中考中利用函数图象求方程的近似根的解题例说
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例１ 、用作 图象 的方法解方程组１ ２ ｚ — Ｙ ： ２
／
解 ： 由 ｘ 一 ２ ｙ ２ 可 得 ｙ ＝ ； ＋ １ 。 同 理
．
／ ；
．
由２ ｘ— ｙ ＝ ２ 可得 ｙ ＝ ２ ｘ 一２ ，在 同坐标系中作出
一
次 函数 ｙ ＋ １ 的图象和 ｙ ２ ｘ 一 ２的图象 ，
观察 图象， 得两 直 线 交 于点 （ ２ ，２ ），所 以方 程 组 Ｊ Ｙ
的解 是
方程近似解 是一种粗略 的计算，实质是一种 快速 的近似 计算，它 的基 本 特点是对数值做扩大或缩小，从而对运算结果确定 出一个范 围，学生在利 用函 数图象策略的基础上 ，通过观察 、比较 、判断 、推理等认知过程 ，获得 一种概 略化结果的能力它可 以使我们判断一个经 由粗略计算 得到的答 案的合理性。通 过教学可 以逐步提高学生 的 “ 数 ”与 “ 形 ”结合意识和 能力，有 效改善学生的 数学思维品质，发展学生 的数感 ，形成 良好的认 知结构和 知识结构 利用 “ 数” 与 “ 形 ”两种方法来研究 函数 图象与方程 的根 关系的问题 ，使学生通过经历解 决过程 问题的过程学会用数学的方法和数学的观 点认识 客观世 界的规律。 要让学 生了解函数 与方程的关系 ，树立函数与方 程思想 ，途径 很多，解 方程是我们 常常遇 到的问题之 一，在实际问题中其实也只要求出符合一定精确 度 的解 即可 ．求方程 的近似解 ，体现 了算法 思想，所以教材将其作为函数与方 程思想运用 的一个 范例，通过观 察二次函数图象与 Ｘ轴的交点，估计对应 的一 元二 次方程 的根 的取值，进一步培养学生运用 “ 数形结合 ”思想解决 问题 的能 力恰 当运 用图形语 言、 自然语言和符号化的形式语言，并进行三者之 间必要 的 转化 ，可以说，这是学习数学的基本思考方式。而利用函数 图象求方程近似根 这 一内容正是体现数学基本思考方式的一个 良好载体 ，教学 中应该充分关注 到 这 一点。 长此以往， 便可使学生在学习知识的同时， 学到比知识更重要 的东西一 学会如何思考？如何进行 数学 的思考 ？ 纵观近几年 的中考数学试题 ，利用 函数解 决问题 的主干 知识、知识 的综 合应用以及函数与方程思想的考 查， 一直 是中考 的重 点内容之一 。中考试题 中， 既有灵活多变的客观性小题，又有 一定能力要求 的主观性大题 ， 难度有 易有难 ， 可 以说是贯穿 了数学 中考整份试卷 。因此教师应 善于创造 性地使用教材，充分
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中考中利用函数图象求方程的近似根的解题例说
５ １ ９ １ ７ ０ 广 东省珠海市斗门区乾务镇初级 中学 杨才帮
擅 ■ ：近年来中考考试很 多省 市考查 了学生利用函数图象求方程 的近似根 策略 ，体现 了新课程 的理念 ，这也是将与 高中内容更为含接，也是 筛选优生进入 普 高的一种 出题手段 ，它的优越性 引起初 中数学教师的反思。 关■饵 ：初中数学 近似根 方程 数形结合 函数图象
一Байду номын сангаас
的根 ，或将 ， ） ＝ ０ 转化为等 价方程 ） ＝ ｂ ） 卜 ） ， 的 图象交 点的横坐 标Ｃ 也 是， ） ＝ ０ 的根 。从而估计 出 ｃ的大致 区间 （ ａ ， ｂ ），再用逐 步逼近法搜
索出 Ｃ的近似值 。
、
的方法。
