空间中的垂直关系-新人教B版高考数学一轮总复习测试

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高三数学立体几何复习：空间中的垂直关系知识精讲人教实验版(B)

高三数学立体几何复习：空间中的垂直关系知识精讲人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何复习：空间中的垂直关系二. 教学目的掌握空间中的垂直关系及其应用三. 知识分析【知识梳理】【空间中的垂直关系】1、空间任意直线互相垂直的一般定义如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为90°，则称这两条直线互相垂直．2、直线与平面垂直（1）空间直线与平面垂直的定义：如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）⊥，直线AB叫做的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作ABα平面的垂线，平面α叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离．（2）直线与平面垂直的判定定理：定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）直线与平面垂直的性质定理：定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．另外，一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的所有直线都垂直．3、平面与平面的垂直（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作αβ⊥．（2）平面与平面垂直的判定定理：定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．（3）平面与平面垂直的性质定理定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．★★几点说明★★1、直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线和平面、平面和平面的交角为90°的角度讨论，又可以从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证，还可以利用向量把几何推理和论证过程转化为代数运算过程．2、无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”。

新教材高中数学第十一章立体几何初步1141直线与平面垂直刷题课件新人教B版第四册

解析由直线与平面垂直的判定定理，知已知直线与三角形所在的平面垂直．由直线与平面垂直的性质，知已知直线与三角形的第三边垂直．
直线与平面垂直
刷提升
2．给出下列命题，其中正确的命题为( D ) A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面 B．若直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有的直线都不垂直 C．若直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有的直线都不平行 D．若异面直线a，b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直
直线与平面垂直
刷基础
题型1 异面直线所成的角
2．[河南驻马店2019高一期末]在直三棱柱ABC－A′B′C′中，侧棱AA′⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA′＝ 1，AB⊥AC，点M，N分别为A′C′，CC′的中点，则异面直线MN与B′C′所成的角为( B ) A．90° B．60° C．45° D．30°
解析 A：直线共面不具有传递性，故A错误；B：若直线a∥平面α，则平面α内存在直线m满足 m∥a，则平面α内与直线m垂直的直线均与直线a垂直，故B错误；C：若直线a⊂α，满足直线 a与平面α不平行，故C错误；D：假设存在过a的平面与b垂直，则可知b⊥a，假设不成立，故D正确．故选D.
直线与平面垂直
必修四
空间中的垂直关系
直线与平面垂直
刷基础
题型1 异面直线所成的角
1．[福建南平2019高一期末]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AD1与BD所成的角为( C ) A．30° B．45° C．60° D．90°
解析连接BC1，DC1.∵AD1∥BC1，∴异面直线AD1与BD所成的角为∠DBC1.由题可得△DBC1为等边三角形，∴∠DBC1＝60°. ∴异面直线AD1与BD所成的角为60°.故选C.

2014年高三数学第一轮复习巩固与练习空间中的垂直关系

高三数学第一轮复习巩固与练习：空间中的垂直关系一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（）①面PAB⊥面PBC ②面PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD ④面PAB⊥面PACA．①②B．①③C．②③D．②④2．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（）A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥cC．b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a3．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥nB．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γD．若m⊥β，m∥α，则α⊥β5．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β6．如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部7．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（）A．PA=PB＞PCB．PA=PB＜PCC．PA=PB=PCD．PA≠PB≠PC8．在二面角α-l-β的两个面α，β内，分别有直线a，b，它们与棱l都不垂直，则（）A．当该二面角是直二面角时，可能a∥b，也可能a⊥bB．当该二面角是直二面角时，可能a∥b，但不可能a⊥bC．当该二面角不是直二面角时，可能a∥b，但不可能a⊥bD．当该二面角不是直二面角时，不可能a∥b，也不可能a⊥b9．在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）10．已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．其中正确命题的序号有．1116．如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．求证：（1）BC⊥A1D；（2）平面A1BC⊥平面A1BD．解析17．如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点．（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：AF⊥BD．VIP显示解析18．如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．1.解析考点：平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直．解答：证明：由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB．故选A．点评：本题考查面面垂直的判定定理的应用，要注意转化思想的应用，将面面垂直转化为线面垂直．2.解析考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：选项A的逆命题是c⊥α，若α∥β，则c⊥β，根据面面平行的性质定理可判定，选项B的逆命题是b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，根据线面平行的判定定理可知正确，对于C的逆命题根据平面垂直的性质定理可知不正确，选项D的逆命题是b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c，根三垂线的逆定理可知正确．解答：解：选项A的逆命题是c⊥α，若α∥β，则c⊥β，根据面面平行的性质定理，可知成立选项B的逆命题是b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，根据线面平行的判定定理，可知成立C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α．不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面．选项D的逆命题是b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c，根三垂线的逆定理可知正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，属于基础题．3.解析考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理；对于D，考虑面面垂直的判定定理．解答：解：选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．选项D中，由l∥β，设经过l的平面与β相交，交线为c，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，又c⊂β，所以α⊥β，正确．故选D．点评：本题考查空间直线位置关系问题及判定，及面面垂直、平行的判定与性4.解析考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：对于选项A直线m可能与平面α斜交，对于选项B可根据三棱柱进行判定，对于选项C列举反例，如正方体同一顶点的三个平面，对于D根据面面垂直的判定定理进行判定即可．解答：解：对于选项D，若m∥α，则过直线m的平面与平面α相交得交线n，由线面平行的性质定理可得m∥n，又m⊥β，故n⊥β，且n⊂α，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β．故选D点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定定理，同时考查了推理能力，属于基础题．5.解析考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：根据线面平行的判定方法，可以判断A，C的对错，根据线面垂直的判定方法，可以判断B，D的真假，对四个答案逐一进行分析后，易得到答案．解答：解：A中，b可能在α内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交（不垂直）；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β．故选D．点评：本题考查的知识点是平面与直线之间的关系，熟练掌握空间线与面平行与垂直之间的关系及其转化是解答本题的关键．6.解析考点：平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征．分析：如图，C1在面ABC上的射影H必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC⊥面ABC1就可以了．解答：解：CA⊥AB，CA⊥BC1⇒CA⊥面ABC1⇒面ABC⊥面ABC1，∴过C1作垂直于平面ABC的线在面ABC1内，也在面ABC内∴点H在两面的交线上，即H∈AB．故选A点评：本题通过射影问题来考查线面垂直和面面垂直问题7.解析考点：直线与平面垂直的性质；棱锥的结构特征．专题：常规题型．分析：在下底面内找出MA=MB=MC，再利用射影长相等斜线段相等就可选答案．解答：解：∵M 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，∴MA=MB=MC ．又∵PM ⊥平面ABC ，∴MA 、MB 、MC 分别是PA 、PB 、PC 在平面ABC 上的射影，∴PA=PB=PC ．应选C ．点评：本题考查从同一点出发的斜线段与对应射影长之间的关系，是对线面垂直性质的应用，是基础题．8.解析考点：平面与平面垂直的性质．专题：综合题．分析：由题意画出图形，说明a ⊥b 与题意矛盾，排除A ，a ，b 是异面直线，显然C 错误，当该二面角不是直二面角时，不可能a ∥b ，可能a ⊥b ，所以D 不正确．解答：解：当该二面角为直二面角时（如图），若a ⊥b ，∵b 与l 不垂直，在b 上取点A ，过A 作AB ⊥l ，AB∩b=A ，由⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥ααa AB b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥βAB a AB a b ⇒a ⊥β⇒a ⊥l ．这和a 与l 不垂直相矛盾．∴不可能a ⊥b ．故A 错误，a ，b 是异面直线，显然C 错误；当该二面角不是直二面角时，不可能a ∥b ，可能a ⊥b ，所以D 不正确．∴a ，b 都与l 平行时，B 正确．故选B ．点评：本题是基础题，考查异面直线的位置关系，平面与平面所成二面角的位置关系，考查基本知识掌握的熟练程度以及空间想象能力9.解析考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：正四面体P-ABC即正三棱锥P-ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．解答：解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．点评：本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．10.解析考点：平面与平面平行的性质．专题：分析法．分析：对于①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；垂直于同一直线的两平面平行，正确．对于②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；垂直于一个平面的两个平面也有可能垂直，故错误对于③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；两平面平行并不能推出平面里的直线平行．故错误．对于④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．面面平行，被第三平面截得的两条直线平行，故正确．即可得到答案．解答：解：因为已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；因为垂直于同一直线的两平面平行，显然①正确；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；设α，β，γ分别是坐标平面，即可验证错误．③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；a、b也可异面，显然③错误．④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．由面面平行性质知，a∥b，故④正确．故答案为①④．点评：此题主要考查平面与平面平行的性质，属于概念性质理解的问题，题目比较简单且无计算量，属于基础题目．11.解析考点：平面与平面垂直的判定．专题：综合题；探究型．分析：由题意要得到平面MBD⊥平面PCD，容易推得AC⊥BD，只需AC垂直平面MBD内的与BD相交的直线即可．解答：解：由定理可知，BD⊥PC．∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．故选DM⊥PC（或BM⊥PC等）点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题12.解析考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：本题可借助正方体模型辅助判断①α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，通过讨论三面之间的位置关系进行判断；②若n⊥α，n⊥β，则α∥β，通过探究垂直于同一直线的两个平面的位置关系进行判断；③若n⊄α，m⊄α且n∥β，m∥β，则α∥β，通过面面平行的判定定理进行判断；④若m，n为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β，通过面面平行的判定定理进行判断．解答：解：依题意可构造正方体ABCD-A1B1C1D1，如图所示，在正方体中逐一判断各命题易得正确的命题是②④．①α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，不正确，如图形知垂直于同一个平面的两个平面可能相交；②若n⊥α，n⊥β，则α∥β，正确，由图形知垂直于同一条直线的两个平面平行；③若n⊄α，m⊄α且n∥β，m∥β，则α∥β，不正确，n⊄α，m⊄α，故所做的判断与α没有关系，设问错误；解答：解：设正四棱锥的底面边长为点评：本题在特殊的四面体中，证明面面垂直并且求锥体的体积，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．。

