确实存在正的永续增长率吗_关于财务_金融理论的基础性思考

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—收稿日期：2010-01-10
作者简介：张志强，中国人民大学副教授，主要从事公司财务与金融研究；赵全海，石家庄经济学院教授，主要从事国际贸易政策与全球化研究。

一、引言
财务/金融理论的基本公理是期望收益和风险决定价值，正如价值评估的折现现金流量（DCF ）方法所展示的一样。

在DCF 方法中，现金流量代表了收益，贴现率则体现了对风险的考虑。

为简单起见，学术和实际研究以及价值评估经常将预期风险具体化为经过风险调整的贴现率，而通过初始收益和正的永续增长率相结合来反映未来的期望收益。

Gordon 模型（1962）就是一个例子。

[1]
自20世纪60年代问世以来，Gordon 模型一直是应用最为广
泛的股票价值评估模型，其形式如下：
P =
D 0(1+g )k-g =D 1
k-g
（1）
其中：D 0是上年度的每股红利，D 1=D 0(1+g )是估计的第一年每股红利，k 是市场（投资者）对该股票要求的收益率（代表资本的机会成本），而g 是估计的红利永续增长率。

在数学上，Gordon 模型要求k>g 。

在现实应用中，一般情况下或对目前健康的公司而言，g 基本都被“理所当然”地估计为一个正的百分数。

按照普遍接受的说法，g 应该接近于整体经济的长期增长率。

然而，这里有一个被长期忽略而又非常重要的问题：确实存在正的永续增长率吗？
也许出乎多数人意料，但稍作分析就不难得出：该问题的答案是否定的。

也就是说，确实没有正的永续增长率！如果g 代表在未来无限长时间中保持不变的公司股票红利的增长率，那么，它只能是明确的负增长率。

为什么？因为经历无限长时间之后，公司必将破产或倒闭。

①因此，对于任何一家公司而言，无论它目前看起来多么“健康”，在经历“无限长”时间之后，各种形式的收益（会计收益、营业现金流量、股票红利等等）都将归零。

从目前的正价值“平滑”到零，增长率不可能是正的，甚至零增长率也是不可能的。

虽然在折现现金流量计算中，非常遥远的未来现金流量或价值不重要，可以忽略不计，但“近似
确实存在正的永续增长率吗？
———关于财务/金融理论的基础性思考
张志强1，赵全海2
(1.中国人民大学商学院，北京100096；2.石家庄经济学院职业技术学院，河北石家庄
050021)
摘要：按照复利增长的逻辑，考虑公司的有限寿命，未来收益或价值的永续增长率一定是
负的而不是正的，而负增长率又让人难以接受，本文将这种矛盾称为“Z Z 悖论”。

借助于G ordon 模型，基于M
oody 的违约数据，围绕如何解释“正永续增长率”以及“负增长率”对于资产价值的重大影响，讨论了Z Z 悖论的种种隐含意义，包括各信用等级公司的破产概率、期望寿命、负永续增长率及其对公司股票价值和贴现率的潜在影响等。

关键词：永续增长率；G ordon 模型；破产概率；Z Z 悖论
中图分类号：F 830.3
文献标识码：A
文章编号：1005－0892(2010)06－0048－11
计算”很难解释增长率由“负”变“正”的合理性。

同样，虽然永续增长假设可以简化模型，例如Gordon 模型，“模型简化”也很难解释增长率由“负”变“正”的合理性。

无论如何，从目前的正值到零，增长率不可能是正的。

另一方面，虽然经济发展会有繁荣和衰退交替，股市也有牛市和熊市交替，但没有人怀疑过长期或永续增长率应该是正的，无论就整体经济或市场而言还是就单个公司或其股票而言。

而且，如果每家公司的收入、利润以及股票价值最终都将化为乌有，整体经济的长久或永续正增长又从何而来？
在长久或永久意义上，“正增长率”和“负增长率”似乎都有各自的理由，但它们之间显然存在不可调和的逻辑矛盾。

这个由“意外的负增长率”引起的矛盾对传统金融理论和智慧形成挑战。

理清这其中的逻辑关系并不容易，本文姑且称之为“ZZ 悖论”。

永续增长率或长久增长率的正负问题看似简单，但它是涉及未来现金流量和价值折现的根本问题，而折现计算是财务和金融理论大厦的基石。

因此，“ZZ 悖论”提出了振动财务和金融理论大厦根基的重大问题。

对这个“悖论”的思考和讨论不可回避。

本文将基于Moody 的各信用等级公司违约数据探讨与ZZ 悖论有关的问题。

值得注意的是，虽然在本文中负增长率一再得到证实并应用于相关的分析，这并不意味着我们同意用负增长率替代目前常规分析中的正增长率，也不意味着我们同意按照负增长率进行分析和评估，比如第五部分中很低的价值评估结果。

