广西壮族自治区百色市德宝中学2022年高三数学理期末试卷含解析

广西壮族自治区百色市德宝中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数f(x)=xcos2x在区间[0,2π]上的零点个数为
A 2
B 3
C 4
D 5
参考答案：
D
由，得或；其中，由，得，故
.又因为，所以.所以零点的个数为个.故选D.
【点评】本题考查函数的零点，分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题，一般需要规定自变量的取值范围；否则，如果定义域是,则零点将会有无数个；来年需注意数形结合法求解函数的零点个数，所在的区间等问题.
2. 已知复数，则的共轭复数等于
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
3. 已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为( )
A．B．C．D．
参考答案：
B 略
4. 执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为（）
A．B．0 C．﹣D．﹣1
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【分析】算法的功能是求S=的值，根据条件确定跳出循环的n值，利用余弦函数的周期性求输出S的值．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=的值，
∵跳出循环的n值为2014，
∴=
故选C．
5. 函数与(且)在同一直角坐标系下的图象可能是
参考答案：
D
6. a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面．
①若α∩β=a，b?α，a⊥b，则α⊥β；
②若a?α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩β=a，α∩γ=b，则a⊥b；
④若a不垂直平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；
⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β．
上述五个命题中，正确命题的序号是（）
A．①②③B．②④⑤C．④⑤D．②⑤
参考答案：
D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】①α⊥β不一定成立，可能相交不垂直；
②利用面面垂直的判定定理可知α⊥β；
③由已知a⊥b，不一定成立；
④若a不垂直平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，即可判断出正误；
⑤利用线面垂直与平行的性质及其判定定理可知：正确．
【解答】解：①若α∩β=a，b?α，a⊥b，则α⊥β不一定成立，可能相交不垂直；
②若a?α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β，正确；③若α⊥β，α∩β=a，α∩γ=b，则a⊥b，不一定成立，不正确；
④若a不垂直平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，因此不正确；
⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β，利用线面垂直与平行的性质及其判定定理可知：正确．
上述五个命题中，正确命题的序号是②⑤．
故选：D．
7. 已知，则（）
A. B. C. 2 D.
参考答案：
A
【分析】
首先求出，代入中，利用复数模的公式即可得到。

【详解】由，所以.故选A.
【点睛】本题考查复数幂的运算以及复数模的计算公式，属于基础题。

8. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，
，则不等式的解集为
A．(－∞,0)B．(0,+∞)C．D．
参考答案：
B
9. 执行如图所示的程序框图．若输出，
则框图中① 处可以填入（）
（A）？（B）？（C）？（D）？
参考答案：
B 略
10. 过点
且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为（ ）
（A ） （B ） （C ）
或
（D ）
或
参考答案： D
若直线过原点，设直线方程为
，把点
代入得
，此时直线为
，即。

若直线不经过原点，在设直线方程为，即。

把点
代入得
，所以直线方程为
，即
，所以选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为_______________。

参考答案：
12. 设函数，则不等式f （x ）≤2
的解集为 ．
参考答案：
[0
，+∞）
略
13. 已知数列的前项和
满足
，则数列
的通项公式a n=__________.
参考答案：
解：
当
时，
当
时，
的通项公式为
说明：此题易忽略
的情况。