高考一轮复习新课标数学(理)配套教材：8.5 空间中的垂直关系

§8.5空间中的垂直关系1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间中垂直关系的简单命题．在高考中，对空间垂直关系的考查主要表现在三个方面：一是将关于空间位置关系的定义、判定和性质结合起来，以选择、填空的形式，对有关命题的真假进行判断；二是灵活运用判定定理、性质定理求线面角、二面角，考查空间想象能力及计算能力；三是以几何体为载体，在解答题中以证明的形式，考查线线、线面、面面垂直关系及逻辑推理能力．1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作____________．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做_________．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的________都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的_____________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．【自查自纠】1．直角2．(1)直线l 与平面α互相垂直 l ⊥α 平面α的垂线直线l 的垂面垂足 (2)两条相交直线 (3)平行 3．锐角 [0°，90°]4．(1)两个半平面所组成的图形 (2)垂直于棱 [0°，180°]5．(1)直二面角 (2)垂线 (3)交线设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，当m ⊂α，n ⊂β时，下列命题正确的是( )A ．若m ∥n ，则α∥βB ．若m ⊥n ，则α⊥βC ．若m ⊥β，则m ⊥nD ．若n ⊥α，则m ⊥β解：易知A ，B ，D 错误．故选C.设α，β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：据面面垂直的判定定理可知，若l ⊂α，l ⊥β⇒α⊥β，反之则不一定成立．故选A. 在三棱柱ABC -A1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，可知AE ⊥侧面BB 1C 1C ，∠ADE 就是AD与侧面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为a ，则在Rt △AED 中，ED ＝12a ，AE ＝32a ，tan ∠ADE＝3，所以∠ADE ＝60°.故选C.如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．解：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，连接BC ，在β内作CD ⊥l ，交l 于点D ，连接AD .∵l ⊥CD ，l ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，∴l ⊥面ACD .∴l ⊥AD .故∠ADC 为二面角α-l -β的平面角，即∠ADC ＝60°，易知∠ABC 为直线AB 与平面β所成的角．设CD ＝a ，则AD ＝2a ，AC ＝3a .又∵∠ABD ＝30°，∴AB ＝4a .∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝3a 4a ＝34.故填34.在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则①四边形BFD ′E 一定是平行四边形； ②四边形BFD ′E 有可能是正方形；③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D .以上结论正确的为____________．(写出所有正确结论的编号)解：根据两平面平行的性质定理可得BFD ′E 为平行四边形，①正确；若四边形BFD ′E 是正方形，则BE ⊥ED ′，又A ′D ′⊥EB ，A ′D ′∩ED ′＝D ′，∴BE ⊥面ADD ′A ′，与已知矛盾，②错；易知四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影是正方形ABCD ，③正确；当E ，F 分别为棱AA ′，CC ′的中点时，EF ∥AC ，又AC ⊥平面BB ′D ，∴EF ⊥面BB ′D ，④正确．故填①③④.类型一线线垂直问题如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明：(1)∵D 1D ⊥面ABCD ，且BD ⊂面ABCD ，∴D 1D ⊥BD .又∵AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos60°＝3AD 2， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2. ∴AD ⊥BD .又∵AD ∩D 1D ＝D ，∴BD ⊥面ADD 1A 1. 又AA 1⊂面ADD 1A 1, ∴AA 1⊥BD .(2)连接AC ，A 1C 1，设AC ∩BD ＝E ，连接A 1E .∵四边形ABCD 为平行四边形，∴EC ＝12AC .由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且 A 1C 1＝EC ，∴四边形A 1ECC 1为平行四边形．∴CC1∥A1E.又∵A1E⊂面A1BD，CC1⊄面A1BD，∴CC1∥面A1BD.【评析】本题主要考查线线、线面位置关系．第(1)问证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直；第(2)问证明线面平行，需转化为证明线线平行，由于面A1BD中没有与CC1平行的直线，故需作辅助线．(2013·江苏)如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS ＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)∵AS＝AB，AF⊥SB，∴F是SB的中点．又∵E分别是SA的中点，∴EF∥AB.又∵EF⊄平面ABC, AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理可证FG∥平面ABC.又∵EF∩FG＝F, EF，FG⊄平面ABC，∴平面EFG∥平面ABC.(2)∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，∴AF⊥平面SBC.又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC.又∵AB⊥BC, AB∩AF＝A, AB，AF⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA.类型二线面垂直问题如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥P-ABCD的体积．解：(1)证明：因为P A⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以P A⊥CE.因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.又P A∩AD＝A，所以CE⊥平面P AD.(2)由(1)可知CE⊥AD.在Rt△ECD中，CE＝CD·sin45°＝1，DE＝CD·cos45°＝1，又因为AB＝1，则AB＝CE.又CE∥AB，AB⊥AD，所以四边形ABCE为矩形，四边形ABCD为梯形．因为AD ＝3，所以BC ＝AE ＝AD －DE ＝2，S ABCD ＝12(BC ＋AD )·AB ＝12(2＋3)×1＝52，V P -ABCD ＝13S ABCD ·P A ＝13×52×1＝56. 于是四棱锥P -ABCD 的体积为56.【评析】证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；第(2)问的难点在于求底面四边形ABCD 的面积，注意充分利用题设条件，先证明底面ABCD 是直角梯形，从而求出底面面积，最后求体积．(2013·陕西改编)如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D .证明：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD . 又∵底面ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC . ∴BD ⊥平面A 1OC .∴BD ⊥A 1C .又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C .又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1.∵BD ∩BB 1＝B ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .类型三面面垂直问题如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．(1)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； (2)证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M . 解：(1)因为C 1D 1∥B 1A 1，所以∠MA 1B 1为异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角，因为A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，所以∠A 1B 1M ＝90°.而A 1B 1＝1，B 1M ＝B 1C 21＋MC 21＝2，故tan ∠MA 1B 1＝B 1MA 1B 1＝ 2.(2)证明：由A 1B 1⊥平面BCC 1B 1， BM ⊂平面BCC 1B 1，得A 1B 1⊥BM .①由(1)知，B 1M ＝2，又BM ＝BC 2＋CM 2＝2，B 1B ＝2， B 1M 2＋BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M .②又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，由①②得BM ⊥平面A 1B 1M . 而BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M . 【评析】求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一．本题还可以利用规则几何体建立空间直角坐标系，利用向量的方法来求解．如图，在三棱锥V -ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC ＝BC ＝a ，∠VDC ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(1)求证：平面VAB ⊥平面VCD ； (2)当角θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．解：(1)证明：∵AC ＝BC ＝a ，∴△ACB 是等腰三角形．又D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB . 又VC ⊥底面ABC ，∴VC ⊥AB .于是AB ⊥平面VCD .又AB ⊂平面VAB ， ∴平面VAB ⊥平面VCD .(2)在平面VCD 内过点C 作CH ⊥VD 于H ，则由(1)知CH ⊥平面VAB .连接BH ，于是∠CBH 就是直线BC 与平面VAB 所成的角．在Rt △CHD 中，易知CH ＝22a sin θ.设∠CBH ＝φ，在Rt △BHC 中，CH ＝a sin φ，∴22sin θ＝sin φ. ∵0<θ<π2，∴0<sin θ<1，0<sin φ<22.又0<φ<π2，∴0<φ<π4.即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，π4. 类型四垂直综合问题如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB ︵的中点，D为AC 的中点．(1)证明：平面POD ⊥平面P AC ； (2)求二面角B -P A -C 的余弦值．解：(1)证明：∵OA ＝OC ，D 为AC 中点， ∴AC ⊥OD.又∵PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，∴AC ⊥PO .∵OD ∩PO ＝O ，∴AC ⊥平面POD .而AC ⊂平面P AC ，∴平面POD ⊥平面P AC .(2)在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，由(1)知，平面POD ⊥平面P AC ，∴OH ⊥平面P AC .又P A ⊂平面P AC ，∴P A ⊥OH .在平面P AO 中，过O 作OG ⊥P A 于G ，连接HG ，则有 P A ⊥平面OGH ，从而P A ⊥HG ，∴∠OGH 是二面角B -P A -C 的平面角．在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin45°＝22.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PO 2＋OD 2＝2×222＋12＝105，在Rt △POA 中，OG ＝PO·OA PO 2＋OA 2＝2×12＋1＝63，在Rt △OHG 中，sin ∠OGH ＝OH OG ＝10563＝155，所以cos ∠OGH ＝105.故二面角B -P A -C 的余弦值为105.【评析】本题以圆锥为载体，主要考查面面垂直及二面角的计算等．第(1)问是利用隐含的线线、线面垂直得出面面垂直，充分利用圆及圆锥的性质是证明的关键；第(2)问的难点在于如何作出二面角B -P A -C 的平面角，这主要是利用第(1)问面面垂直的性质作图来实现的，在作出二面角的平面角后，构造(或找出)含此角的三角形，计算即可．注意尽量将计算问题放在直角三角形内．(2013·广东)如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ； (2)求二面角A ′CD -B 的平面角的余弦值．解：(1)证明：在图1中，易得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2.如图示，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理可得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos45°＝ 5.由翻折不变性可知A ′D ＝22，易得A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，∴A ′O ⊥OD .同理可证A ′O ⊥OE .又∵OD ∩OE ＝O ，∴A ′O ⊥平面BCDE .(2)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，∵A ′O ⊥平面BCDE ，由三垂线定理知A ′H ⊥CD ，∴∠A ′HO 为二面角A ′CD -B 的平面角.结合图1可知，H 为AC 中点，又O 为BC 中点，故OH ＝12AB ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302 ，∴cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155，∴二面角A ′CD -B 的平面角的余弦值为155.1．判断(证明)线线垂直的方法 (1)根据定义；(2)如果直线a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ； (3)如果直线a ⊥面α，c ⊂α，则a ⊥c ；(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零． 2．证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：两相交直线a ，b ⊂α，a ⊥c ，b ⊥c ⇒c ⊥α. (2)a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(3)利用面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m ，a ⊂α，a ⊥m ⇒a ⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ⇒m ⊥γ.3．证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理．在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理的逆定理等结论；(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角；(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥r ⇒β⊥r .4．平面与平面垂直性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．5．注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化6．线面角、二面角求法求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找) ⇒证⇒求(算)三步曲．也可用射影法：设斜线段AB 在平面α内的射影为A ′B ′，AB 与α所成角为θ，则cos θ＝||A ′B ′||AB ；设△ABC 在平面α内的射影三角形为△A ′B ′C ′，平面ABC 与α所成角为θ，则cos θ＝S △A ′B ′C ′S △ABC .。

