2线性规划及其对偶问题 共154页
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Min Z= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 + x12+ x13 = 50 x21 + x22+ x23 = 30 x31 + x32+ x33 = 10
s.t
x11 + x21+ x31 = 40
x12 + x22+ x32 = 15
x1
am 2 x2 amn xn x1, x2 , , xn 0
bm
b1,b2 , ,bm 0
右端常数
(3) 线性规划模型矩阵形式
Max Z CX
s.t
AX b
X
0
C c 1 c 2 c n
价值向量
x 1
X
目标函数为极小化 约束条件
分两种情况：大于、小于 决策变量
可能存在小于零的情况
3.2 线性规划问题的基本解
Max Z CX 1
(1) 解的基本概念
s.t
AX
b
2
X 0 3
定义 在线性规划问题中，约束方程组(2)的系
数矩阵A(假定m)的n任意一个 m 阶的m非奇异(可 逆)的子方阵B(即 )，B称为0线性规划问题的一 个基阵或基。
线性规划问题的解有四种情况
唯一最优解 无穷多最优解 无有限最优解 无可行解
若线性规划问题有解，则可行域是一个凸多边形 （或凸多面体）；
若线性规划问题有最优解，则
唯一最优解对应于可行域的一个顶点； 无穷多个最优解对应于可行域的一条边；
3 单纯形法
3.1 线性规划问题的标准形式 3.2 线性规划问题的基本解 3.3 单纯形法的基本思想
1
AX,b
s.t
X0
2
定义1：满足约束(2)的X=(X1 …Xn)T称为线性规划问题 的可行解，全部可行解的集合称为可行域。
定义2：满足(1)的可行解称为线性规划问题的最优解。
例1
Max Z=40X1+ 50X2
X1+2X2 30 s.t 3X1+2X2 60
2X2 24
1.5m 求：如何下料，使得残余料头最少。 解：首先列出各种可能的下料方案；
计算出每个方案可得到的不同长度钢筋的数量及残余料 头长度；
确定决策变量； 根据下料目标确定目标函数； 根据不同长度钢筋的需要量确定约束方程。
组合方案 1 2 3 4 5 6 7 8
2.9m 2 1 1 1 0 0 0 0
2.1m 0 2 1 0 3 2 1 0
X1 , X2 0
解：(1)、确定可行域 X2
X1+2X2 30
3X1+2X2 60
30
2X2 24
X1 0
20
X2 0
A
X1 0
10
3X1+2X2 60
X1+2X2 30
2X2 24
B C
可行域
0
10
2D0
30
X2 0
(2)、求最优解
X2
Z=40X1+50X2
1.5m 合计 料长 料头
10130234 6.3m 6.1m 6.5m 7.4m 6.3m 6.2m 6.6m 6.0m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 0.1m 0.3m 0.9m 0.0m 1.1m 0.2m 0.8m 1.4m
设按第i种方案下料的原材料为xi根
x1, x2,, xn 0
(2) 线性规划模型标准形式
价值系数
Max
Z c1x1 c2 x2 cn xn
技术系数
决策变量
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
a
m1
3.1 线性规划问题的标准形式
(1) 线性规划模型一般形式
目标函数
MaxMin
Z c1x1 c2x2 cnxn
s.t
约束条件
a11x1 a12x2 a1nxn , b1
a21x1
a22x2
a2n xn
, b2
am1x1 am2x2 amnxn , bm
B13
3 6
4
无有限最优解
2
X1 0
-2X1+X2 2
可行域 无上界可行域源自无界 无有限最优解0
4
Z=0
2X1+X2 8
X1 X20
例4、 Max Z=3X1+2X2 X2
s.t
-X1 -X2 1
X1 , X2 0
无可行域 无可行解
-1
0
-1
-X1 -X2 1
X1 0 X2 0
X1
直观结论
X=
X1 =
6
15
+(1- )
X2
12
7.5
X1 =6 +(1- )·15
X2=12+(1- )·7.5
X1 =15-9 X2 =7.5+4.5 (0 1)
例3、 Max Z=2X1+ 4X2 X2
2X1+X2 8 8
s.t -2X1+X2 2
6
X1 , X2 0
xi为大于零i的 1,2,整 3,4,5数 ,6,7,8，
例、运输问题
运输 单价 仓1
2 库3 需求
工厂 123 213 224 342 40 15 35
库存 50 30 10
求：运输费用最小的运输方案。
解：设xij为i 仓库运到j工厂的产品数量 其中：i ＝1，2，3
j ＝1，2，3
x13 + x23+ x33 = 35
xij 0
(2) 线性规划问题的特点
决策变量： (x1… xn)T 代表某一方案， 决策者要考虑和
控制的因素非负；
目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 为线性函数，求Z极大或极小;
约束条件：可用线性等式或不等式表示.