（ ２ ）已 知 函 数 Ｙ ＝ 的 图象 （ 如 图） ： 求 方 程
有深度、更贴近生活 ，使学 生学会分析 问题 的基本 方法，从而掌握正确的思维 方式 。 首先教师要指导学生有序 思考 。着力培养学生观察分析、由表及 里的有序 思考能力是数学教学 的重要 目 标，尤其是对思维形成期的小学生来说更为关键。 其 次要指导学生对 比辨析 。对 比辨 析可 以异 中求同，同 中求 异，有助于 揭示事物 的本质 。在教学 中，可以通过相似概念 的比较 ，还可以通过题组对比， 引发学生深入思考 ，提高分析和解决 问题的能力。 最 后要指导逆 向思维。学生 习惯顺 向思维 ，例如 在学习分数 的时候 ，当 分子相 同时，分母越 大，分数反而越小，这时候往往会很容易 出错 ，因为惯性 思维就 是大的越大。这样单 向的思维习惯不利于学生思维品质的提高 。例如 ： 教学三 角形的面积时，在推导出三角形的面积公式后 ，还要启发学生 反过来想 想：知道 了三 角形 的面积和底 ，如何求高 ？ 要注意什么 ？ 课改实验虽然 时间不长 ，但我们 广大教育工作 者一直在探 索怎样才能使 学生学得更好的教学方法 ，路 漫漫其修远兮 ，吾将上下而求索 。
学习，他也许会从此失去提 问的兴趣和勇气，成为一个不善思考的人 。相反， 如果老师重视学生的问题，就能保护好学生对数学的好奇心，也能使学生在心 理上得到尊重 。如果展开有关 问题的讨论，有时还能帮助大家找到新的思路， 获得新 的发现。如在做 ｌ ２页的练习题时 ，有一 个学生提 出 “ 以这样 的速度青 藏高原长到一万米要多少年呢 ？”对于学生提出的这一 问题，我没有忽略 ，先 让学生说说应该怎样数？然后解答 问题 ， 这不仅有利于激发学生提问题的乐趣， 还 巧妙 的练 习了学生按顺序数数的知识 另外 ，教师还把学生在课堂上提 出的 比较精彩 的或 以后要解决 的问题放入记录成册 ，这也是对学生 的一种激励 。例 如 ，也 是在 １ ２ 页 的练 习中，有学生提 问 “ 老 师，如果青藏 高原 的上升速度是 在变化 的我们怎么算它五十年后的高度 呢？” 这个 问题我还真不知道如何解答 ， 术 业有专攻 。同时我赞 叹这个 学生想 问题 的全面性和 勇于质疑 的勇气 ，我笑着 说等你长大 以后 当名地质学家，去看看青藏高原的上升速度是不是在变化 。 五 、｝ Ｉ 领愚蠢发晨 ．调练思维方法 “ 高效的数学课 堂”就是要使学生在 数学学习 的过 程中思维更灵 活、更
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２ ＝ ０ 的解 。（ 结果保 留 ２ 个有效数字 ） 该题利用 函数图象求方 程的近似解 ，考 查了学生运
用数形结合思想综合解决 问题的能力。该题的设计非常有创意和开放性，特别 注重解决 问题的过程与方法，突出地体现了对 问题的类 比与探索意识，如果死 记硬背知识点是难以解决的。 ＝、有关函数圈象求方程 的近似解教学的解说 在八年级 上第七章二元一次方程组第 六节 《 二元一 次方程与一次 函数》 中有一例题： 一 ２ ｙ ＝ － ２
利用 函数 的图象求方程 的近似解，重要 的不 是求解结果 ，而 是这种求解 方法和求解思路，包括解的范围、解的精确度 以及如何达到所要求的精确度等， 这些对于学生来说都是有价值的数 学。 近 年来近几年的 中考 ｔ拳试■ 中利 用函数田象求方程 近似解的■ ． 体现 了繁 程 的曩念 例如 ：２ ０ ０ ６ 年宁波市初中毕业生学业考试第 ２ ４题出现 了考查利用函数 的 图象求方程 的近似解 的题 目： 利用图象解一元二次方 程 一 ２ Ｘ 一 １ ＝ ０ 时 ，我们采 用的一种方法 是：在 直 角坐标系 中画 出抛物 线Ｙ ＝ 和直线 ｙ ＝ ２ ｘ ＋ ｌ ，两 图象交点 的横 坐标 就是该方程 的解 ． （ １ ） 请再给 出一种利 用图象 求方程 ｘ 一 ２ ｘ 一 １ ＝ ０ 的解