高三数学一轮复习第7单元 7.5 空间中的垂直关系随堂训练理新人教B版

7.5 直线与平面垂直一、选择题1．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是()①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④答案：A2．二面角α－l－β的大小为锐角，P∈l，PA⊂α，PB⊂β且PA⊥l，则() A．∠APB的最大值等于二面角的平面角B．∠APB的最小值等于二面角的平面角C．二面角的平面角既不是∠APB的最大值，也不是∠APB的最小值D．∠APB就是二面角的平面角解析：如右图，在平面β内作PC⊥l，则∠APC为二面角的平面角，cos∠APB＝cos∠BPC·cos∠APC≤cos∠APC，即∠APB≥∠APC，故选B.答案： B3．二面角α－AB－β的平面角是锐角，C∈α，CD⊥β，垂足为D，E∈AB，且∠CEB是锐角，则∠CEB与∠DEB的大小关系为()A．∠CEB＞∠DEB B．∠CEB＜∠DEBC．∠CEB≤∠DEB D．∠CEB与∠DEB的大小关系不确定解析：如下图：作DF⊥AB垂足为F，连结CF由三垂线定理知∠CFD为二面角的平面角，可知∠CED，∠DEB均为锐角，cos∠CEB＝cos∠DEB·cos∠CED＜cos∠DEB，即∠CEB＞∠DEB.答案： A4．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为()A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π 答案： C二、填空题 5．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________．答案：可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个6．一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内，则这条线段与这两个平面所成的角的和的范围是________．解析：作AC ⊥l 垂足为C ，作BD ⊥l 垂足为D ，连结BC 、AD ，则∠BAD 和∠ABC 分别为直线AB 和平面α和β所成角．由cos ∠ABD ＝cos ∠ABC ·cos ∠DBC ≤cos ∠ABC ，即∠ABD ≥∠ABC ，∠ABC ＋∠BAD ≤∠ABD ＋∠BAD ＝90°.答案：(0°，90°]7．已知P 是△ABC 所在平面α外一点，O 是点P 在平面α内的射影(1)若P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则O 是△ABC 的__________；(2)若PA 、PB 、PC 与平面α所成的角相等，则O 是△ABC 的__________；(3)若P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的__________；(4)若平面PAB 、PBC 、PCA 与平面α所成的角相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的__________；(5)若PA 、PB 、PC 两两垂直，则O 是△ABC 的________．答案：(1)外心 (2)外心 (3)内心 (4)内心 (5)垂心三、解答题8．若P 为△ABC 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .证明：∵平面PAC ⊥平面PBC ，作AD ⊥PC 垂足为D ，根据平面与平面垂直的性质定理知：AD ⊥平面PBC ，则BC ⊥AD ，又PA ⊥平面ABC ，则BC ⊥PA ，∴BC ⊥平面PAC .因此BC ⊥AC .9．如右图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，(1)证明AB⊥平面VAD；(2)求面VAD与面VBD所成的二面角的正切值．解答：(1)证明：∵平面VAD⊥底面ABCD，又AB⊥AD，则AB⊥平面VAD.(2)取VD中点E，连结AE、BE，∵△VAD是正三角形，则AE⊥VD，由三垂线定理知BE⊥VD.∴∠AEB为面VAD与面VBD所成二面角的平面角．设AB＝1，在Rt△AED中，AE＝AD sin 60°＝3 2，∴tan∠AEB＝ABAE＝233.10．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱AD的中点，求二面角A－BD1－P的大小．解答：∵AB⊥平面AD1P，∴平面AD1P⊥平面AD1B.过P作PE⊥AD1垂足为E，则PE⊥平面AD1B，作EF⊥BD1，连结PF，则由三垂线定理知PF⊥BD1，则∠PFE为二面角A－BD1－P的平面角，设AB＝1，∵Rt △AEP ∽Rt △ADD 1，AP AD 1＝PE DD 1∴PE ＝AP ·DD 1AD 1＝24，在等腰△PBD 1中，BP ＝52，BF ＝12BD 1＝32， ∴PF ＝BP 2－BF 2＝22，在Rt △PEF 中，sin ∠PFE ＝PE PF ＝12，∴∠PFE ＝30°.1．如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD .已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC ＝22，SA ＝SB ＝ 3.(1)证明SA ⊥BC ；(2)求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值．解答：(1)证明：作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD .因为SA ＝SB ，所以AO ＝BO .又∠ABC ＝45°，故△AOB 为等腰直角三角形，AO ⊥BO ，由三垂线定理，得SA ⊥BC . (2)由(1)知SA ⊥BC ，依题设AD ∥BC ，故SA ⊥AD ，由AD ＝BC ＝22，SA ＝3，AO ＝2，得SO ＝1，SD ＝11.△SAB 的面积：S 1＝12AB ·SA 2－(12AB )2＝ 2. 连结DB ，得△DAB 的面积S 2＝12AB ·AD sin 135°＝2. 设D 到平面SAB 的距离为h ，由V D —SAB ＝V S —ABD ，得13h ·S 1＝13SO ·S 2，解得h ＝ 2.设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin α＝h SD ＝211＝2211. 所以，直线SD 与平面SAB 所成的角正弦值为2211. 2．如下图，已知四棱锥P －ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.(1)求点P到平面ABCD的距离；(2)求面APB与面CPB所成二面角的余弦值．解答：(1)如下图，作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于E，连结PE，∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，∵PA＝PD，∴OA＝OD，于是OB平分AD，点E为AD的中点，∴PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°.由已知可求得PE＝3，∴PO＝PE·sin 60°＝3×32＝32，即点P到平面ABCD的距离为32.。