具备以上三个要素的问题就称为 线性规划问题。
am2
a1m
a1m1
a2m amm
N
a2m1
amm1
a1m2 a2m2
amm2
a1n a2n amn
非 基 向 量
量
X Bx 1 x2 xmT X N x m 1 x m 2 x nT
定义 在约束方程组(2) 中，对于 一个选定的基B，令所有的非基变 量为零得到的解，称为相应于基B 的基本解。
定义 在基本解中，若该基本解满足非负约束，
即简称X基B 可B 行1解b ；0对，应则的称基此B基称本为解可为行基基本。可行解，
基本解中最多有m个非零分量。
基本解的数目不超过 Cnm m!n个n!。m!
x1, x2,, xn 0
隐含的假设
比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改 变量成正比
可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它 变量
连续性：每个决策变量取连续值
确定性：线性规划中的参数aij , bi , cj为确定值
2 线性规划问题的图解法
MaM x in ZCX
30
0=40X1+50X2
(0,0)， (10,-8) 20
C点： X1+2X2 =30
3X1+2X2 =60
A
10
可行解
Z=0
0
等值线
最优解：
X* = (15,7.5) Zmax =975
最优解
B
Z=975
C
10
2D0
30
X1
例2、 Max Z=40X1+ 80X2
X1+2X2 30
s.t
3X1+2X2 60
x2
xn
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
b 1
b
b2
b
m
决策向量
系数矩阵
右端向量
(4) 一般型向标准型的转化
对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可 以通过以下变换，将其转化为标准形式: 目标函数
a11 a12 a1m a1m1 a1m2 a1n
Aaa m 211
a22
am2
a2m amm
a2m1
amm 1
a2m2
amm 2
a2n a mn
基阵
非基阵
a11
基
B
a21
向
am1
a12 a22
(3) 线性规划模型一般形式
目标函数
MaxMin
Z c1x1 c2x2 cnxn
s.t
约束条件
a11x1 a12x2 a1nxn , b1
a21x1
a22x2
a2n xn
, b2
am1x1 am2x2 amnxn , bm
基变量
非基变量
AXb
AB N
X
X X
B N
B
N
XB XN
b
BX BNN Xb
BX BbNX N
XBB1bB1NN X
X
X X
B N
XB1bXBN1N
XN
令 XN 0
则
X
B
1b 0
线性规划及其对偶问题
1 线性规划问题及其数学模型 2 线性规划问题的图解法 3 单纯形法 4 对偶问题 5 EXCEL求解线性规划 6 灵敏度分析
1 线性规划问题及其数学模型
(1) 线性规划问题
例、生产组织与计划问题
煤 劳动力 仓库 单位利润
AB 12 32 02 40 50
可用资源
30 60 24
MinZ0.1x10.3x20.9x30x41.1x50.2x60.8x71.4x8
2x1x2x3x40x50x60x70x8100
s.t.