这些分析只是演示“如果”最终金融理论难以推翻“负增长率”，结果会是怎样。

我们所以称之为“悖论”而不是结论，就是希望它不会对既有的金融理论造成
大的冲击；或者，在对其能够透彻解释之前，可以找到适当的办法避免由此造成的逻辑麻烦。

[2-3]
无论如何，ZZ 悖论隐含着丰富的金融理论和实践意义，例如关于破产、增长率、贴现率、股票定价等方面。

二、不变的增长率是几何平均增长率
容易理解，现实中很难有经济变量会有“不变”的增长率。

所谓“不变”的增长率实际是对复杂现实的简化，或者说是一定时期中的“平均”增长率。

从数学上讲，有两种常用的方法可以计算平均增长率。

一种是算术平均方法，另一种是几何平均方法。

用Vt 表示第t 期变量的值，则该变量的算术平均增长率（AAG ）和几何平均增长率（GAG ）可以分别通过式（2）和式（3）计算。

AAG =V 1/V 0+V 2/V 1+V 3/V 2+…+V n /V n -1
n -1
（2）
GAG =
V
10
×
V 21×…×V n n -1
n 1
nn -1=V
n 0
n 1
nn -1（3）
用g 表示n 期中不变的增长率，则V 1=V 0（
1+g ），V 2=V 1（1+g ），……，V n =V n -1（1+g ）。

所以，V 1/V 0=V 2/V 1=……=V n /V n -1=（1+g ）。

进而，（V 1/V 0+V 2/V 1+V 3/V 2+…+V n /V n -1）=n （1+g ）；（V 1/V 0×V 2/V 1×…×V n /V n -1）=(1+g )n。

AAG=n (1+g )n -1=g GAG =[(1+g )n ]1/n
-1=g
以上的计算显示出算术平均和几何平均计算的一致性。

但实际上，除了每年增长率都相同的情况，AAG 和GAG 的计算结果都是不同的。

如果已知各年增长率的标准差为SD ，AAG 和GAG 有如下数量关系：
(1+AAG)2
-SD 2
=(1+GAG)
2（4）
公式（3）显示出几何平均增长率只与变量的初始值和最终值有关，而与该变量的变动过程无关，
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如此看来几何平均似乎不很可靠，但实际上它比算术平均更为可靠。