高考数学一轮复习 8.5空间中的垂直关系配套训练理新

第5讲空间中的垂直关系基础巩固1.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,则以下命题中正确的是( )A.若l⊥α,α⊥β,则l⊂βB.若l⊥α,α∥β,则l⊥βC.若l∥α,α∥β,则l⊂βD.若l∥α,α⊥β,则l⊥β【答案】B【解析】对于选项A,C,可能l∥β,因此A,C均不正确.对于选项D,可能l∥β或l⊂β,因此D不正确.故选B.2.命题(1)“直线l垂直于平面α内的无数条直线,则l⊥α”,命题(2)“若l⊥α,则直线l垂直于平面α内的无数条直线”,则( )A.(1)是真命题,(2)是真命题B.(1)是真命题,(2)是假命题C.(1)是假命题,(2)是真命题D.(1)是假命题,(2)是假命题【答案】C【解析】直线l垂直于平面α内的无数条直线,则l有可能与α斜交;反之若l⊥α,则直线l垂直于平面α内的无数条直线.3.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β,反过来则不一定,因此“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.4.一直线和平面α所成的角为,则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由最小角定理知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为,最大角是当斜线与平面α内的一条直线垂直时所成的角,它为.5.(2012·浙江卷,10)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,( )A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直【答案】B【解析】当AC=1时,由DC=1,AD=,得∠ACD为直角,DC⊥AC,又因为DC⊥BC,所以DC⊥平面ABC.所以DC⊥AB.6.(2012·湖南长沙模拟)设X,Y,Z是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是( )①X,Y,Z是直线②X,Y是直线,Z是平面③Z是直线,X,Y是平面④X,Y,Z是平面A.①②B.①③C.②③D.③④【答案】C【解析】因为垂直于同一个平面的两条直线平行,垂直于同一条直线的两个平面平行,所以情形②③可使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN= .【答案】90°【解析】∵在正方体中,C1B1⊥平面ABB1A1,而MN⊂平面ABB1A1,∴C1B1⊥MN.又∠B1MN是直角,即MN⊥MB1,而MB1∩C1B1=B1,∴MN⊥平面MB1C1.故MN⊥MC1,即∠C1MN=90°.8.(2013届·山东青岛阶段测试)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).【答案】DM⊥PC(答案不唯一)【解析】∵由题意可知BD⊥PC,∴当DM⊥PC时,即有PC⊥平面MBD.又∵PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.9.(2012·山东临沂沂水)在直平行六面体AC1中,四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,AB=AA1.(1)求证:C1O∥平面AB1D1;(2)求证:平面AB1D1⊥平面ACC1A1.【证明】(1)连接A1C1交B1D1于O1,连接AO1.∵在平行四边形AA1C1C中,C1O1∥AO,C1O1=AO,∴四边形AOC1O1为平行四边形.从而可知C1O∥AO1.∵C1O⊄平面AB1D1,AO1⊂平面AB1D1,∴C1O∥平面AB1D1.(2)∵在直平行六面体AC1中,A1A⊥平面A1B1C1D1,∴A1A⊥B1D1.∵四边形A1B1C1D1为菱形,∴B1D1⊥A1C1.∵A1C1∩AA1=A1,A1C1⊂平面ACC1A1,AA1⊂平面ACC1A1,∴B1D1⊥平面ACC1A1.∵B1D1⊂平面AB1D1,∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1.10.(2012·浙江卷,20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:①EF∥A1D1;②BA1⊥平面B1C1EF;(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.【解】(1)证明:①因为C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面ADD1A1,所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA=EF,所以C1B1∥EF.故A1D1∥EF.②因为BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,故B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,即∠A1B1F=∠AA1B,故BA1⊥B1F.所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H,连接C1H.由(1)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角.在矩形AA1B1B中,AB=,AA1=2,得BH=.在直角△BHC1中,BC1=2,BH=,得sin∠BC1H==.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.拓展延伸11.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=2,∠BAD=∠CDA=45°.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;(2)证明CD⊥平面ABF;(3)求二面角B-EF-A的正切值.【解】(1)因为四边形ADEF是正方形,所以FA∥ED,∠CED为异面直线CE与AF所成的角.因为FA⊥平面ABCD,所以FA⊥CD.故ED⊥CD.在Rt△CDE中,CD=1,ED=2,CE==3,于是cos∠CED==.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.(2)证明:过点B作BG∥CD,交AD于点G,则∠BGA=∠CDA=45°.由∠BAD=45°,可得BG⊥AB.从而CD⊥AB.又CD⊥FA,FA∩AB=A,所以CD⊥平面ABF.(3)由(2)及已知,可得AG=,即G为AD的中点.取EF的中点N,连接GN,则GN⊥EF.因为BC∥AD,所以BC∥EF.过点N作NM⊥EF,交BC于M,则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角. 连接GM,可得AD⊥平面GNM,故AD⊥GM.从而BC⊥GM.由已知,可得GM=.由NG∥FA,FA⊥GM,得NG⊥GM.因此,在Rt△NGM中,tan∠GNM==.故二面角B-EF-A的正切值为.。

