【2020最新】人教B版高中数学-选修4-5教学案-第三章用数学归纳法证明不等式贝努利不等式(Word)

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【2020最新】人教B版高中数学-选修4-5教学案-
第三章用数学归纳法证明不等式贝努利不等式（Word）
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20xx最新人教B版高中数学-选修4-5教学案-第三章用数学归纳法证明不等式贝努利不等式（Word）
[读教材·填要点]
贝努利(Bernoulli)不等式
设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n>1＋nx.
[小问题·大思维]
在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？
提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数n改成实数α后，将有以下几种情况出现：(1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，有(1＋x)α≥1
＋αx(x>－1)．(2)当α是实数，并且满足0<α<1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x>
－1)．
利用数学归纳法证明不等
式
[例1] 求证：＋＋＋…＋>1(n≥2，n∈N＋)．
[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意n的取值范围，因为n≥2，n∈N＋，因此应验证n0＝2时不等式成立．
[精解详析] (1)当n＝2时，左边＝＋＋＝>1.
∴n＝2时不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N)时，不等式成立，即
1
＋＋＋…＋>1，那么n＝k＋1时，
k
1
k＋1
＋＋…＋＋错误!
＝＋＋…＋＋＋
2
2
11
···
12
k
k k k
++
++
2 144424443
项
＝＋＋…＋＋－>1＋－＝1＋，
∵k≥2，∴2≥.
∴k2－k－1＝2－≥1>0.
∴>0.
∴＋＋…＋>1.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)、(2)可知，对一切的n≥2，且n∈N＋，此不等式都成立．利用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形，为满足题目的要求，往往要采用“放缩”等手段，例如在本题中采用了“>，…，>”的放缩变形．
1．证明不等式：
1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即
1＋＋＋…＋<2.
∵当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2 ＋＝，
现在只需证明<2，
即证：2<2k＋1，
两边平方，整理：0<1，显然成立．
∴<2成立．
即1＋＋＋…＋＋<2成立．
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)知，对于任何正整数n原不等式都成立.
利用数学归纳法比较大
小
[例2] 设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．
[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特值，猜想Pn与Qn的大小关系，然后利用数学归纳法证明．[精解详析] (1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.
(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．
①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn.
②若x＝0，则Pn＝Qn.
③若x∈(－1,0)，
则P3－Q3＝x3<0，所以P3<Q3.
P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)<0，所以P4<Q4.
假设Pk<Qk(k≥3)，
则Pk＋1＝(1＋x)Pk<(1＋x)Qk＝Qk＋xQk
＝1＋kx＋＋x＋kx2＋错误!
＝1＋(k＋1)x＋x2＋x3
＝Qk＋1＋x3<Qk＋1，
即当n＝k＋1时，不等式成立．
所以当n≥3，且x∈(－1,0)时，Pn<Qn.
(1)利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立．
(2)本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量
x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用．
2．已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x∈R，满足条件：b1＝b，an＝f(bn)＝g(bn＋1)(n∈N＋)．若函数y＝f(x)为R上的增函数，g(x)＝f－1(x)，b＝1，f(1)<1，证明：对任意n∈N＋，an ＋1<an.
证明：因为g(x)＝f－1(x)，所以an＝g(bn＋1)＝f－1(bn＋1)，即bn＋1＝f(an)．
下面用数学归纳法证明an＋1<an(n∈N＋)．
(1)当n＝1时，由f(x)为增函数，且f(1)<1，得
a1＝f(b1)＝f(1)<1，
b2＝f(a1)<f(1)<1，
a2＝f(b2)<f(1)＝a1，
即a2<a1，结论成立．
(2)假设n＝k时结论成立，即ak＋1<ak.
由f(x)为增函数，得f(ak＋1)<f(ak)，即bk＋2<bk＋1.
进而得f(bk＋2)<f(bk＋1)，即ak＋2<ak＋1.
这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．
根据(1)和(2)可知，对任意的n∈N＋，an＋1<an.
利用数学归纳法解决探索型不
等式
[例3] 若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．
[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用以及探索型问题的求解方法．解答本题需要根据n 的取值，猜想出a 的最大值，然后再利用数学归纳法进行证明．
[精解详析] 当n ＝1时，＋＋>， 即>，
∴a<26，而a ∈N ＋，∴取a ＝25. 下面用数学归纳法证明＋＋…＋>. (1)n ＝1时，已证．
(2)假设当n ＝k(k≥1，k∈N＋)时，
1
k ＋1
＋＋…＋>， 则当n ＝k ＋1时，有
错误!＋＋…＋＋＋＋错误!
＝＋⎝
⎛⎭
⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋1
3k ＋4－1k ＋1 >＋. ∵＋＝>， ∴＋－>0，
∴＋＋…＋>也成立．
由(1)、(2)可知，对一切n∈N＋，都有＋＋…＋>，∴a 的最大值为25.
利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断，猜想出结论， 然后用数学归纳法证明．这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时．
3．对于一切正整数n，先猜出使tn>n2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)．
解：猜想当t＝3时，对一切正整数n使3n>n2成立．下面用数学归纳法进行证明．
当n＝1时，31＝3>1＝12，命题成立．
假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，3k>k2成立，
则有3k≥k2＋1.
