
1、（2011年北京四中四模）用换元法解方程
==+-+⋅-+-y x x x x 时应设012
1
22122__ __. 答案：
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+--212122x x x x 或 2.(浙江省杭州市瓜沥镇初级中学2011年中考数学模拟试卷)关于x 的方程232
x a
x +=+的解是负数，则a 的取值范围是 .
答案： a ＜6且a ≠4
3、（北京四中模拟）方程45
3x x
=-的解是 答案：x=5
4、（2011杭州模拟26）关于x 的方程
232
x a
x +=+的解是负数，则a 的取值范围是 . 答案：a ＜6且a ≠4
5.（2011.河北廊坊安次区一模）张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，则张明平均每分钟清点图书的数量 本． 答案:20
6.（2011北京四中二模）正在修建的西塔（西宁——塔尔寺）高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队单独完成，甲工程队比乙工程队少用10天；若甲、乙两队合作，12天可以完成.若设甲单独完成这项工程需要x 天.则根据题意，可列方程为____________. 答案：
11112121101210
x x x x +=+=++或
三、解答题
1、（2011年北京四中四模）解方程
.11
2
13122=-++++--x x x x x 答案：去分母，得.12)1)(3()1)(2(2
-=+-+++-x x x x x 整理后，得.022
=-+x x
解这个方程，得.1,221=-=x x 检验：把x = －2代入,12
-x 它不等于0， 所以x =－2是原方程的根；把x =1代入,12
-x 它等于0，所以x =1是增根.
∴原方程的根是x =－2.
2、（2011年北京四中五模）小强老师为了今年的升中考试，他先用120元买了若干本数学复习资料，后来又用240元买同样的数学复习资料：这次比上次多20本，而且店家给予优惠，每本降价4元.请问第一次他买了多少本复习资料？ 解：设第一次买了x 本，（1分）则：
420
x 240
x 120＝＋－ （3分） ∴x ＝10 或x ＝－60（舍去）（5分）
答：（略）（6分）
3．（淮安市启明外国语学校2010－2011学年度第二学期初三数学期中试卷） 解方程：
14
4
222=-++-x x x .
答案：x=2,检验x=2是原方程的增根，原方程无解
4．（2011年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题）阅读下列材料解答下列问题： 观察下列方程：○
132=+x x ；○256=+x x ；○3712
=+x
x ……
（1）按此规律写出关于x 的第n 个方程为 ，此方程的解为 （2）根据上述结论，求出)2(221
)
1(≥+=-++n n x n n x 的解。

答案：（1）(1)
21n n x n x ++
=+；12,1x n x n ==+ （2）(1)
111
n n x n n x +-+
=++- 由（1）得1,11x n x n -=-=+ ∴11x n =+ 22x n =+
经检验，11x n =+，22x n =+是原方程的解.
5. （2011年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题）解方程：234
224
x x x -+=--. 答案：去分母，得()()()
223424x x x +-+=-，
去括号，得226428x x x --+=-， 整理，得260x x +-=， 解，得123,2x x =-=，
经检验：2x =是原方程的增根，3x =-是原方程的根.
6．（2010－2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）
解方程：12
11+=
-x x ． 答案：)
1(21-=+x x ， 3=x ．
经检验知，3=x 是原方程的解．
7、（2011年北京四中模拟26）解方程2
2011
x x x x ⎛⎫
--= ⎪
++⎝⎭ 答案：解 设
1
x
y x =+原方程可化为220y y --=。

解得12y = 21y =- 当
21
x
x =+
解得2x =-
11x x =-+ 解得12
x =- 经检验12x =- 21
2
x =- 是原方程的根。