新课改地区2021版高考数学一轮复习核心素养测评四十一空间中的垂直关系新人教B版

核心素养测评四十一空间中的垂直关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.α,β,γ为不同的平面,m,n,l为不同的直线,则m⊥β的一个充分条件是( )A.n⊥α,n⊥β,m⊥αB.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γC.α⊥γ,β⊥γ,m⊥αD.α⊥β,α∩β=l,m⊥l【解析】选A.由n⊥α,n⊥β知α∥β,又m⊥α,所以m⊥β.所以A正确.2.如图所示,b,c在平面α内,a∩c=B,b∩c=A,且a⊥b,a⊥c,b⊥c,若C∈a,D∈b,则△ACD是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【解析】选B.因为a⊥b,b⊥c,a∩c=B,所以b⊥平面ABC,所以AD⊥AC,故△ACD为直角三角形.3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下面结论正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC【解析】选D.在平面图形中CD⊥BD,折起后仍有CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又AB⊥AD,AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC,又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.4.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A、B)且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为 ( )A.60°B.30°C.45°D.15°【解析】选C.由条件得PA⊥BC,AC⊥BC,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°.5.如图,正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,O为正方形ABCD的中心,M 为正方形ABCD内一点,且满足MP=MC,则点M的轨迹为( )【解析】选A.取AD的中点E,连接PE,PC,CE.由PE⊥AD知PE⊥平面ABCD,从而平面PEC⊥平面ABCD,取PC,AB的中点F,G,连接DF,DG,FG,由PD=DC知DF⊥PC,由DG⊥EC知,DG⊥平面PEC,又PC⊂平面PEC,所以DG⊥PC,DF∩DG=D,所以PC⊥平面DFG,又点F是PC的中点,因此,线段DG上的点满足MP=MC.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________.【解析】连接A1C1,则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角.因为AB=BC=2,所以A1C1=AC=2,又AA1=1,所以AC1=3,所以sin∠AC1A1==.答案:7.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】因为PA⊥底面ABCD,所以BD⊥PA,连接AC,则BD⊥AC,且PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC,所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(答案不唯一)8.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:________(用代号表示).【解析】逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.答案:①③④⇒②(或②③④⇒①)三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证:CD⊥平面ABD.(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.【解析】(1)因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.又因为CD⊥BD,AB∩BD=B,所以CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.又AB=BD=1,所以S△ABD=×12=.因为M是AD的中点,所以S△ABM=S△ABD=.根据(1)知,CD⊥平面ABD,则三棱锥C ABM的高h=CD=1,故V A MBC=V C ABM=S△ABM·h=.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是菱形,△PAD≌△BAD,平面PAD⊥平面ABCD,AB=4,PA=PD,M在棱PD上运动.(1)当M在何处时,PB∥平面MAC.(2)已知O为AD的中点,AC与OB交于点E,当PB∥平面MAC时,求三棱锥E-BCM的体积.【解析】(1)如图,设AC与BD相交于点N,当M为PD的中点时,PB∥平面MAC.证明:因为四边形ABCD是菱形,可得DN=NB,又因为M为PD的中点,可得DM=MP,所以NM为△BDP的中位线,可得NM∥PB,又因为NM⊂平面MAC,PB⊄平面MAC,所以PB∥平面MAC.(2)因为O为AD的中点,PA=PD,则OP⊥AD,又△PAD≌△BAD,所以OB⊥AD,且OB=2,又因为△AEO∽△CEB,所以==,所以BE=OB=,所以S△EBC=×4×=.又因为OP=4×=2,点M为PD的中点,所以M到平面EBC的距离为,所以V E-BCM=V M-EBC=××=.(15分钟35分)1.(5分)如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是( )A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE【解析】选 C.要判断两个平面的垂直关系,就需固定其中一个平面,找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.2.(5分)(2020·山东新高考模拟)已知三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠ABC=,SB=4,SC=2,AB=2,BC=6,则三棱锥S-ABC的体积是( )A.4B.6C.4D.6【解析】选 C.由SB=4,AB=2,且∠SAB=,得SA=2;又由AB=2,BC=6,且∠ABC=,得AC=2.因为SA2+AC2=SC2,从而知∠SAC=,即SA⊥AC.所以SA⊥平面ABC.又由于S△ABC=×2×6=6,从而V S-ABC=S△ABC·SA=×6×2=4.3.(5分)正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是BC的中点,动点P在四棱锥的表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的长为________.【解析】如图,设AC∩BD=O,连接SO,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG,设EF交AC于点H,连接GH,易知AC⊥EF,GH∥SO,所以GH⊥平面ABCD,所以AC⊥GH,所以AC⊥平面EFG,故动点P的轨迹是△EFG,由已知易得EF=,GE=GF=,所以△EFG的周长为+,故动点P的轨迹长为+.答案:+4.(10分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)直线A1F∥平面ADE.【证明】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD. 又因为AD⊥DE,CC1,DE⊂平面BCC1B1,CC1∩DE=E,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,所以A1F∥平面ADE.5.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CD,A1D1的中点.(1)求证:AB1⊥BF.(2)求证:AE⊥BF.(3)棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP?若存在,确定点P的位置,若不存在,说明理由.【解析】(1)连接A1B,则AB1⊥A1B,又因为AB1⊥A1F,且A1B∩A1F=A1,所以AB1⊥平面A1BF.又BF⊂平面A1BF,所以AB1⊥BF.(2)取AD中点G,连接FG,BG,则FG⊥AE,又因为△BAG≌△ADE,所以∠ABG=∠DAE.所以AE⊥BG.又因为BG∩FG=G,所以AE⊥平面BFG.又BF⊂平面BFG,所以AE⊥BF.(3)存在.取CC1的中点P,即为所求.连接EP,AP,C1D,因为EP∥C1D,C1D∥AB1,所以EP∥AB1. 由(1)知AB1⊥BF,所以BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF,且AE∩EP=E,所以BF⊥平面AEP.。

高三数学一轮复习空间的垂直关系随堂检测理 B 试题

2021?金版新学案?高三数学一轮复习空间的垂直关系随堂检测理新人教B版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每一小题6分，一共36分)1．(2021年卷)α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，那么“α⊥β〞是“m⊥β〞的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由平面与平面垂直的断定定理知假如m为平面α内的一条直线，m⊥β，那么α⊥β，反过来那么不一定．所以“α⊥β〞是“m⊥β〞的必要不充分条件．【答案】 B2．(2021年卷)给定以下四个命题：①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；②假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④ D．②和④【解析】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的断定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；假设两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．【答案】 D3．(2021年宁夏卷)平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，那么以下四种位置关系中，不一定成立的是( ) A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β【解析】如以下图所示AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，应选D.【答案】 D4．如右图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，那么C1在面ABC 上的射影H必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上 C ．直线CA 上D ．△ABC 内部【解析】⎭⎪⎬⎪⎫CA ⊥AB CA ⊥BC 1⇒CA ⊥面ABC 1⇒面ABC ⊥面ABC 1，∴过C 1作垂直于平面ABC 的线在面ABC 1内， ∴H ∈AB . 【答案】 A5．m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，以下四个命题中，错误．．命题的个数是( )①α∥β，m ⊂α，n ⊂β，那么m ∥n ；②假设m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，那么α∥β； ③假设α⊥β，m ⊂α，那么m ⊥β； ④假设α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，那么m ∥α. A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①错，两平行平面内任意两直线可平行或者异面； ②错，只有两个平面内的两条相交直线互相平行，两个平面才平行；③由面面垂直的性质定理可知当且仅当直线m 垂直两平面交线时，命题才成立； ④空间想象易知命题成立，综上可知只有④是正确的，其他三个命题均错误，应选C. 【答案】 C6．如图在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1－ABC 的面是直角三角形的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】据题意由AA1⊥平面ABCD，可得三角形AA1B，AA1C为直角三角形，又易推出BC⊥平面AA1B，故三角形A1BC和ABC为直角三角形，即此四面体各个面均为直角三角形．【答案】 D二、填空题(每一小题6分，一共18分)7．直线a和两个平面α，β，给出以下四个命题：①假设a∥α，那么α内的任何直线都与a平行；②假设a⊥α，那么α内的任何直线都与a垂直；③假设α∥β，那么β内的任何直线都与α平行；④假设α⊥β，那么β内的任何直线都与α垂直．那么其中________是真命题．【解析】假设a∥α，那么α内的无数直线都与a平行，但不是任意一条，即①不正确；假设a⊥α，那么α内的任何直线都与a垂直，即②正确；假设α∥β，那么β内的任何直线都与α平行，即③正确；假设α⊥β，那么β内有无数条直线都与α垂直，但不是任意一条，即④不正确．综上可得②、③为真．【答案】②、③8．如下图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写上一个你认为是正确的条件即可)【解析】由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或者BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ， ∴平面MBD ⊥平面PCD .【答案】 DM ⊥PC (或者BM ⊥PC 等)9．正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在外表上运动，并且总保持PE ⊥AC ，那么动点P 的轨迹的周长为________．【解析】由题意知：点P 的轨迹为如下图的三角形EFG ，其中G 、F 为中点，∴EF ＝12BD ＝2，GE ＝GF ＝12SB ＝62， ∴轨迹的周长为2＋ 6. 【答案】2＋ 6三、解答题(一共46分)10．(15分)如下图，P 为△ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F .求证：(1)BC ⊥平面PAB ；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥EF.【证明】(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC，∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.而EF⊂面AEF，∴PC⊥EF.11．(15分)如图1，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图2.(1)求四棱锥D－ABCE的体积；(2)求证：AD⊥平面BDE.【解析】(1)取AE中点O，连接DO，由题意知：AB＝2AD＝2a，ED＝EC，∴AD＝DE，∴DO⊥AE，又∵平面ADE⊥平面ABCE，∴DO⊥平面ABCE.在等腰Rt△ADE中，AD ＝DE ＝a ， DO ＝22a ，又S 梯形ABCE ＝12(a ＋2a )a ＝32a 2，∴V D －ABCE ＝13S 梯形ABCE ·DO ＝13·32a 2·22a ＝24a 3.(2)证明：在题图1中，连接BE ，那么BE ＝a 2＋a 2＝2a ，又AE ＝2a ，AB ＝2a ， ∴AB 2＝AE 2＋EB 2， ∴AE ⊥EB ，由(1)知DO ⊥平面ABCE ， ∴DO ⊥BE ，又DO ∩AE ＝O ， ∴BE ⊥平面ADE ∴BE ⊥AD 又∵AD ⊥DE ， ∴AD ⊥平面BDE .12．(16分)(2021年卷)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点．(1)设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1； (2)证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C . 【证明】 (1)法1：取A 1B 1的中点为F 1.连结FF1，C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连结A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，得EE1∥F1C.而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.法2：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.(2)证明：连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB.因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C.而AC⊂平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