0xx1102xx22xx3330xx4403xx5522xx6630xx7740xx88110000
设计费收入（万
元/万ｍ２ ）
36
20
解 设办公建筑和工业厂房各承揽ｘ１、ｘ２万ｍ２。根据题意 max Z＝36x1＋20x2
5 x1＋x2≤28 s.t 3 x1＋2x2≤28
2 x1＋x2≤12 x1＋2x2≤10
x1 、x2 ≥0
例、合理下料问题
2.9m 钢筋架子100个，每个需用 2.1m 各1，原料长7.4m
NC NC BB 1N0
例 现有线性规划问题
Max Z 2 x1 x2 3x1 5x2 15
s.t 6 x1 2 x2 24 x1, x2 0
试求其基本解、基本可行解。
解: (1)首先将原问题转化为标准型 引入松弛变量x3和x4
Max
Z 2x1 x2
x1，x2 0
可用资源
30 60 24
例 某建筑设计院设计每万ｍ２办公建筑和工业厂房需要的建筑师、
结构工程师、设备工程师和电气工程师的平均人数列在表。问该 院应如何安排设计任务，才能使设计费收入最大?
建筑物
专业
办公建筑
工业厂房
全院现有专业人数
建筑 结构
5
3
1
2
28
26
设备 电器
2
1
1
2
12
10
3x1 5x2 x3 0x4 15 s.t 6x1 2x2 0x3 x4 24
x1, x2, x3, x4 0
(2) 求基本解
由上式得
A63
5 2
1 0
10
b
15 24
可能的基阵
A63
5 2
1 0
10
3 5 B12 6 2
2X2 24
X1 , X2 0
解：(1)、确定可行域与上例完全相同。 (2)、求最优解
30
最优解：BC线段
20
最优解
A
B
Z=1200
10
C
0
10
2D0
30
最优解：BC线段 Max Z=1200
B点：X(1)=(6,12) C点：X(2)=(15,7.5)
X=X(1)+(1-)X(2) (0 1)
Z CX
(C
B
,C
N
)
X X
B N
CBX B CNX N
C B ( B 1b B 1 NX N ) C N X N
C B B 1b (C N C B B 1N ) X N
若B满足下列条件，称为最优基
X B 称为最优解 XBB1b0
A, B 各生产多少, 可获最大利润?
AB
煤 劳动力 仓库
12 32 02
单位利润
40 50
解: 设产品A, B产量分别为变量x1， x2 可以建立如下的数学模型：
目标函数 Max Z= 40x1 +50x2
x1 + 2x2 30
约束条件 s.t 3x1 + 2x2 60 2x2 24
s.t
x11 + x21+ x31 = 40
x12 + x22+ x32 = 15
x1
am 2 x2 amn xn x1, x2 , , xn 0
bm
b1,b2 , ,bm 0
右端常数
(3) 线性规划模型矩阵形式
Max Z CX
s.t
AX b
X
0
C c 1 c 2 c n
价值向量
x 1
X
目标函数为极小化 约束条件
分两种情况：大于、小于 决策变量
可能存在小于零的情况
3.2 线性规划问题的基本解
Max Z CX 1
(1) 解的基本概念
s.t
AX
b
2
X 0 3
定义 在线性规划问题中，约束方程组(2)的系
数矩阵A(假定m)的n任意一个 m 阶的m非奇异(可 逆)的子方阵B(即 )，B称为0线性规划问题的一 个基阵或基。
线性规划问题的解有四种情况
唯一最优解 无穷多最优解 无有限最优解 无可行解
若线性规划问题有解，则可行域是一个凸多边形 （或凸多面体）；
若线性规划问题有最优解，则
唯一最优解对应于可行域的一个顶点； 无穷多个最优解对应于可行域的一条边；
3 单纯形法
3.1 线性规划问题的标准形式 3.2 线性规划问题的基本解 3.3 单纯形法的基本思想
1
AX,b
s.t
X0
2
定义1：满足约束(2)的X=(X1 …Xn)T称为线性规划问题 的可行解，全部可行解的集合称为可行域。
定义2：满足(1)的可行解称为线性规划问题的最优解。
例1
Max Z=40X1+ 50X2
