《二次根式的运算》学案1(沪科版八年级下)

第17章二次根式及其运算
回顾与思考
1．二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式。

2．二次根式的性质：(1) （a≥0）；(2) 0(a≥0)；(3)
3．二次根式的乘除：
(1)计算公式：(2)化简公式：
4．二次根式的加减：(1)法则：.
(2)概念：
5．二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母。

6．二次根式的加减步骤：(1)化简；(2)判断；(3)分类；(4)合并。

7．二次根式的混合运算：(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．(2)对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．
(3)在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
方法与技能
一．题型方法
【例1】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
21
3，75，–1
11
16，3，x
2x
y，3
32
xy，
x
33
，
1
3x
3y
思路启迪：先化二次根式为最简二次根式．最简二次根式只要被开方数相同，就是同类二次根式，与根号外面的因式无关．
【例2】计算
(1)(212–1
575)–(0.8–
1
27) (2)
4
3
–
1
18+
1
3
–7
1
98
(3)b+a3b–(b3+
1
ab) (4)(4b
a
b+
2
a a
3b)-(3a b
a+9ab)(a>0,b>0)
思路启迪：先化简二次根式，再合并同类二次根式．
【例3】计算： (1)12
10·(315–56) (2)(x 3y –3xy+xy 3)÷xy
(3) 12–3÷(2+3) (4)(26–5)(2+3)2
思路启迪： 这里可以把二次根式看成是一个“单项式”或者“多项式”利用整式乘法或除法法则进行运算．
二．思想方法：
1.整体思想：
【例4】化简下列各式： (1)m –n m –n
(m>0,n>0) (2)x 4y 4–x 2y 2–xy 2–y 3x –y (x>y>0) (3)a+b+2ab a+b –a b –b a ab
(a>0,b>0)
2.分类思想：
【例5】化简：x 2+x 2–2x+1
3.二次根式的非负性：
【例6】(1)已知y=2x –1+1–2x+3，求x y 的值.
(2)已知：△ABC 的三边长a 、b 、c ，a 、b 满足b 2+a –1+4=4b 求c 的取值范围.
演练与反馈
一、慎重抉择(每小题3分，共30分)
1．下列格式中一定是二次根式的是（ ）
A 、–5
B 、32
C 、9x
D 、a 2+1
2．如果3–2x 是二次根式，那么应满足的条件是（ ）
A 、x=32
B 、x<32
C 、x≥32
D 、x≤32
3．化简二次根式(–3)2×6得（ ）
A 、-3 6
B 、3 6
C 、18
D 、6
4．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. 0.2a
B. 8a+8b
C. a 2–b 2
D. 3ab 2
5．在二次根式：①12，②23，③23
；④27中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④
6．下列各式计算正确的是（ ）
A 、83·23=16 3
B 、53·52=5 6
C 、43·22=8 6
D 、43·22=8 5 7．若18x+2x 2+x 2x
=10，则x 的值等于（ ） A. 4 B.±2 C. 2 D.±4 8．若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x –y 的值是（ ）
A.33–3
B. 3
C. 1
D. 3 9．等式(a+1)(a –1)=a+1·a –1成立的条件是（ ）
A 、a≥–1
B 、a≥1
C 、–1≤a≤1
D 、a≤–1或a≥1
10．当a<–3时，化简(2a –1)2+(a+3)2的结果是（ ）
A 、3a+2
B 、–3a –2
C 、4–a
D 、a –4
二、仔细填空(每小题3分，共15分)
11．计算：(1)52+122= ，(2)12·72= ，(3)32÷23 = . 12．一个三角形的三边长分别为8cm ，12cm ，18cm ，则它的周长是 cm.
13．若最简二次根式324a 2+1与23
6a 2–1是同类二次根式，则a= 。

14．已知x=2+3，y=2–3，则x 3y+xy 3= .
15．已知223 =223 ,338 =338 ,4415 =4415
,…请你用含n 的式子将其中蕴涵的规律表示出来： .
三、知识理解(每小题12分，共24分)
16．计算： (1)3220·(–15)·(–13
48)； (2)3223×(–1815)÷1225
；
(3)45+108+
113–125； (4)3223–(6532+316+17106)
17．计算：(1)(13
27–24–323)·12 (2)(56–43)÷3 2
(3)(3–22)(23–2) (4)6÷(36–27)
四、技能掌握(每小题8分，共16分)
18．已知a=3+2，b=3–2，求a 2–ab+b 2的值.
19．已知A=13+22，B=13–22
，求1A –1+1B –1的值。

五、问题解决(每小题8分，共18分)
20．设2+32–3
的整数部分为m ，小数部分为n ，求2m –1+71–n 的值.
21．已知x+y=5，xy=3，计算x y +y x 的值.。