学海导航高三数学人教B版文科第一轮总复习训练9.49空间中的垂直关系(含答案详析)

第49讲空间中的垂直关系1.直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．α内的所有直线2.若三个平面α，β，γ之间有α⊥γ，β⊥γ，则α与β()A．垂直B．平行C．相交D．以上三种可能都有3.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α4.已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则有()A．α⊥γ且m∥βB．α⊥γ且l⊥mC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则BC与AC的位置关系是.6.已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.其中正确命题的序号有________．7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找一个平面与平面DA1C1垂直，则该平面是__________．(写出满足条件的一个平面即可)8.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点，求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.9.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.第49讲空间中的垂直关系1．C2．D垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不确定，故选D.3．C对于A，由l∥m，l⊥α，则m⊥α，与已知矛盾；对于B，由l⊥m，l⊥α，可知m∥α或m⊂α，与已知矛盾；对于D，由l∥m，l∥α可知m∥α或m⊂α，与已知矛盾．由此排除A，B，D，故选C.4．B m⊂α，m⊥γ⇒α⊥γ，又l⊂γ⇒m⊥l，故选B.5．垂直因为PB⊥α，所以PB⊥AC.又因为PC⊥AC，且PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.6．①④垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也成立，②错；a、b也可异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确．7．平面ABD1连接AD1，在正方形ADD1A1中，AD1⊥A1D，又AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.又AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABD1，又A1D⊂平面DA1C，故平面ABD1⊥平面DA1C1.8．证明：(1)在△ABD中，因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，所以CF⊥BD.因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.又因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.9．证明：(1)因为E，F分别是AP，AD的中点，所以EF∥PD，又因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)因为AB＝AD，∠BAD＝60°，F是AD的中点，所以BF⊥AD，又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面P AD，所以，平面BEF⊥平面P AD.。

高中数学 1.2.3.1 空间中的垂直关系活页训练新人教B版必修2(1)

1.2.3.1 空间中的垂直关系双基达标限时20分钟1．直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则 ( )．A ．l ⊥mB ．l ∥mC ．l ，m 异面D ．l ，m 相交而不垂直解析无论l 与m 是异面，还是相交，都有l ⊥m ，考查线面垂直的定义，故选A. 答案 A2．若斜线段AB 是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )． A ．60° B ．45° C ．30°D ．120°解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，又AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝OB AB ＝12.所以∠ABO ＝60°.故选A.答案 A3．如图所示，PO ⊥平面ABC ，BO ⊥AC ，在图中与AC 垂直的线段有( )．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析 ∵PO ⊥平面ABC ，∴PO ⊥AC ，又∵AC ⊥BO ， ∴AC ⊥平面PBD ，∴平面PBD 中的4条线段PB ，PD ，PO ，BD 与AC 垂直．答案 D4．在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________．解析由正方体性质知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵E，F是棱AB，BC的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1，∴EF⊥平面BB1O.答案垂直5．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.解析由线面垂直的性质定理知①④正确．答案 26．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E 是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD.证明(1)连接AC，AC交BD于点O.连接EO，如图．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD.∴PD⊥DC.∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.综合提高限时25分钟7．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n 与平面α的关系是( )．A．n∥αB．n∥α或n⊂αC．n⊂α或n与α不平行D．n⊂α解析∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.答案 A8．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有( )．A．①②B．①③C．②③D．③④解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.答案 B9．如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心．解析三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，可证投影是底面三角形的垂心．答案垂10．已知三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，若A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与ABC 底面所成的角的正弦值等于________．解析由题意知，三棱锥A 1ABC 为正四面体(各棱长都相等的三棱锥)，设棱长为a ，则AB 1＝3a ，棱柱的高A 1O ＝a 2－AO 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32a 2＝63a (即点B 1到底面ABC 的距离)，故AB 1与底面ABC 所成的角的正弦值为A 1O AB 1＝23.' 答案2311．如图所示，四边形ABCD 为正方形，SA 垂直于四边形ABCD 所在的平面，过点A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于点E ，F ，G .求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD . 证明因为SA ⊥平面ABCD ，所以SA ⊥BC .又BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面SAB ，又AE ⊂平面SAB ，所以BC ⊥AE . 因为SC ⊥平面AEFG ，所以SC ⊥AE . 又BC ∩SC ＝C ，所以AE ⊥平面SBC ，所以AE ⊥SB .同理可证AG ⊥SD .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PO ⊥面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC .(2)求点A 到平面PBC 的距离．(1)证明因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD⊥BC.因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD.又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.而PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC.(2)解如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE∥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离．又EF⊥PC，BC⊥平面PCD，则EF⊥BC.BC∩PC＝C，所以EF⊥平面PBC.EF即为E到平面PBC的距离．又因为AE∥BC，AB∥CD，所以四边形ABCE为平行四边形．所以CE＝AB＝2.又PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD.所以PD⊥CD，∠PCD＝45°.所以EF＝ 2.即点A到平面PBC的距离为 2.。