8、（2011年北京四中模拟28）解方程：
33201x x x x +--=+ 答案：解：设1
x y x =+，则原
方程化为
3
20y y
-
-=------------------------------------1分 则
2230y y --=-------------------------------------------------------------------------2分 解
得
：
123,1y y ==-------------------------------------------------------------------2分 当13y =时，31x x =+，解得13
2
x =---------------------------------------------2分 当
21
y =-时
，
11
x
x =-+，解得
21
2
x =---------------------------------------------2分
经检验，原方程的解是132x =-，21
2
x =------------------------------------------1
分
1、（2011年浙江杭州三模）杭州国际动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？
（2）如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？
答案： 解：（1）设动漫公司第一次购进x 套玩具，由题意得：
6800032000
102x x
-= ……… 3分 解这个方程，得200x = ……… 1分 经检验，200x =是所列方程的根．
22200200600x x +=⨯+=． ……… 1分
所以动漫公司两次共购进这种玩具600套 （2）设每套玩具的售价为y 元，由题意得：
6003200068000
20%3200068000
y --+≥ ……… 3分
解这个不等式，得200y ≥……… 1分 所以每套玩具的售价至少是200元．……… 1分
9、(2011山西阳泉盂县月考)②解分式方程：1-x x －x
-13=3 【答案】②x=3
10.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)解方程：13
21
x x =
+ 答案：1x =
11、(2011山西阳泉盂县月考)先化简，再求值①1x 2+-x x ∙1
212
2+--x x x 其中x 满足x 2
－3x+2=0.
【答案】①原式=x 1 当x=2时原式=x=2 12、（2011年北京四中中考模拟20）解方程：
1x 121x x 3=---
解：方程两边都乘以)1(-x ，得：123-=+x x
解得：23-
=x 经检验：2
3
-=x 是原方程的根；
13. （2011年兴华公学九下第一次月考）解分式方程：
212111
x x x -=-- （6分）
答案：
212111
x x x -=+-，去分母：2121x x x --=- ·········· （2分） 化简：2
0x x +=，解得：1201x x ==-，． ·············· （4分） 检验：1x =-不是原方程的解． ···················· （5分） 所以原方程的解为0x =．
14. （2011年黄冈市浠水县中考调研试题）解方程组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=+=+832152
1y
x
y
x
答案：经检验⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=22129
1y x 是原方程组的解。

15. （2011浙江杭州模拟7）为了帮助日本地震灾区重建家园，某公司号召员工自愿捐款．请你根据两位经理的对话，计算出第一次捐款的人数
解：设第一次捐款的人数为x 根据题意列方程得
2020000
256000=-x x
解得x=400
经检验x=400是原方程的根,且符合题意 答：第一次捐款400人.
B 组
1、（2011年北京四中34模）解分式方程：221
22
x x x +=+
答案：)2(2122+=+x x x x x x 42122
2
+=+
41=
x 经检验，4
1
=x 是原方程的解
2、（2011 天一实验学校 二模） 解方程：
11322x
x x
-=--- 答案： 解： 去分母得：1=x-1-3x+6
2x=4
x=2 检验：x=2为增根，舍去
∴原方程无解
3、（2011北京四中模拟）解方程
5
22112x x x
+=-- 答案：两边都乘以()21x -得： 542x x -=-
∴33x -=∴1x =-
检验：把1x =-代入()21x -=()21130?
-=-?
∴1x =-是原分式方程的解。

4、（北京四中2011中考模拟12）解方程：解方程：221
1.11
x x -=-- 答案：.解：去分母,得
222(1) 1.20.,2,1.x x x x x x x x x -+=-∴+-==-=∴12解这个方程得=-2,=1.
经检验:是原方程的根是增根原方程的根是=-2.
5、（2011浙江杭州育才初中模拟）日本在地震后，核电站出现严重的核泄漏事故，为了防 止民众受到更多的核辐射，我国某医疗公司主动承担了为日本福田地区生产2万套防辐射衣 服的任务，计划10天完成，在生产2天后，日本的核辐射危机加重了，所以需公司提前完 成任务，于是公司从其他部门抽调了50名工人参加生产，同时通过技术革新等手段使每位 工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务。

求该公司原计划安排 多少名工人生产防辐射衣服？（原创）
答案：解：设公司原计划安排x 名工人生产防核辐射衣服,则每个工人每天生产
2000
x
件，
由题意得 20002000022000(125%)(50)(1022)
x x -⨯+=+-- 5163(50)
x x =+ 解得750x =
经检验750x =是方程的解，也符合题意。