例１ 、用作 图象 的方法解方程组１ ２ ｚ — Ｙ ： ２
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解 ： 由 ｘ 一 ２ ｙ ２ 可 得 ｙ ＝ ； ＋ １ 。 同 理
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由２ ｘ— ｙ ＝ ２ 可得 ｙ ＝ ２ ｘ 一２ ，在 同坐标系中作出
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次 函数 ｙ ＋ １ 的图象和 ｙ ２ ｘ 一 ２的图象 ，
观察 图象， 得两 直 线 交 于点 （ ２ ，２ ），所 以方 程 组 Ｊ Ｙ
的解 是
方程近似解 是一种粗略 的计算，实质是一种 快速 的近似 计算，它 的基 本 特点是对数值做扩大或缩小，从而对运算结果确定 出一个范 围，学生在利 用函 数图象策略的基础上 ，通过观察 、比较 、判断 、推理等认知过程 ，获得 一种概 略化结果的能力它可 以使我们判断一个经 由粗略计算 得到的答 案的合理性。通 过教学可 以逐步提高学生 的 “ 数 ”与 “ 形 ”结合意识和 能力，有 效改善学生的 数学思维品质，发展学生 的数感 ，形成 良好的认 知结构和 知识结构 利用 “ 数” 与 “ 形 ”两种方法来研究 函数 图象与方程 的根 关系的问题 ，使学生通过经历解 决过程 问题的过程学会用数学的方法和数学的观 点认识 客观世 界的规律。 要让学 生了解函数 与方程的关系 ，树立函数与方 程思想 ，途径 很多，解 方程是我们 常常遇 到的问题之 一，在实际问题中其实也只要求出符合一定精确 度 的解 即可 ．求方程 的近似解 ，体现 了算法 思想，所以教材将其作为函数与方 程思想运用 的一个 范例，通过观 察二次函数图象与 Ｘ轴的交点，估计对应 的一 元二 次方程 的根 的取值，进一步培养学生运用 “ 数形结合 ”思想解决 问题 的能 力恰 当运 用图形语 言、 自然语言和符号化的形式语言，并进行三者之 间必要 的 转化 ，可以说，这是学习数学的基本思考方式。而利用函数 图象求方程近似根 这 一内容正是体现数学基本思考方式的一个 良好载体 ，教学 中应该充分关注 到 这 一点。 长此以往， 便可使学生在学习知识的同时， 学到比知识更重要 的东西一 学会如何思考？如何进行 数学 的思考 ？ 纵观近几年 的中考数学试题 ，利用 函数解 决问题 的主干 知识、知识 的综 合应用以及函数与方程思想的考 查， 一直 是中考 的重 点内容之一 。中考试题 中， 既有灵活多变的客观性小题，又有 一定能力要求 的主观性大题 ， 难度有 易有难 ， 可 以说是贯穿 了数学 中考整份试卷 。因此教师应 善于创造 性地使用教材，充分
一
中考中利用函数图象求方程的近似根的解题例说
５ １ ９ １ ７ ０ 广 东省珠海市斗门区乾务镇初级 中学 杨才帮
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（ ２ ）已 知 函 数 Ｙ ＝ 的 图象 （ 如 图） ： 求 方 程