高考数学一轮总复习 84空间中的垂直关系课后强化作业

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习8-4空间中的垂直关系课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．(文)对于直线m、l和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，lαC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，mα[答案] D[解析]本题考查空间线面位置关系的判定．A：与两相互垂直直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；C：这两个平面也有可能重合可能平行；故选D.(理)平面α垂直于平面β(α、β为不重合的平面)成立的一个充分条件是()A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD．存在一条直线l，l⊥α，l∥β[分析]本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识．由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面α⊥平面β成立的一个条件．[答案] D[解析]对于选项A，l⊥α，l⊥β⇒α∥β；对于选项B，γ∥α，γ∥β⇒α∥β；对于选项C，当γ⊥α，γ⊥β成立时，平面α，β的关系是不确定的；对于选项D，当l⊥α，l∥β成立时，说明在β内必存在一条直线m，满足m⊥α，从而有α⊥β成立．2．(2013·新课标Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l[答案] D[解析]解法1：平移直线m使之与n相交于O，这两条直线确定的平面为γ，∵m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β相交．设交线为a，则a⊥γ，又l⊥m，l⊥n，则l⊥γ，∴l∥a.解法2：若α∥β，∵m⊥α，n⊥β，∴m∥n，这与m、n异面矛盾，故α与β相交，设α∩β＝a，则a⊥m，a⊥n，在m上取点O，过O作n′∥n，设m与n′确定的平面为γ，∵a⊥m，a⊥n′，∴a⊥γ，∵l⊥n，∴l⊥n′，又l⊥m，∴l⊥γ，∴a∥l.3．P A垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是()①面P AB⊥面PBC②面P AB⊥面P AD③面P AB⊥面PCD④面P AB⊥面P ACA．①②B．①③C．②③D．②④[答案] A[解析]易证BC⊥平面P AB，则平面P AB⊥平面PBC.又AD∥BC，故AD⊥平面P AB，则平面P AD⊥平面P AB，因此选A.4．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β[答案] B[解析]本题考查了空间中线面的垂直与平行，A中，α和β也可以相交，C中l应平行于β或在β内，D中l也可与β平行．5．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直[答案] C[解析]在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD，CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.6．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[答案] D[解析]本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识．对于A、α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.二、填空题7．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．[答案]AB，BC，AC AB[解析]∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，∴AB⊥PC.与AP垂直的直线是AB.8．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)[答案]②④[解析]若m⊥α，α∥β，则m⊥β.9．(文)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．[答案]①④[解析]②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.(理)在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________．[答案]27[解析]如图，∵PC⊥平面ABC，MC面ABC，∴PC⊥MC.故PM＝PC2＋MC2＝MC2＋16.又∵MC的最小值为4×43＝23，8∴PM的最小值为27.三、解答题10．(2013·江西高考)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB//CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离．[解析](1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝ 3.在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC . 由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1，所以BE ⊥平面BB 1C 1C .(2)连接B 1E ，则三棱锥E －A 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·S △A 1B 1C 1＝ 2.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝3 2.A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝23，故S △A 1C 1E ＝3 5.设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1－A 1C 1E 的体积 V ＝13·d ·S △A 1C 1E ＝5d ，从而5d ＝2，d ＝105. 能力强化训练一、选择题1．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在平面，那么( )A．P A＝PB>PC B．P A＝PB<PCC．P A＝PB＝PC D．P A≠PB≠PC[答案] C[解析]∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故P A＝PB＝PC.2．(2013·广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nB．若α∥β，mα，nβ，则m∥nC．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β[答案] D[解析]本题考查空间中直线与平面的平行与垂直关系．m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又n∥β，由面面垂直的判定定理知：α⊥β二、填空题3．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中真命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案]①④[解析]本题考查四面体的性质，取BC的中点E，则BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD，故①正确．设O为A在面BCD上的射影，依题意OB⊥CD，OC⊥BD，∴O为垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD，故④正确，②③易排除，故答案为①④.4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)[答案]DM⊥PC(或BM⊥PC)[解析]由定理知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答题5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、SC和DC 的中点，点P在线段FG上．(1)求证：平面EFG∥平面SDB；(2)求证：PE⊥AC.[解析](1)∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点，∴EF∥SB，EG∥BD.∵EF平面SBD，EG平面SBD，∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD.∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB.(2)∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD.又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.∵PE平面EFG，∴PE⊥AC.6．(2013·北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD、PC的中点，求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[解析](1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE平面P AD，AD平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD.所以P A⊥CD.所以CD⊥平面P AD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF，又因为CD⊥BE，BE∩EF＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.11。

高考数学总复习课时作业15空间的垂直关系理新人教B版

A级1．(2012 ·沈阳模拟) 已知直线l ， m，平面α，β，且 l ⊥α，m?β，则“α∥β”是“ l ⊥ m”的()A．充要条件B．充足不用要条件C．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件2．将图 1 中的等腰直角三角形ABC沿斜边 BC的中线折起获得空间四周体ABCD(如图2)，则在空间四周体ABCD中， AD与 BC的地点关系是()A．订交且垂直B．订交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直3．已知直线m，l和平面α，β，则α⊥β的充足条件是 ()A．⊥，∥α，∥βB．⊥，α∩β＝，?αm l m l m l m lC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m? α4.如图，已知△ ABC为直角三角形，其中∠ ACB＝90°， M为 AB的中点， PM垂直于△ ABC所在平面，那么()A．PA＝PB＞P B．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC5．(2012 ·浙江卷 ) 设l是直线，α，β是两个不一样的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β6. 如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有 ________；与AP垂直的直线有 ________．7．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m? α；④α∥β. 当满足条件 ________时，有m⊥β.( 填所选条件的序号 )8. 如下图，在四棱锥P－ ABCD中， PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M是 PC上的一动点，当点M知足________时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只需填写一个你以为是正确的条件即可 )9．在正三棱锥P－ ABC中， D， E 分别是 AB， BC的中点，有以下三个论断：①AC⊥ PB；② AC∥平面 PDE；③ AB⊥平面 PDE.此中正确论断的序号为________．10．(2012 ·新课标全国卷) 如图，在三棱柱ABC－ A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ ACB＝90°，1AC＝ BC＝2AA1， D是棱 AA1的中点．(1)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC；(2)平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．11． Rt△ABC所在平面外一点S，且 SA＝ SB＝ SC， D为斜边 AC的中点．(1)求证： SD⊥平面 ABC；(2)若 AB＝ BC，求证： BD⊥平面 SAC.B级1.如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E， F 分别是 CD， A1D1的中点．(1)求证： AB1⊥BF；(2)求证： AE⊥BF；(3)棱 CC1上能否存在点 P，使 BF⊥平面 AEP？若存在，确立点 P的地点，若不存在，说明原因．2. 如图，四棱锥V－ ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面 ABCD，设 AB＝2.(1)证明： AB⊥平面 VAD；(2)求二面角 A－ VD－ B 的正切值；(3)E是 VA上的动点，当面 DCE⊥面 VAB时，求三棱锥 V－ ECD的体积．详解答案课时作业 ( 十五 )A级1． B当α∥β，l⊥ α时，有l⊥ β，又m?β，故l⊥ m.反之，当 l ⊥ m， m?β时，不必定有l ⊥β，故α∥β不必定建立．所以“α∥β”是“l⊥m”的充足不用要条件．2．C在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如图2，AD与BC变为异面直线，而原线段BC变为两条线段BD， CD，这两条线段与 AD垂直，即 AD⊥ BD， AD⊥CD， BD∩CD＝ D.故 AD⊥平面 BCD，所以 AD⊥BC.m⊥ l3．D 由∥α ? /α⊥β，如图. ml ∥βm⊥l由α∩β＝m? /α⊥β，如图.l ?αm∥l由m ⊥α? /α⊥β，如图. l ⊥β所以选项 A， B， C 都不对．又选项 D 能推出α⊥β，所以 D 正确，应选 D.4．C∵ M为AB的中点，△ ACB为直角三角形，∴BM＝ AM＝ CM，又 PM⊥平面 ABC，∴Rt △PMB≌Rt△ PMA≌Rt△ PMC，故 PA＝ PB＝ PC.5． B利用线与面、面与面的关系定理判断，用特例法．设α∩β＝a，若直线l∥a，且l?α，l?β，则l∥α，l∥β，所以α不必定平行于β，故A错误；因为l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥ β，所以 B 正确；若 α⊥ β，在 β 内作交线的垂线l ，则 l ⊥ α，此时 l 在平面 β 内，所以 C 错误；已知 α⊥β，若 α∩ β＝ a ， l ∥ a ，且 l 不在平面 α，β 内，则 l ∥α 且 l∥ β ，所以 D 错误．6．分析：∵PC ⊥平面 ABC ，∴ PC 垂直于直线 AB ， BC ， AC ；∵ AB ⊥AC ， AB ⊥PC ， AC ∩PC ＝ C ，∴ AB ⊥平面 PAC ，∴ AB ⊥PC . 与 AP 垂直的直线是 AB .答案：AB ， BC ， ACAB7．分析：若 m ⊥ α，α∥ β，则 m ⊥ β.答案： ②④8．分析：由定理可知， BD ⊥ PC . ∴当 DM ⊥PC ( 或 BM ⊥ PC ) 时，即有 PC ⊥平面 MBD ，而 PC ? 平面 PCD ，∴平面 MBD ⊥平面 PCD .答案：DM ⊥ PC ( 或 BM ⊥PC 等 )9. 分析：如图，∵ P －ABC 为正三棱锥，∴ PB ⊥AC ；又∵ DE ∥ AC ，∴ AC ∥平面 PDE .故①，②正确．答案： ①②10．分析：(1) 证明：由题设知BC ⊥ CC 1，BC ⊥ AC ，CC 1∩ AC ＝ C ，所以 BC ⊥平面 ACC 1A 1.又 DC 1? 平面 ACC 1A 1，所以 DC 1⊥ BC .由题设知∠ A 1DC 1＝∠ ADC ＝45°，所以∠ CDC 1＝90°，即 DC 1⊥ DC .又 DC ∩ BC ＝ C ，所以 DC 1⊥平面 BDC .又 DC 1? 平面 BDC 1，故平面 BDC 1⊥平面 BDC .(2) 设棱锥 B －DACC 1的体积为 V 1，设 AC ＝ 1. 由题意得1 1＋2 1 V 1＝ ×2×1×1＝ .32又三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的体积 V ＝ 1，所以 ( V － V 1) ∶ V 1＝1∶1.故平面 BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶ 1.11．证明：(1) 取 AB 的中点 E ，连结 SE ，DE ，在 Rt △ ABC 中， D ， E 分别为 AC ，AB 的中点，故 DE∥ BC，且 DE⊥ AB.∵SA＝SB，∴△ SAB为等腰三角形．∴ SE⊥AB.又∵ DE⊥ AB， SE∩ DE＝ E，∴AB⊥平面 SDE.而 SD?平面 SDE，∴ AB⊥SD.在△ SAC中， SA＝ SC， D为 AC的中点，∴ SD⊥ AC.又∵ SD⊥ AB， AC∩ AB＝ A，∴ SD⊥平面 ABC.(2)若 AB＝ BC，则 BD⊥ AC，由 (1) 可知，SD⊥平面ABC，而BD? 平面ABC，∴SD⊥BD.又∵ BD⊥ AC， SD∩ AC＝ D，∴ BD⊥平面 SAC.B级1．分析：(1) 证明：连结A1B，则 AB1⊥ A1B，又∵ AB1⊥ A1F，且 A1B∩ A1F＝ A1，∴ AB1⊥平面 A1BF.∵BF?平面 A1BF，∴ AB1⊥ BF.(2)证明：取 AD中点 G，连结 FG，BG，则 FG⊥ AE，又∵△ BAG≌△ ADE，∴∠ ABG＝∠ DAE.∴AE⊥BG.又∵ BG∩ FG＝G，∴AE⊥平面 BFG.∵ BF?平面 BFG，∴AE⊥BF.(3)存在．取 CC1中点 P，即为所求．连结 EP， AP，C1D，∵ EP∥C1D， C1D∥ AB1，∴ EP∥AB1.由 (1) 知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.又由 (2) 知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，∴BF⊥平面 AEP.2.分析： (1) 证明：∵平面VAD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形．∴AB⊥AD. 又平面 VAD∩底面 ABCD＝AD.故 AB⊥平面 VAD.(2) 如图，取VD的中点 F，连结 AF， BF.3∵△ VAD是正三角形，∴AF⊥ VD， AF＝AD.2依据 (1) AB⊥平面VAD.∴AB⊥VD.∴ VD⊥平面 ABF.∴ BF⊥ VD.∴∠ AFB为面 VAD与平面 VDB所成的二面角的平面角．AB23∴tan ∠AFB＝AF＝3 .(3)由(1) 可知AB⊥平面VAD，∴CD⊥平面VAD.∴平面 VAD⊥平面 ECD.又∵△ VAD是正三角形，∴当E是 VA中点时， ED⊥VA.∴VA⊥面 EDC，∵ VA?面 VAB，∴面 VAB⊥面 EDC.此时三棱锥V－EDC的体积等于三棱锥C－VED的体积，1113C－ EDV＝·△ VED·＝× ×3×1×2＝ .V3S DC323。

