高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第15章 数系的扩充

第十五章 数系的扩充与复数的引入
1.(2016·新课标全国Ⅰ，2)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A.－3 B.－2 C.2
D.3
1.解析 ∵(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ， ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3，故选A. 答案 A
2.(2016·新课标全国Ⅱ，2)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －
＝( ) A.－1＋2i B.1－2i C.3＋2i
D.3－2i
2.解析 由z ＋i ＝3－i ，得z ＝3－2i ，
∴z －
＝3＋2i ，故选C. 答案 C
3.(2016·新课标全国Ⅲ,2)若z ＝4＋3i ，则z
－
|z | ＝( )
A.1
B.－1
C.45＋35
i D.45 －35
i 3.解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z －
|z |＝45 －35
i. 答案 D
4.(2016·四川，1)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2
＝( ) A.0 B.2 C.2i
D.2＋2i
4.解析 (1＋i)2
＝12
＋i 2
＋2i ＝1－1＋2i ＝2i. 答案 C
5.(2016·北京，2)复数1＋2i
2－i ＝( )
A.i
B.1＋i
C.－i
D.1－i
5.解析 1＋2i 2－i ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ） ＝5i
5 ＝i.
答案 A
6.(2016·山东，2)若复数z ＝2
1－i
，其中i 为虚数单位，则z －
＝( )
A.1＋i
B.1－i
C.－1＋i
D.－1－i
6.解析 ∵z ＝2（1＋i ）
（1－i ）（1＋i ）
＝1＋i ，∴z －
＝1－i ，故选B.
答案 B
7.(2015·福建，1)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )
A.3，－2
B.3,2
C.3，－3
D.－1,4
7.解析 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，∴a ＝3，b ＝－2，故选A. 答案 A
8.(2015·湖北，1)i 为虚数单位，i 607
＝( )
A.i
B.－i
C.1
D.－1 8.解析 方法一 i 607
＝i
4×151＋3
＝i 3
＝－i.故选B.
方法二 i 607
＝i 608
i ＝i 4×152
i ＝1
i ＝－i.故选B.
答案 B
9.(2015·新课标全国Ⅰ，3)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A.－2－i B.－2＋i C.2－i D.2＋i
9.解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i. 答案C
10.(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且2＋a i
1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )
A.－4
B.－3
C.3
D.4
10.解析 由2＋a i
1＋i ＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，
即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D. 答案 D
11.(2015·山东，2)若复数z 满足
z
1－i
＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i 11.解析 ∵z
1－i
＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2
＝1＋i ，∴z ＝1－i.
答案A
12.(2015·安徽，1)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( ) A.3＋3i B.－1＋3i C.3＋i D.－1＋i 12.解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2
＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C. 答案 C
13.(2015·湖南，1)已知（1－i ）
2
z
＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )
A.1＋i
B.1－i
C.－1＋i
D.－1－i
13.解析 由（1－i ）2
z ＝1＋i 知，z ＝（1－i ）2
1＋i ＝－2i
1＋i ＝－1－i.故选D.
答案 D
14.(2014·安徽，1)设i 是虚数单位，复数i 3
＋
2i
1＋i
＝( ) A.－i B.i C.－1 D.1 14.解析 i 3
＋2i 1＋i ＝－i ＋i(1－i)＝1.
答案 D
15.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设z ＝1
1＋i ＋i ，则|z |＝( )
A.12
B.22
C.
32
D.2
15.解析 11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）·（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋1
2i ，
则|z |＝（12）2＋（12）2＝2
2
，选B. 答案 B
16.(2014·新课标全国Ⅱ，2)1＋3i
1－i ＝( )
A.1＋2i
B.－1＋2i
C.1－2i
D.－1－2i
16.解析 1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）
（1－i ）（1＋i ）＝－1＋2i ，故选B.
答案 B
17.(2014·福建，2)复数(3＋2i)i 等于( ) A.－2－3i B.－2＋3i C.2－3i
D.2＋3i
17.解析 复数z ＝(3＋2i)i ＝－2＋3i ，故选B. 答案 B
18.(2014·湖北，2)i 为虚数单位，⎝
⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )
A.1
B.－1
C.i
D.－i 18.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2
＝－2i 2i ＝－1，选B. 答案 B
19.(2014·广东，2)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( ) A.－3－4i B.－3＋4i C.3－4i
D.3＋4i
19.解析 由(3－4i)z ＝25⇒z ＝253－4i ＝25（3＋4i ）
（3－4i ）（3＋4i ）
＝3＋4i ，选D.
答案 D
20.(2014·陕西，3)已知复数z ＝2－i ，则z z ⋅的值为( )
A.5
B. 5
C.3
D. 3 20.解析 ∵z ＝2－i ，
∴z z ＝|z |2＝22＋12
＝5. 答案 A
21.(2014·山东，1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2
＝( ) A.3－4i B.3＋4i C.4－3i D.4＋3i 21.解析 由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1， 则(a ＋b i)2
＝(2－i)2
＝3－4i. 答案 A
22.(2014·重庆，1)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 22.解析 实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B. 答案 B
23.(2015·北京，9)复数i(1＋i)的实部为________． 解析 i(1＋i)＝i ＋i 2
＝－1＋i ，实部为－1. 答案 －1
24.(2015·重庆，11)复数(1＋2i)i 的实部为________． 24.解析 (1＋2i)i ＝i ＋2i 2
＝－2＋i ，其实部为－2. 答案 －2
25.(2015·江苏，3)设复数z 满足z 2
＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 25.解析 ∵z 2
＝3＋4i ，
∴|z |2
＝|3＋4i|＝5，即|z |＝ 5. 答案 5
26.(2015·天津，9)i 是虚数单位，计算1－2i
2＋i 的结果为________．
26.解析 1－2i 2＋i ＝（1－2i ）i （2＋i ）i ＝（1－2i ）i
－1＋2i ＝－i.
答案 －i
27.(2014·浙江，11)已知i 是虚数单位，计算
1－i
＋
2
＝______.
27.解析 1－i （1＋i ）2＝
1－i 2i ＝（1－i ）i －2＝－1－i
2. 答案 －1－i
2
28.(2014·四川，12)复数2－2i
1＋i
＝________.
28.解析 2－2i 1＋i ＝（2－2i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i 2
－4i 1－i 2
＝－4i
2＝－2i. 答案 －2i。