有深度、更贴近生活 ，使学 生学会分析 问题 的基本 方法，从而掌握正确的思维 方式 。 首先教师要指导学生有序 思考 。着力培养学生观察分析、由表及 里的有序 思考能力是数学教学 的重要 目 标，尤其是对思维形成期的小学生来说更为关键。 其 次要指导学生对 比辨析 。对 比辨 析可 以异 中求同，同 中求 异，有助于 揭示事物 的本质 。在教学 中，可以通过相似概念 的比较 ，还可以通过题组对比， 引发学生深入思考 ，提高分析和解决 问题的能力。 最 后要指导逆 向思维。学生 习惯顺 向思维 ，例如 在学习分数 的时候 ，当 分子相 同时，分母越 大，分数反而越小，这时候往往会很容易 出错 ，因为惯性 思维就 是大的越大。这样单 向的思维习惯不利于学生思维品质的提高 。例如 ： 教学三 角形的面积时，在推导出三角形的面积公式后 ，还要启发学生 反过来想 想：知道 了三 角形 的面积和底 ，如何求高 ？ 要注意什么 ？ 课改实验虽然 时间不长 ，但我们 广大教育工作 者一直在探 索怎样才能使 学生学得更好的教学方法 ，路 漫漫其修远兮 ，吾将上下而求索 。
学习，他也许会从此失去提 问的兴趣和勇气，成为一个不善思考的人 。相反， 如果老师重视学生的问题，就能保护好学生对数学的好奇心，也能使学生在心 理上得到尊重 。如果展开有关 问题的讨论，有时还能帮助大家找到新的思路， 获得新 的发现。如在做 ｌ ２页的练习题时 ，有一 个学生提 出 “ 以这样 的速度青 藏高原长到一万米要多少年呢 ？”对于学生提出的这一 问题，我没有忽略 ，先 让学生说说应该怎样数？然后解答 问题 ， 这不仅有利于激发学生提问题的乐趣， 还 巧妙 的练 习了学生按顺序数数的知识 另外 ，教师还把学生在课堂上提 出的 比较精彩 的或 以后要解决 的问题放入记录成册 ，这也是对学生 的一种激励 。例 如 ，也 是在 １ ２ 页 的练 习中，有学生提 问 “ 老 师，如果青藏 高原 的上升速度是 在变化 的我们怎么算它五十年后的高度 呢？” 这个 问题我还真不知道如何解答 ， 术 业有专攻 。同时我赞 叹这个 学生想 问题 的全面性和 勇于质疑 的勇气 ，我笑着 说等你长大 以后 当名地质学家，去看看青藏高原的上升速度是不是在变化 。 五 、｝ Ｉ 领愚蠢发晨 ．调练思维方法 “ 高效的数学课 堂”就是要使学生在 数学学习 的过 程中思维更灵 活、更
一 一
２ ＝ ０ 的解 。（ 结果保 留 ２ 个有效数字 ） 该题利用 函数图象求方 程的近似解 ，考 查了学生运
用数形结合思想综合解决 问题的能力。该题的设计非常有创意和开放性，特别 注重解决 问题的过程与方法，突出地体现了对 问题的类 比与探索意识，如果死 记硬背知识点是难以解决的。 ＝、有关函数圈象求方程 的近似解教学的解说 在八年级 上第七章二元一次方程组第 六节 《 二元一 次方程与一次 函数》 中有一例题： 一 ２ ｙ ＝ － ２
利用 函数 的图象求方程 的近似解，重要 的不 是求解结果 ，而 是这种求解 方法和求解思路，包括解的范围、解的精确度 以及如何达到所要求的精确度等， 这些对于学生来说都是有价值的数 学。 近 年来近几年的 中考 ｔ拳试■ 中利 用函数田象求方程 近似解的■ ． 体现 了繁 程 的曩念 例如 ：２ ０ ０ ６ 年宁波市初中毕业生学业考试第 ２ ４题出现 了考查利用函数 的 图象求方程 的近似解 的题 目： 利用图象解一元二次方 程 一 ２ Ｘ 一 １ ＝ ０ 时 ，我们采 用的一种方法 是：在 直 角坐标系 中画 出抛物 线Ｙ ＝ 和直线 ｙ ＝ ２ ｘ ＋ ｌ ，两 图象交点 的横 坐标 就是该方程 的解 ． （ １ ） 请再给 出一种利 用图象 求方程 ｘ 一 ２ ｘ 一 １ ＝ ０ 的解