应满足条件。

14. 是偶函数，且在上是增函数，如果时，不等式
恒成立，则实数的取值范围是
参考答案：
[-2,0]
15.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A的大小
为．
参考答案：
或
【考点】正弦定理．
【分析】由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又
b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，
由此可得A的大小．
【解答】解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c?cosA，由正弦定理可得
2sinBcosB=sinAcosC+sinC?cosA，∴sin2B=sin（A+C）．
得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．
A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．
又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3× [cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣
C）+），
解得 cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．
故答案为A=，或A=
16. 设五个数值31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的方差是_________ ．
参考答案：
17. 给出如下四个命题：
①线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点(x1，y l)，(x2，y2)，…, (x n，y n)中
的一个点；
②命题“若a>b，则2a>2b—1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b—1”；
③设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y都有[x+y]≤[x]+[y]；
④等比数列{a n}中，首项a1<0，则数列{a n}是递减数列的充要条件是公比q>1．
其中真命题的序号是．(请把真命题的序号都填上)
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 为监测全市小学生身体形态生理机能的指标情况，体检中心从某小学随机抽取100名学生，将他
们的身高（单位：厘米）数据分成如下5个组：[100，110），[110，120），…，[140，150），并绘
制成频率分布直方图（如图所示）．
（Ⅰ）若该校共有学生1000名，试估计身高在[100，130）之间的人数；
（Ⅱ）在抽取的100名学生中，按分层抽样的方法从身高为：[100，110），[130，140），[140，
150）3个组的学生中选取7人参加一项身体机能测试活动，并从这7人中任意抽取2人进行定期跟踪
测试，求这2人取自不同组的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）由频率分布图中小矩形面积之和为1的性质，先求出a=0.030，从而求出身高在[110，
130）之间的频率，由此能求出身高在[110，130）之间的人数．
（Ⅱ）该学校学生身高在[100，110），[130，140），[140，150）内的频率分别是0.05，0.2，0.1，
这三个组的人数分别为5人，20人，10人，共35人，这三个组分别为A组，B组，C组．从A组抽
取人数1人，B组抽取4人，C组抽取2人，利用列举法能求出任意抽取2人，这2人取自不同身高
组的概率．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由（0.005+0.035+a+0.020+0.010）×10=1，解得a=0.030．
所以身高在[110，130）之间的频率为：（0.035+0.030）×10=0.65，
所以身高在[110，130）之间的人数为：0.65×100=65人．
（Ⅱ）估计该学校学生身高在[100，110），[130，140），[140，150）内的频率分别是0.05，0.2，0.1，
所以这三个组的人数分别为5人，20人，10人，共35人．
记这三个组分别为A组，B组，C组．
则A组抽取人数为；
B组抽取人数为；
C组抽取人数为，
设“任意抽取2人，这2人取自不同身高组”为事件M，
则所有的基本事件空间为：
共21个元素，
事件M包含的基本事件有：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A1，C1），（A1，C2），（B1，C1），
（B1，C2），
（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（B3，C2），（B4，C1），（B4，C2），共14个，
所以这2人取自不同组的概率．
19. 已知，其中，若函数
，且函数的图象与直线相邻两公共点间的距离为
（1）求的值；
（2）在中．分别是的对边，且，求的面积。

参考答案：略
20. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，且PA =1，E、F、Q分别为AD，PA，BC的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
参考答案：
（1）以A点为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则，，，，，，又是中点，∴，，
∴，∴，
又平面，平面，∴平面，
又是中点，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵，，平面，∴平面平面．
（2）设平面的法向量，则，
由（1）知，，
∴，取，得，
同样求平面的一个法向量，
，，
∴二面角的余弦值为．
21. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）求证：B1C1∥平面BCD；
（Ⅱ）求三棱锥B﹣C1CD的体积；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在点Q，使得CQ⊥BC1？请说明理由．参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1为棱柱，可得B1C1∥BC，再由线面平行的判定可得B1C1∥平面BCD；
（Ⅱ）由D为棱AA1的中点求出三角形CC1D，再证明BC⊥平面CDC1，即可求得三棱锥B﹣C1CD的体积；
（Ⅲ）以C为原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出所用点的坐标，假设在线段BD上存在点Q，使得CQ⊥BC1，求出Q的坐标，由数量积为0得答案．
【解答】（Ⅰ）证明：∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，则B1C1∥BC，
∵B1C1?平面BCD，BC?平面BCD，则B1C1∥平面BCD；
（Ⅱ）解：∵D为棱AA1的中点，∴，
∵AA1⊥底面ABC，∴BC⊥AA1，又BC⊥AC，且AC∩AA1=A，
∴BC⊥平面CDC1，
∴=；
（Ⅲ）解：线段BD上存在点Q（），使得CQ⊥BC1 ．
事实上，以C为原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（0，1，0），C1（0，0，2），D（1，0，1），
假设在线段BD上存在点Q，使得CQ⊥BC1，设Q（x，y，z），
再设，则（x，y﹣1，z）=λ（1，﹣1，1），得x=λ，y=1﹣λ，z=λ，
则Q（λ，1﹣λ，λ），
∴=（λ，1﹣λ，λ），，
由，得．
∴线段BD上存在点Q（），使得CQ⊥BC1 ．
22. 如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由. 参考答案：
本题考查了线面平行，线线垂直，考查了同学们的空间想像能力，难度较小。

（1）证明平行，由中点入手考虑找中位线或通过比例关系找平行；（证线面垂直要注意条件中的线面垂直关系．
证明：（I）因为D、E分别为AP,AC的中点，所以.
又因为DE平面BCP,所以DE平面BCP.
(II).因为D、E、F、G分别为AP,AC,BC,PB的中点，所以DE//PC//FG, DG//AB//EF.
所以四边形DEFG为平行四边形，又因为,所以.所以四边形DEFG为矩形。

（III）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF,EG,设Q为EG的中点。

由（II）知，且QD=QE=QF=QG=EG.
分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.
与（II）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q.
且QM=QN=,所以Q为满足条件的点。