X1+2X2 30 s.t 3X1+2X2 60
2X2 24
1.5m 求：如何下料，使得残余料头最少。 解：首先列出各种可能的下料方案；
计算出每个方案可得到的不同长度钢筋的数量及残余料 头长度；
确定决策变量； 根据下料目标确定目标函数； 根据不同长度钢筋的需要量确定约束方程。
组合方案 1 2 3 4 5 6 7 8
2.9m 2 1 1 1 0 0 0 0
2.1m 0 2 1 0 3 2 1 0
X1 , X2 0
解：(1)、确定可行域 X2
X1+2X2 30
3X1+2X2 60
30
2X2 24
X1 0
20
X2 0
A
X1 0
10
3X1+2X2 60
X1+2X2 30
2X2 24
B C
可行域
0
10
2D0
30
X2 0
(2)、求最优解
X2
Z=40X1+50X2
1.5m 合计 料长 料头
10130234 6.3m 6.1m 6.5m 7.4m 6.3m 6.2m 6.6m 6.0m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 0.1m 0.3m 0.9m 0.0m 1.1m 0.2m 0.8m 1.4m
设按第i种方案下料的原材料为xi根
x1, x2,, xn 0
(2) 线性规划模型标准形式
价值系数
Max
Z c1x1 c2 x2 cn xn
技术系数
决策变量
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
a
m1
3.1 线性规划问题的标准形式
(1) 线性规划模型一般形式
目标函数
MaxMin
Z c1x1 c2x2 cnxn
s.t
约束条件
a11x1 a12x2 a1nxn , b1
a21x1
a22x2
a2n xn
, b2
am1x1 am2x2 amnxn , bm
B13
3 6
4
无有限最优解
2
X1 0
-2X1+X2 2
可行域 无上界可行域源自无界 无有限最优解0
4
Z=0
2X1+X2 8
X1 X20
例4、 Max Z=3X1+2X2 X2
s.t
-X1 -X2 1
X1 , X2 0
无可行域 无可行解
-1
0
-1
-X1 -X2 1
X1 0 X2 0
X1
直观结论
X=
X1 =
6
15
+(1- )
X2
12
7.5
X1 =6 +(1- )·15
X2=12+(1- )·7.5
X1 =15-9 X2 =7.5+4.5 (0 1)
例3、 Max Z=2X1+ 4X2 X2
2X1+X2 8 8
s.t -2X1+X2 2
6
X1 , X2 0
xi为大于零i的 1,2,整 3,4,5数 ,6,7,8，
例、运输问题
运输 单价 仓1
2 库3 需求
工厂 123 213 224 342 40 15 35
库存 50 30 10
求：运输费用最小的运输方案。
解：设xij为i 仓库运到j工厂的产品数量 其中：i ＝1，2，3
j ＝1，2，3
x13 + x23+ x33 = 35
xij 0
(2) 线性规划问题的特点
决策变量： (x1… xn)T 代表某一方案， 决策者要考虑和
控制的因素非负；
目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 为线性函数，求Z极大或极小;
约束条件：可用线性等式或不等式表示.
具备以上三个要素的问题就称为 线性规划问题。
am2
a1m
a1m1
a2m amm
N
a2m1
amm1
a1m2 a2m2
amm2
a1n a2n amn
非 基 向 量
量
X Bx 1 x2 xmT X N x m 1 x m 2 x nT
定义 在约束方程组(2) 中，对于 一个选定的基B，令所有的非基变 量为零得到的解，称为相应于基B 的基本解。
定义 在基本解中，若该基本解满足非负约束，
即简称X基B 可B 行1解b ；0对，应则的称基此B基称本为解可为行基基本。可行解，
基本解中最多有m个非零分量。
基本解的数目不超过 Cnm m!n个n!。m!