例如，某变量从最初的100增加到200，最后又下降到100，根据算术平均，平均增长率是25%。

因为最终价值等于初始价值，增长率应该明显是0%，即符合根据几何平均得到的结果。

因此，在金融和经济平均增长率的计算中，几何平均处于主导地位。

同时，几何平均增长率也符合经济和金融理论中复利增长的假设。

类似地，所谓永续增长率即是在无限长时期中的几何平均增长率。

实际上，即使公司可以永远存在下去，人类的智力也无法预测未来无限长时期的增长率。

根据前面的分析，在到达无限远之前，目前存在的某公司必定会破产倒闭，这又使预测有了某种可行性。

也就是说，在破产倒闭之后到无限远之间相应的现金流量都是零。

从目前的正值到未来的“0”，其“年均几何增长率”不难测算。

然而，在数学上，这种情况下的年增长率肯定是-100%。

为在测算或演示中避免这个统一的“-100%”，本文假定公司在其最后年份中，股票红利或相应的微观变量是一个接近于零的正数，比如是“10亿分之一元”而不是“0元”。

三、破产概率与公司寿命
在长期中，公司每年平均发生破产的概率一定是正数，虽然它也许非常小，但绝对不可能是0或负数。

已知这个（小）正的年破产概率，就容易估计公司的期望寿命。

例如，以1%作为年破产概率。

根据排队论可知，公司平均可能将在第100年破产（=1/1%），因此，公司的期望寿命是100年，虽然该公司的实际寿命也许会长些或短些。

用b表示年破产概率（常数），则公司期望寿命为1/b；而（1-b）代表年生存的可能性。

再用B 表示连续n年中的累计破产概率，即n年中发生破产的概率。

则n年中不破产（即连续n年存活）的概率为(1-b)n。

从而n年中发生破产的概率为：[4]
B=1-(1-b)n（5）不妨从现实数据中寻找一些直观感受。

如表1所示，Moody公司每年都公布为期一年到十年的公司实际累积违约率。

[5]但值得注意的是，根据定义，Moody公司的“违约”与本文的“破产”在概念上有所不同。

在本文中，“破产”意味着公司寿命结束和股票价值消失，这也符合破产的理论定义和普遍理解。

而Moody公司的“违约”除了包括破产，还包括公司发生财务困境的某些情况。

所以，违约的范围大于破产，这意味着实际的累计破产概率比表1中对应的累积违约率百分比要小。

表1Moody公司的历史平均累积违约率（%）
年份１２３４５６７８９１０Aaa0.0000.0000.0000.0260.0990.1720.2500.3340.4240.520 Aa0.0080.0190.0420.1060.1770.2600.3430.4150.4630.522 A0.0210.0950.2200.3440.4720.6140.7590.925 1.105 1.286 Baa0.1810.5060.929 1.433 1.937 2.449 2.956 3.448 4.013 4.633 Ba 1.203 3.222 5.5687.95310.20712.22613.99215.69017.37119.095
B 5.23511.29817.04422.05426.79130.97634.76237.97240.90843.322
Caa-C19.46630.50939.73146.93552.65956.84159.96563.28966.35969.251资料来源：R ichard Cantor,David T.Hamilton,Jennifer Tennant,2007,Confidence Intervals for Corporate Default R ates,Special Comment of Moody,April2007。

[6]
累计破产概率和期望的公司寿命取决于长期不变的年（平均）破产概率。

考虑到破产和违约之间的差异，下面取表1中数值的一半作为累计破产概率。

根据表1第6列的五年累计破产概率，②通过反用式（5），可以计算出平均的年破产概率，如表2中第1-3行所示。

表2
各信用等级公司的期望寿命和累计破产概率*（除公司寿命外，其他单位都为%）
项目
公司信用等级
Aaa
Aa A Baa Ba B Caa-C 5年累积实际违约率0.0990.1770.472 1.93710.20726.79152.6595年累计破产概率0.0500.0890.2360.969 5.10413.39626.330年破产概率0.0100.0180.0470.194 1.042 2.835 5.928长期年均破产概率0.5100.5150.5340.630 1.181 2.347 4.357期望公司寿命（年）196.00194.07187.10158.6984.6642.6122.9510年累计破产概率 4.986 5.035 5.218 6.12611.20321.13835.94920年累计破产概率9.7249.81610.16411.87621.15237.80858.97550年累计破产概率22.56722.76423.50627.10044.79569.49889.220100年累计破产概率40.04140.34641.48646.85569.52490.69698.838200年累计破产概率64.04964.41465.76171.75690.71299.13499.986500年累计破产概率92.25092.44593.14095.76199.73799.999100.001000年累计破产概率
99.399
99.429
99.529
99.820
99.999
100.00
100.00
资料来源：基于Moody 公司报告的各信用等级公司实际累积违约率计算。

因为所得出的年破产概率将用于计算长期中的累计破产概率，因此，这种年破产概率数据应该考虑长期中的重要因素再加以调整。

最相关和最可能的因素应该是公司的信用等级会发生变动，它会直接影响公司将来的年破产概率。

因此，上面所得出的表2第3行的年破产概率还要考虑信用等级的可能变化而加以调整。

Norbert Gaillard （2007）根据Moody 公司报告的1986年到2006年年末信用等级推算出年信用等
级变化率。

[7]
原始的数据划分为更详细的信用等级，包括Aaa ，Aa1，Aa2，Aa3，A1，A2，A3，Baa1，
Baa2，Baa3，Ba1，Ba 2，Ba3，B1，B2，B3，Caa1，Caa2，Caa3。

根据表1的信用等级合并这些数据，可以得出如表3所示的年信用等级变化率。

表3
Moody 公司年信用等级变化率（%）：基于1986-2006年的实际数据计算
目前信用
等级一年后信用等级
Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C Default Total Aaa 97.9 2.10.00.00.00.00.00.0100.0Aa 5.994.10.00.00.00.00.00.0100.0A 0.0 5.292.1 1.6 1.20.00.00.0100.0Baa 0.00.010.386.1 3.10.00.00.5100.0Ba 0.00.00.0 6.984.48.70.00.0100.0B 0.00.00.00.0 5.387.8 6.90.0100.0Caa-C
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
14.8
77.0
8.2
100.0
资料来源：根据原始数据合并而成。

原始数据见Norbert Gaillard,MoodySovereign R atings:1918-1939and 1986-2006Compared,Chaire Finances Internationales Working Paper,August 2007.[7]
根据表3，经过一年，大致有90%的公司会保持其当前的信用等级。

假设从长远看公司保持其当
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前信用等级的概率是70%，或者公司变动信用等级的概率是30%，并进一步假设变动到其他各个信用等级的概率各为5%。

③这样，长期平均的（不变的）年破产概率，如表2第4行所示，是行3对应的百分比乘以70%，再加上5%乘以剩余的各个百分比的总和。

期望的公司寿命是长期年均破产概率的倒数。

各种时期长度中的累计破产概率可以根据式（5）和长期年均破产概率计算得到。

根据表2，A类信用等级（Aaa、Aa、A）公司的期望寿命大约是190年，B类信用等级（Baa、Ba、B）公司的期望寿命是50年~150年，C类信用等级（Caa-C）公司的期望寿命在30年以下。