高三数学一轮复习 7.4空间中的垂直关系精讲精练

第4课空间中的垂直关系【考点导读】1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。

2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。

【基础练习】1．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l α⊥”的必要条件。

2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是平行或相交。

3．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。

4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内。

5．在正方体1111ABCD A B C D -中，写出过顶点A 的一个平面__AB 1D 1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。

【范例导析】例1．如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .（1）证明PA //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD .解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.证明：（1）连结AC ,AC 交BD 于O ,连结EO .∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点在PAC ∆中,EO 是中位线,∴PA // EO而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ,所以,PA // 平面EDB （2）∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ,∴DC PD ⊥∵PD =DC ,可知PDC ∆是等腰直角三角形,而DE 是斜边PC 的中线,∴PC DE ⊥. ①同样由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC . ∵底面ABCD 是正方形,有DC ⊥BC ,∴BC ⊥平面PDC .而⊂DE 平面PDC ,∴DE BC ⊥. ②由①和②推得⊥DE 平面PBC . 而⊂PB 平面PBC ,∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ,所以PB ⊥平面EFD .例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA 。

高考数学一轮复习专题42 空间中的垂直关系押题专练

专题42 空间中的垂直关系1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C.∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a.故选C。

2．如图所示，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中点，则下列直线中与B1O垂直的是( )A．A1D B．AA1C．A1D1D．A1C1解析：选D。

由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1⊂面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1。

3．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )解析：选A。

A选项中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB，B选项中，AB与CD成60°角；C选项中，AB与CD成45°角；D选项中，AB与CD夹角的正切值为2。

4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：选D.根据所给的已知条件作图，如图所示。

由图可知α与β相交，且交线平行于l.5．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．异面且垂直 D．异面但不垂直6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥β D.若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B.对于选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；对于选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故C错误；对于选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故D错误．故选B。

高考数学第一轮复习用书空间中的垂直关系文

第54课空间中的垂直关系1．（2012东城二模）给出下列命题：① 如果不同直线m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不相交； ② 如果不同直线m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定平行； ③ 如果平面βα、互相平行，若直线m α⊂，直线n β⊂，则m //n ； ④ 如果平面βα、互相垂直，且直线m 、n 也互相垂直，若α⊥m 则β⊥n ．则真命题的个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】只有②为真命题．2．（2012汕头二模）设l 、m 是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（）A ．若,⊥⊥l ααβ，则//l βB ．若//,⊥l ααβ，则//l βC ．若,//,⊥⊂l m m αββ，则⊥l αD ．若,//,⊥⊂l m ααββ，则⊥l m 【答案】D【解析】∵,l α⊥//αβ，∴l β⊥，∵m β⊂，∴l m ⊥．3．（2012湖南高考）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC BD ⊥．（1）证明：BD PC ⊥；（2）若4AD =，2BC =，直线PD 与平面PAC 所成的角为30o，求四棱锥P ABCD -的体积．国^教*~育出#版%【解析】（1）∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥．又AC BD ⊥，PA AC A =I ， ∴BD ⊥平面PAC ，∵PC ⊂平面PAC ，∴BD PC ⊥．（2）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（1）知，BD ⊥平面PAC ，∴DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，∴DPO ∠30=o．由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥．在Rt POD V中，由DPO ∠30=o，得2PD OD =． ∵四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥， ∴,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+= 于是梯形ABCD 面积1(42)39.2S =⨯+⨯=在等腰三角形AOD中，2OD AD ==∴2 4.PD OD PA ====故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=．PACDPACDO4．（2012广东高考）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC 上的点，且12DF AB =，PH 为PAD ∆中AD 边上的高．（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；∴QE ∥DF 且QE DF =，∴四边形EQDF 是平行四边形，∴EF ∥QD ． ∵AB ⊥平面PAD ，∴AB QD ⊥，又∵PD AD =，∴QD PA ⊥C∵AB PA A =I P ，∴QD ⊥平面PAB ∵EF ∥QD ，∴EF ⊥平面PAB .5．（2012江苏高考）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．【证明】（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ．又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥．又∵AD DE ⊥,1CC DE E =I ， ∴AD ⊥平面11BCC B ．又∵AD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面11BCC B ．（2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥．又∵1CC ⊥平面111A B C ，1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥．又∵1111CC B C C =I ，∴1A F ⊥平面111A B C ．由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD ．又∵AD ⊂平面1, ADE A F ⊄平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE ．DEFABCA 1B 1C 16．（2012广州一模）如图所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明PBC ∆为直角三角形．【解析】（1）证明：∵平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，∴PD ⊥平面ABC ．记AC 边上的中点为E ，如图：在ABC ∆中，AB BC =，∴AC BE ⊥．∵AB BC ==4=AC ，∴BE ===∴12ABC S AC BE ∆=⨯⨯= ∵2=PD ，∴三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯1233=⨯=．（2）连接BD ，在Rt BDE ∆中，∵90BED ∠=o，BE =，1DE =，∴BD ===．在△BCD 中，3CD =，BC =BD =，∴222BC BD CD +=，∴BC BD ⊥．由（1）知PD ⊥平面ABC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴BC PD ⊥．BP A CD BPA D E∵BD PD D =I ， ∴BC ⊥平面PBD ． ∵PB ⊂平面PBD ，∴BC PB ⊥．∴PBC ∆为直角三角形．。

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