2020年福建省福州市八年级(下)期中数学试卷

八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）
1.二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）
A. a≤-2
B. a≥-2
C. a＜-2
D. a＞-2
2.在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（）
A. 2，2，
B. 4，6，8
C. 3，5，9
D. ，，
3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
4.如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的
正方形的面积是（）
A. 12
B. 13
C. 144
D. 194
5.已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（）
A. 36
B. 30
C. 24
D. 20
6.如图，下列的四个图象中，不表示y是x的函数图象的是（）
A. B.
C. D.
7.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了
能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了
两块碎玻璃，其编号应该是（）
A. ①，②
B. ①，④
C. ③，④
D. ②，③
8.一辆汽车在平直的公路上做直线运动，下列关于汽车行驶的速度v与时间t图象中
能反映汽车做匀速运动的是（）
A. B.
C. D.
9.顺次连接菱形的各边中点，所得的四边形一定是（）
A. 梯形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
10.若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则代数式4m-2n+1的值是（）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.=______．
12.直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是______．
13.等腰三角形的周长为20，底边长为x，腰长为y，则y关于x的函数关系式为______．
14.矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们具有很多共性，如：______．（填一
条即可）
15.如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；
以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于
点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；
依此类推，则平行四边形AO3C4B的面积为______cm2．
16.正方形ABCD中，AB=4，P是AC上一点，过点P作PM⊥AB
于M，PN⊥BC于N．则MN最小值______．
三、解答题（本大题共9小题，共62.0分）
17.（1）2÷+2；
（2）（2+）（2-）．
18.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，
若∠DAE=25°，求∠C、∠B的度数．
19.如图，一架10m长的梯子AB斜靠在竖直的墙上，这时梯足B距离墙底端O为8m，
小明为了换一盏墙上的坏灯泡，把梯足B向内滑动了3m到B′处，那么梯子顶端A向上滑动了多少米？（ 1.732，结果保留小数点后一位）
20.画出函数y=-x2的图象，并回答下列问题
解：（1）列表（请完成下面填空）：
（2）描点，连线；
（3）从函数图象可以看出，当x＜0时，y随着x的增大而______．（填：增大或减小）
21.周末小强从家里骑自行车去江滨公园春游，图中表示他离家的距离y（千米）与所
用的时间x（小时）之间关系的函数图象．根据图象回答下列问题：
（1）小强从家里到江滨公园用了几小时？此时离家多远？
（2）小强第一次休息了多长时间？
（3）小强从江滨公园回家的平均速度是多少？
22.求证：矩形的对角线相等．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
23.阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=______，b=______；
（2）利用所探索的结论，填空：13+4=（______+______）2；
（3）若a+6=（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
24.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片
使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB
交PQ于F，连接BF．
（1）依题意补全图形；
（2）判断四边形BFEP的形状，并证明；
（3）若P、Q分别在边BA、BC上移动，求点E在边AD上移动的最大距离．
25.在平面直角坐标系xOy中，点A（-3，0），点B是x轴上异于点A一动点，设B
（x，0），以AB为边在x轴的上方作正方形ABCD．
（1）如图（1），若点B（1，0），则点D的坐标为______；
（2）若点E是AB的中点，∠DEF=90°，且EF交正方形外角的平分线BF于F．
①如图（2），当x＞0时，求证：DE=EF；
②若点F的纵坐标为y，求y关于x的函数解析式．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得：a+2≥0，
解得：a≥-2，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件可得a+2≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．2.【答案】D
【解析】解：A、22+（）2≠22，故不是直角三角形，此选项错误；
B、42+62≠82，故不是直角三角形，此选项错误；
C、32+52≠92，故不是直角三角形，此选项错误；
D、（）2+（）2=（）2，故是直角三角形，此选项正确．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】A
【解析】解：A、不能化简，是最简二次根式，正确；
B、不是最简二次根式，错误；
C、不是最简二次根式，错误；
D、不是最简二次根式，错误；
故选：A．
根据最简二次根式的定义判断即可．
此题考查最简二次根式，关键是在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．
4.【答案】C
【解析】解：字母B所代表的正方形的面积=169-25=144．
故选：C．
结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
5.【答案】D
【解析】解：如图所示，
根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB==5，
∴此菱形的周长为：5×4=20．
故选：D．
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
6.【答案】C
【解析】解：由函数的定义可知，
选项A、B、D中的函数图象符合函数的定义，选项C中的图象，y与x不是一一对应的，不符合函数的定义，
故选：C．