对n＝k＋1,3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k
≥k2＋2(k2＋1)>3k2＋1.
∵(3k2＋1)－(k＋1)2
＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，
∴3k＋1>(k＋1)2，∴对n＝k＋1，命题成立．
由上知，当t＝3时，对一切n∈N＋，命题都成立．
再用数学归纳法证明：
n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)．
当n＝1时，1·(1＋1)·＝>0＝lg 1，命题成立．
假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，
k(k＋1)·>lg(1·2·3·…·k)成立．
当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)·lg 3
4
＝k(k＋1)·＋2(k＋1)·lg 3
4
>lg(1·2·3·…·k)＋lg 3k＋1
>lg(1·2·3·…·k)＋lg(k＋1)2
＝lg[1·2·3·…·k·(k＋1)]．命题成立．
由上可知，对一切正整数n，命题成立．
[对
应学生
用书P45]
一、选择题
1．对于一切正整数n，下列说法不正确的是( )
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n<1－0.1n D．0.1n≥1－0.9n
解析：由贝努利不等式
(1＋x)n≥1＋nx(x∈N＋，x>－1)，
∴当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，故A正确．
当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，B正确，C不正确．
当x＝－0.9时，(1－0.9)n≥1－0.9n，D正确．
答案：C
2．在用数学归纳法证明f(n)＝＋＋…＋<1(n∈N＋，n≥3)的过程中：假设当n＝k(k∈N＋，k≥3)时，不等式f(k)<1成立，则需证当n＝k＋1时，f(k＋1)<1也成立．若f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，则g(k)＝( )
A．＋B．＋－1
k
C．－D．－1
2k 解析：∵f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋，
f(k)＝＋＋…＋，
∴f(k＋1)－f(k)＝－＋＋，
∴g(k)＝＋－.故选B.
答案：B
3．用数学归纳法证明“<n＋1(n∈N＋)”的过程中的第二步n ＝k＋1时(n＝1已验，n＝k已假设成立)，这样证明：＝<＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，命题成立，此种证法( )
A．是正确的
B．归纳假设写法不正确
C．从k到k＋1推理不严密
D．从k到k＋1的推理过程未使用归纳假设
解析：∵在上面的证明中，当n＝k＋1时证明过程没有错误，但没有用到当n＝k时的结论，这样就失去假设当n＝k时命题成立的意义，也不能构成一个递推关系，这不是数学归纳法．∴A、B、C 都不对，选D.
答案：D
4．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<f(n)(n≥2，n∈N ＋)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了( )
A．1项B．k项
C．2k－1项D．2k项解析：根据题意可知：1＋＋＋…＋－＝＋＋＋…＋，所以共增加2k项．
答案：D
二、填空题
5．证明<1＋＋＋…＋<n＋1(n>1)，当n＝2时，要证明的式子为________．
解析：当n＝2时，要证明的式子为
2<1＋＋＋<3. 答案：2<1＋＋＋<3
6．用数学归纳法证明：当n∈N＋，1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数时，当n ＝1时原式为________，从k 到k ＋1时需增添的项是________．
解析：当n ＝1时，
原式为1＋2＋22＋23＋25－1＝1＋2＋22＋23＋24. 从k 到k ＋1时需增添的项是
25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4. 答案：1＋2＋22＋23＋24
25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4
7．利用数学归纳法证明“<”时，n 的最小取值n0应为________．
解析：n0＝1时不成立，n0＝2时，<，再用数学归纳法证明，故n0＝2.
答案：2
8．设a0为常数，且an ＝3n －1－2an －1(n∈N＋)，若对一切n∈N＋，有an>an －1，则a0的取值范围是________．
解析：取n ＝1,2，则a1－a0＝1－3a0>0，a2－a1＝6a0>0，∴0<a0<.
答案：⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，13
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)．
证明：(1)当n ＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，
即1＋＋＋…＋<2－，
当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立．
由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．
10．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N＋)，并用数学归纳法证明你的结论．
解：当n＝1、n＝2、n＝3时都有2n＋2>n2成立，所以归纳猜想2n＋2>n2成立．
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边，所以原不等式成立；
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．
②假设n＝k时(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，
即2k＋2>k2.
那么n＝k＋1时
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2
又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
根据①和②可知，2n＋2>n2对于任何n∈N＋都成立．
11．已知等比数列{an}的首项a1＝2，公比q＝3，Sn是它的前
n项和．求证：≤.
证明：由已知，得Sn＝3n－1，
Sn＋1
≤等价于≤，
Sn
即3n≥2n＋1.(*)
法一：用数学归纳法证明上面不等式成立．
①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．
②假设当n＝k时，(*)成立，即3k≥2k＋1，
那么当n＝k＋1时，3k＋1＝3×3k≥3(2k＋1)＝6k＋3≥2k＋3＝2(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时，(*)成立．
综合①②，得3n≥2n＋1成立．
所以≤.
法二：当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．
当n≥2时，3n＝(1＋2)n＝C＋C×2＋C×22＋…＋C×2n＝1＋2n＋…>1＋2n，所以(*)成立．
所以≤.。