x1, x2,, xn 0
隐含的假设
比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改 变量成正比
可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它 变量
连续性：每个决策变量取连续值
确定性：线性规划中的参数aij , bi , cj为确定值
2 线性规划问题的图解法
MaM x in ZCX
30
0=40X1+50X2
(0,0)， (10,-8) 20
C点： X1+2X2 =30
3X1+2X2 =60
A
10
可行解
Z=0
0
等值线
最优解：
X* = (15,7.5) Zmax =975
最优解
B
Z=975
C
10
2D0
30
X1
例2、 Max Z=40X1+ 80X2
X1+2X2 30
s.t
3X1+2X2 60
x2
xn
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
b 1
b
b2
b
m
决策向量
系数矩阵
右端向量
(4) 一般型向标准型的转化
对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可 以通过以下变换，将其转化为标准形式: 目标函数
a11 a12 a1m a1m1 a1m2 a1n
Aaa m 211
a22
am2
a2m amm
a2m1
amm 1
a2m2
amm 2
a2n a mn
基阵
非基阵
a11
基
B
a21
向
am1
a12 a22
(3) 线性规划模型一般形式
目标函数
MaxMin
Z c1x1 c2x2 cnxn
s.t
约束条件
a11x1 a12x2 a1nxn , b1
a21x1
a22x2
a2n xn
, b2
am1x1 am2x2 amnxn , bm
基变量
非基变量
AXb
AB N
X
X X
B N
B
N
XB XN
b
BX BNN Xb
BX BbNX N
XBB1bB1NN X
X
X X
B N
XB1bXBN1N
XN
令 XN 0
则
X
B
1b 0
线性规划及其对偶问题
1 线性规划问题及其数学模型 2 线性规划问题的图解法 3 单纯形法 4 对偶问题 5 EXCEL求解线性规划 6 灵敏度分析
1 线性规划问题及其数学模型
(1) 线性规划问题
例、生产组织与计划问题
煤 劳动力 仓库 单位利润
AB 12 32 02 40 50
可用资源
30 60 24
MinZ0.1x10.3x20.9x30x41.1x50.2x60.8x71.4x8
2x1x2x3x40x50x60x70x8100
s.t.
0xx1102xx22xx3330xx4403xx5522xx6630xx7740xx88110000
设计费收入（万
元/万ｍ２ ）
36
20
解 设办公建筑和工业厂房各承揽ｘ１、ｘ２万ｍ２。根据题意 max Z＝36x1＋20x2
5 x1＋x2≤28 s.t 3 x1＋2x2≤28
2 x1＋x2≤12 x1＋2x2≤10
x1 、x2 ≥0
例、合理下料问题
2.9m 钢筋架子100个，每个需用 2.1m 各1，原料长7.4m
NC NC BB 1N0
例 现有线性规划问题
Max Z 2 x1 x2 3x1 5x2 15
s.t 6 x1 2 x2 24 x1, x2 0
试求其基本解、基本可行解。
解: (1)首先将原问题转化为标准型 引入松弛变量x3和x4
Max
Z 2x1 x2
x1，x2 0
可用资源
30 60 24
例 某建筑设计院设计每万ｍ２办公建筑和工业厂房需要的建筑师、
结构工程师、设备工程师和电气工程师的平均人数列在表。问该 院应如何安排设计任务，才能使设计费收入最大?
建筑物
专业
办公建筑
工业厂房
全院现有专业人数
建筑 结构
5
3
1
2
28
26
设备 电器
2
1
1
2
12
10
3x1 5x2 x3 0x4 15 s.t 6x1 2x2 0x3 x4 24
x1, x2, x3, x4 0
(2) 求基本解
由上式得
A63
5 2
1 0
10
b
15 24
可能的基阵
A63
5 2
1 0
10
3 5 B12 6 2
2X2 24
X1 , X2 0
解：(1)、确定可行域与上例完全相同。 (2)、求最优解
30
最优解：BC线段
20
最优解
A
B
Z=1200
10
C
0
10
2D0
30
最优解：BC线段 Max Z=1200
B点：X(1)=(6,12) C点：X(2)=(15,7.5)
X=X(1)+(1-)X(2) (0 1)
Z CX
(C
B
,C
N
)
X X
B N
CBX B CNX N
C B ( B 1b B 1 NX N ) C N X N
C B B 1b (C N C B B 1N ) X N
若B满足下列条件，称为最优基
X B 称为最优解 XBB1b0
A, B 各生产多少, 可获最大利润?
AB
煤 劳动力 仓库
12 32 02
单位利润
40 50
解: 设产品A, B产量分别为变量x1， x2 可以建立如下的数学模型：
目标函数 Max Z= 40x1 +50x2
x1 + 2x2 30
约束条件 s.t 3x1 + 2x2 60 2x2 24