答：公司原计划安排750名工人生产防核辐射衣服
6、（2011年安徽省巢湖市七中模拟）5·12汶川大地震发生以后，全国人民众志成城．首长 到帐篷厂视察，布置赈灾生产任务，下面是首长与厂长的一段对话：
首长：为了支援灾区人民，组织上要求你们完成12000顶帐篷的生产任务．
厂长：为了尽快支援灾区人民，我们准备每天的生产量比原来多一半．
首长：这样能提前几天完成任务？
厂长：请首长放心！保证提前4天完成任务！
根据两人对话，问该厂原来每天生产多少顶帐篷？
答案：解：设该厂原来每天生产x 顶帐篷，根据题意得：
1200012000432
x x
-=． 解方程得：1000x =．
经检验：1000x =是原方程的根，且符合题意．
答：该厂原来每天生产1000顶帐篷．
分式单元测试
一 选择（36分）
1 下列运算正确的是（ ）
A -40=1
B （-3）-1=3
1 C （-2m-n ）2=4m-n D （a+b ）-1=a -1+b -1
2 分式2
8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 72xyz 2 B 108xyz C 72xyz D 96xyz 2
3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4
写成小数是（ ）
A 0.00036
B -0.0036
C -0.00036
D -36000
4 如果把分式y
x x 232-中的x,y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 扩大3倍 B 不变 C 缩小3倍 D 扩大2倍
5 若分式652
2+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）
A 2
B -2
C 2或-2
D 2或3
6 计算⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+1111112x x 的结果是（ ） A 1 B x+1 C
x x 1+ D 11-x 7 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-x
x 上述所列方程，正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4
8 在m
a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5
9 若分式方程x
a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 2
10 若3,111--+=-b
a a
b b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 11 把分式方程
12121=----x x x ，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ） A 1-(1-x)=1 B 1+(1-x)=1 c 1-(1-x)=x-2 D 1+(1-x)=x-2 12 已知 k b
a c c a
b
c b a =+=+=+，则直线y=kx+2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限
二 填空（21分）
1 写出一个分母至少含有两项且能够约分的分式
2 ()a b
ab ab a 2332222=++ 3 7m =3,7n =5,则72m-n =
4 一组按规律排列的式子：()0,,,,411
38252≠--ab a
b a b a b a b ，其中第7个式子是 第n 个式子是 5 ()231200841
0-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-= 6 方程04142=----x
x x 的解是 7 若2
22
2,2b a b ab a b a ++-=则= 三 化简（12分） 1 ()d cd b a c
ab 234322222-∙-÷ 2 111122----÷-a a a a a a
3
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---÷--225262x x x x
四 解下列各题（8分）
1 已知
b ab a b ab a b a ---+=-2232,311求 的值 2 若0<x<1,且x
x x x 1,61-=+求 的值
五 （5）先化简代数式()()n m n m mn n m n m n m n m -+÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+---+222222，然后在取一组m,n 的值代
入求值
六 解方程（12分） 1
12332-=-x x 2 1
412112-=-++x x x
七 （7）2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款 4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
参考答案
一 CACBB CCBCA DB
二 1 如112-+x x ，2 3b ， 3 59 ， 4 -()n n n a
b a b 137201,--， 5 2， 6 3，7 53 三 1 ac
1 ，
2 1-a a ，
3 32+-x 四 1 提示：将所求式子的分子、分母同时除以ab 。

值为53 2
241,01,10,241,3241122-=-∴<-∴<<±=-=-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x x x x x x x x 五 化简得m+n ，当m=2,n=1时m+n=3
六 1 x=-7 ,2 x=1是增根，原方程无解
七 设第一天捐款x 人，由题意得方程 50
60004800+=x x 解得 x=200，经检验x=200是符合题意的解，所以两天捐款人数为x+(x+50)=450 人均捐款4800÷x=24。

答 （略）。