根据函数的定义可以判断哪个选项中的图象不是示y与x的函数图象，本题得以解决．本题考查函数的图象、函数的概念，解答本题的关键是明确函数的定义，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】D
【解析】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分
相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：D．
确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
8.【答案】D
【解析】解：由图象可得，
选项A、B、C中的速度v随t的变化而变化，故不符合题意，
选项D中的速度随着t的变化没有变化，即汽车做匀速运动，故选项D符合题意，
故选：D．
根据题意和函数图象，可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】B
【解析】解：∵E，F是中点，
∴EH∥BD，
同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，
∴EH∥FG，EF∥GH，
则四边形EFGH是平行四边形．
又∵AC⊥BD，EH∥BD，
∴AC⊥EH，
∵EF∥AC，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故选：B．
根据三角形的中位线定理可得EH∥BD，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD进而得到四边形EFGH 是平行四边形，再根据菱形的性质AC⊥DB可证明EF⊥EH，进而得到答案．
本题主要考查了矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，
∴2m+1=n，即2m-n=-1，
∴4m-2n+1=2（2m-n）+1=2×（-1）+1=-1．
故选：B．
先把点（m，n）代入函数y=2x+1求出2m-n的值，再代入所求代数式进行计算即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
11.【答案】5
【解析】解：原式==5．
故答案为：5．
根据二次根式的基本性质进行解答即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．12.【答案】
【解析】解：∵直角三角形中，两直角边长分别为12和5，
∴斜边==13，
则斜边中线长是，
故答案为：．
根据勾股定理求出斜边，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半计算即可．
本题考查的是勾股定理的应用和直角三角形的性质的运用，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：等腰三角形的腰长y=（20-x）÷2=-+10．
故答案为y=-+10．
等腰三角形的腰长=（周长-底边长）÷2，把相关数值代入即可．
考查列一次函数关系式；得到三角形底腰长的等量关系是解决本题的关键．
14.【答案】对角线相互平分
【解析】解：∵矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，
∴它们都具有平行四边形的性质，
所以填两组对边分别平行、或两组对边分别相等、或对角线相互平分等．
在矩形、菱形、正方形这种特殊的四边形中，它们都平行四边形，所以平行四边形所有的性质都是它们的共性．
本题主要考查了平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．15.【答案】
【解析】解：过点O向AB作垂线，垂足为E，过点O1向AB作垂线，垂足为F，如图所示：
∵∠DAB=∠OEB，
∴OE∥DA，
∵O为矩形ABCD的对角线交点，
∴OB=OD
∴OE=AD，
矩形ABCD的面积=AB×AD=20，
平行四边形AOC1B的面积=AB×OE=AB×AD=×20，
同理，根据平行四边形的性质，
O1F=OE=AD，
平行四边形AO1C2B面积=AB×AD=×20，
依此类推：
平行四边形AO3C4B的面积=AB×AD=×20=，
故答案为：．
矩形ABCD的面积=AB×AD=1，过点O向AB作垂线，垂足为E，平行四边形AOC1B的面积=AB×OE，根据矩形的性质，OE=AD，即平行四边形AOC1B的面积=AB×AD=×10，过点O1向AB作垂线，垂足为F，根据平行四边形的性质，O1F=OE=AD，即平行四边形AO1C2B面积=AB×AD=×20，依此类推，即可得到平行四边形AO3C4B的面积．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质、规律型-图形的变化类，根据矩形和平行四边形的性质，找到前两个图形的规律，依此类推即可，掌握规律是解题的关键．
16.【答案】2
【解析】解：过P作PE⊥DC于E，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠B=90°，DC=BC=AD=AB=4，∠ACD=∠ACB，
∴AC==4，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴四边形BNPM是矩形，
∴PB=MN，
在△PCD和△PCB中，，
∴△PCD≌△PCB（SAS），
∴PD=PB，
∴PD=MN，
当PD⊥AC时，PD最小，
∵△ACD的面积=AD×CD=AC×P'D，
∴P'D===2，
∴MN的最小值为2，；
故答案为：2．
连接PB，∠DCB=∠B=90°，DC=BC=AD=AB=4，∠ACD=∠ACB，由勾股定理得出
AC==4，证出四边形BNPM是矩形，由矩形的性质得出PB=MN，再由SAS
证明△PCD≌△PCB，得出PD=PB=MN，当PD⊥AC时，PD最小，由△ACD的面积的面积关系即可得出结果．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．17.【答案】解：（1）原式=+2
=4+2
=6；
（2）原式=（2）2-（）2
=12-5
=7．
【解析】（1）先算除法，再合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式求出即可．
本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能灵活运用运算法则进行计算是解此题的关键．
18.【答案】解：∵∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE=25°，
∴∠BAD=50°．
∴在平行四边形ABCD中：∠C=∠BAD=50°，∠B=180°-∠C=130°．
【解析】根据角平分线的定义得到∠BAD=2∠DAE=50°，再根据平行四边形的邻角互补和平行四边形的对角相等，就可求得∠C和∠B的度数．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
19.【答案】解：在Rt△AOB中，∵AB2=AO2+BO2，
∴AO2=AB2-BO2=102-82=36，
∴AO=6，
在Rt△A′OB′中，OB′=8-3=5，
A′O=A′B′2-B′O2=102-52=75，
∴A′O=5≈8.66，
∴AA′=8.66-6 2.7米，
答：梯子顶端A向上滑动了2.7米．
【解析】解直角三角形即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用．此题中两个三角形的斜边不变，都是梯子的长度．运用两次勾股定理即可解决．
20.【答案】（1）-4 ，-1 ；
（2）描点，连线；
（3）增大 .
