江苏省高邮市第二中学高三数学暑期测试试卷.8.23

2008年高邮市第二中学2009届高三数学暑期测试试卷2008.8.23
一．填空题：（共70分） 1．)6
cos()(π
ω-
=x x f 最小正周期为
5
π
，其中0>ω，则=ω 2．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，
若120c b B ===，则a = ．
3．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么⋅的值为_____ ___． 4．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为______________．
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C
所对的边，已知3,30,a b c ===︒ 则A ＝ .
6．b a ,的夹角为
120，1,3a b ==，则5a b -=
7．若3
sin(
)25
π
θ+=，则cos 2θ=_________。

8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
()C a A c b cos cos 3=-，则
=A cos 。

9．设向量(1
2)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 10．已知平面向量(24)=，
a ，(12)=-，
b ，若)(⋅-=，则=
c ． 11．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：
①若⋅=⋅，则=b c ．②若(1
)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
12．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足0)(=-⋅，则||b 的取值范围是 。

13．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：
①．2AC AF BC += ②．22AD AB AF =+ ③．AC AD AD AB ⋅=⋅
④．()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅
A
B
D
E
C
F
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号） 14．若BC AC AB 2,2=
=，则ABC S ∆的最大值
二．解答题：（共90分）
15．（本小题满分14分）已知函数2()2cos 2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，的最小正周期是
2
π
． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合
16．（本小题满分14分）
已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n ⋅= (Ⅰ)求tan A 的值；
(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域.
17．（本小题满分15分）
在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π
=． （Ⅰ）若ABC △
a b ，； （Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积．
18．（本小题满分15分）
如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，
2AB =．
B
A
C
D
E
（Ⅰ）求CBE ∠cos 的值； （Ⅱ）求AE ．
19．（本小题满分16分）
已知函数f (x )=A sin(x +ϕ)(A >0,0<ϕ<π),x ∈R 的最大值是1，其图像经过点M 132π⎛⎫
⎪⎝⎭
，. (1) 求f (x )的解析式；
(2) 已知α，β∈02π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，，且f (α)=
35，f (β)=1213
，求f (α-β)的值.
20、（本小题16分）
如图，在ABC ∆13==，l 为 线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为
l 上异于D 的任意一点，F 为线段AD 上的任意一点，
（1）求()
AC AB AD -⋅的值；
（2）判断()
-⋅的值是否为一常数，并说明理由；
（3）若BC AC ⊥，求()
AF FB FC ⋅+的最大值。

高邮市第二中学暑期诊断试卷
高 三 数 学 2008.8.23
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

）
1． ； 2． ； 3． ；
4． ； 5． ； 6． ；
7．；8．；9．；10．； 11．； 12．；13．； 14．。

二、解答题（14+14+15+15+16+16=90）
15.
16.
17.
18.
19. 20.
08.8.23 答案
10
2 8-
43 6π 7 725-
2
② [01]，
①②④
15. 解：解：1cos 2()2
sin 212x
f x x ωω+=++
sin 2cos 22x x ωω=++ 2分
sin 2cos cos 2sin 2
44x x ωωππ⎫=
++⎪⎭ 4分
224x ωπ⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭． 5分
由题设，函数()f x 的最小正周期是
2π，可得
222
ωππ
=，所以2ω=． 7分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()424f x x π⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭．
当4242x k ππ+
=+π，即()162
k x k ππ
=+∈Z 时， 10分 sin 44x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭取得最大值1，所以函数()f x
的最大值是2 12分
此时x 的集合为162k x x k ππ⎧
⎫
=
+∈⎨⎬⎩⎭
Z ，． 14分
16. （Ⅰ）由题意得
m ·n =sin A -2cos A =0, 因为cos A ≠0,所以tan A =2. 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A =2得
2213
()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22
f x x x x x x =+=-+=--+ 8分
因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-. 10分 当1
sin 2
x =
时，f (x )有最大值32， 12分
当sin x =-1时，f (x )有最小值-3， 14分 所以所求函数f (x )的值域是33,.2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
15分 17. （Ⅰ）由余弦定理得，22
4a b ab +-=， 又因为ABC △
1
sin 2
ab C =4ab =． ························ 5分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，
，
解得2a =，2b =． ·············································· 7分
（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2b a =， ························································ 9分 联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，
解得3a =
3b =． 12分
所以ABC △
的面积1sin 2S ab C =
=． 15分
18. 解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==， 3分 所以15CBE =∠． 5分 所以6cos cos(4530)CBE =-=∠． ··················································· 7分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理
2
sin(4515)sin(9015)
AE =
-+． 11分 故2sin 30
cos15
AE
=
12
⨯
=
=
15分
19. 解：（1）依题意知 A =1 2分 1
sin 332f ππφ⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 又4333πππφ<+< ； 5分 ∴
53
6π
πφ+=
即 2
π
φ= 7分 因此 ()sin cos 2f x x x π⎛⎫
=+
= ⎪⎝
⎭
； 8分 （2）
()3c o s
5f αα== ，()12cos 13
f ββ== 且
,0,2
παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
∴ 4s i n
5α= ，5sin 13
β= 12分
()()3124556
cos cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=
16分。