【解析】解：（1）把x=-1，x=-2代入解析式得：y=-1；
把x=-2代入解析式得：y=-4，
故答案为-1，-4；
（2）见答案；
（3）由图可知，当x＜0时，y随着x的增大而增大，
故答案为：增大．
【分析】
（1）把x=-1，x=-2代入解析式求得即可；
（2）在坐标系内描出各点，画出函数图象即可；
（3）根据函数图象即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象，属于基础题.能利用描点法画函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
21.【答案】解：（1）由图象可得：小强从家里到江滨公园用了3小时，此时离家30千米远；
（2）小强第一次休息了2-1.5=0.5小时=30分钟的时间；
（3）小强从江滨公园回家的平均速度是km/h．
【解析】（1）根据分段函数的图象上点的坐标的意义可知：小强从家里到江滨公园用了3小时，此时离家30千米远；
（2）根据休息的时候，时间增加而路程不再增加，观察图象即可求得；
（3）利用速度=距离÷时间解答即可．
本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．
22.【答案】解：已知：四边形ABCD是矩形，AC与BD是
对角线，
求证：AC=BD，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
又∵BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AC=BD，
所以矩形的对角线相等
【解析】由“四边形ABCD是矩形”得知，AB=CD，AD=BC，矩形的四个角都是直角，再根据全等三角形的判定原理SAS判定全等三角形，由此，得出全等三角形的对应边相等的结论．
本题考查的是矩形的性质和全等三角形的判定．（1）在矩形中，对边平行相等，四个角都是直角；（2）全等三角形的判定原理AAS；三个判定公理（ASA、SAS、SSS）；（3）全等三角形的对应边、对应角都相等．
23.【答案】解：（1）m2+3n2；2mn；
（2）1；2 ；
（3）a=m2+3n2；6=2mn；
∴mn=3，
而m、n为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1，
∴a=28或a=12.
【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
（1）先利用完全平方公式展开，然后根据有理数的性质和用m、n表示a、b；
（2）13化为12+（2）2，然后利用完全平方公式求解；
（3）利用a=m2+3n2；6=2mn；则mn=3，根据整除性确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解答】
解：（1）a+b=（m+n）2=m2+3n2+2mn，
而a、b、m、n均为正整数，
所以a=m2+3n2，b=2mn.
故答案为m2+3n2；2mn；
（2）13+4=（1+2）2.
故答案为1；2；
（3）见答案.
24.【答案】解：（1）依题意补全图形，如图1；
（2）∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称．
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF．
又∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠EFP．
∴∠EPF=∠EFP．
∴EP=EF．
∴BP=BF=EF=EP．
∴四边形BFEP为菱形．
（3）当点Q与点C重合时，如图2所示，此时点E离点A最近，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°．
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE=BC=5cm．
在Rt△CDE中，DE==4．
∴AE=AD-DE=5-4=1cm，此时AE=1cm；
当P点与A点重合时，如图3所示，点E离点A最远．
此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm．
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．
【解析】（1）在原图上过E点作EF∥PQ，垂足为F，连接BF即可；
（2）借助折叠的对称性找到对应边相等，再利用角平分线和平行线得到邻边相等，运用四条边相等的四边形是菱形的方法进行判断；
（3）找到E点离A最近和最远的两种情况即可求出点E在边AD上移动的最大距离．
本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定方法、勾股定理等知识，解题的关键是依题意画出正确的图形，运用折叠的对称性解决问题．
25.【答案】（1）（-3，4）
（2）①证明：如图1，取AD中点P，连接PE，
得，AP=DP=AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=∠CBA=90°，
∵E是AB中点，
∴AE=EB=AB，
∴AE=EB=AP=DP，
∴∠APE=45°，
∴∠DPE=135°，
∵EF是正方形ABCD外角的平分线，
∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，
∴∠DPE=∠EBF=135°，
∵∠DEF=90°，
∴∠DEA+∠FEB=90°，
又∵∠DEA+∠ADE=90°，
∴∠FEB=∠ADE，
∴△FEB≌△EDP（ASA），
∴DE=EF；
②如图2，当点B在点A的右侧时，过点F作FG⊥x轴于点G，
∵DE=EF，∠ADE=∠EFG，∠DAE=∠EGF=90°，
∴△ADE≌△GEF（AAS），
∴AE=FG=y，
∴y=AE===x+；
如图3，当点B在点A的左侧时，
过点F作FG⊥x轴于G，
同理可证△ADE≌△GEF（AAS），AE=FG=y，
∴y=AE==-x-；
∴y关于x的函数解析式为y=x+或y=-x-．
【解析】（1）解：∵A（-3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=4，
∴D（-3，4），
故答案为：（-3，4）；
（2）①②见答案
（1）通过A，B坐标求出正方形的边长，得到AD的长，即可写出点D的坐标；
（2）①取AD中点P，连接PE，证△FEB与△EDP全等即可；
②分点B在点A的右侧和左侧两种情况讨论，先证△ADE与△GEF全等，由A（-3，0），B（x，0），求出含x的代数式的AE的长度，使其等于y即可．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定，函数思想解决问题等，解题关键是注意分类讨论在解题过程中的运用．。