基本上所有的B及其以下等级的公司在100年中破产的概率都接近或超过50%。

所有A等级的公司在200年中破产的概率也都超过50%。

如果考察期延长到500年，所有等级的公司发生破产的概率都超过90%。

如果考察期延长到1000年，所有等级的公司发生破产的概率都超过99%。

这可以说基本上反映了现实情况，因为“百年老店”是许多公司可望而不可及的目标，而我们很少能够看到生存超过1000年的公司。

[4]曾经威名显赫的Barings银行（1762年到1995年，存在233年）、WorldCom公司（1983年到2003年，存在20年）和雷曼兄弟（1850年到2008年，存在158年）等等，最终都难逃破产宿命。

因此，在应用Gordon模型和其他折现模型时，更为现实的假定是相关的收益或现金流量将持续数十年或数百年；而且在这数十年或数百年中，至少部分时间是负增长，绝对不都是正增长，更不可能永远正增长。

四、公司寿命与增长率
容易证明，在Gordon模型中，增长率g也是每股收益（E）的增长率和股票价值的增长率（即年。

虽然公司的红利每年资本利得）。

要计算具体股票的红利“平均”增长率，需要知道当前的红利D。

不波动，有时还可能连续多年为0，但在估计增长率时，通常经过“平滑”得到一个“正常”的D
用说，“正常”的D
一定是一个正数。

现在，红利增长率的正负问题已经非常清楚：从当前正的价值到破产时的“0”，无论如何也想象不出一个平均的正增长率。

所以，虽然公司发展过程中会有起起伏伏，因为当前值是正的，而最终值是零，不变的增长率在几何平均的概念上只能是负的。

基于表2中的期望公司寿命，假定最后的股票红利是“10亿分之一元”而不是“0元”，根据几何平均计算，可以得出各信用等级公司股票的年均增长率，如表4所示。

表4各信用等级公司股票红利的年均增长率（%）
目前红利（元）0.10.20.51２５１０
最终红利（元）1/1,000,000,000=0.000000001
Aaa（196.00年）-9.0-9.3-9.7-10.0-10.4-10.8-11.1 Aa（194.07年）-9.1-9.4-9.8-10.1-10.4-10.9-11.2 A（187.10年）-9.4-9.7-10.2-10.5-10.8-11.3-11.6 Baa（158.69年）-11.0-11.3-11.9-12.2-12.6-13.1-13.5 Ba（84.66年）-19.6-20.2-21.1-21.7-22.4-23.2-23.8 B（42.61年）-35.1-36.1-37.5-38.5-39.5-40.8-41.7
Caa-C（22.95年）-55.2-56.5-58.2-59.5-60.7-62.2-63.3毫不奇怪，表4中没有正增长率。

不仅如此，当公司预期寿命较短时，例如Caa-C等级的公司，负增长率的绝对值还会很大。

这表明，如果我们想要正确估计红利、现金流量、每股收益以及公司及
其股票价值的增长率，必须认真考虑公司寿命的影响；同时，考虑公司寿命的影响，负增长率似乎又是不可避免的。

注意，此处得到的负增长率是在有限时间范围内的平均增长率，与Gordon 模型中的永续增长率有所不同。

然而，如果考虑时间足够久远，将公司寿命或破产考虑在内，用平均增长率代替永续增长率，不会对价值评估结果产生明显影响。

因此，为方便数字演示，下文将在Gordon 模型中直接代入这些平均增长率进行计算。

五、负增长率的价值评估意义
幸运的是，当增长率为负时，仍然可以使用折现方法评估股票或资产价值，并且还可以使用Gordon 模型。

然而，可以想象，如果使用负的而不是正的增长率，评估出来的价值会大大低于原来的结果。

本部分中将根据“典型股票”的情况，运用Gordon 模型，演示用负增长率代替正增长率对价值评估结果的巨大影响。

根据标准普尔500指数的逐年数据，④从1960年到2007年，S&P 500的复合年增长率（资本收益）是7.12%，年平均红利收益是3.26%，平均年总收益是10.38%。

为简化数据，假设典型股票的要求收益率（贴现率）为10%，当前红利（0年）是1元，红利永续增长率为7%。

根据Gordon 模型，该股票的价值为：
P =
D 0(1+g )k-g =1×(1+7%)
10%-7%
=35.67这是根据目前应用Gordon 模型的惯例即用“正增长率”进行的价值评估。

现在我们来考虑公司的的期望寿命。

根据表2，所有等级公司的简单平均的期望寿命是126.58年，因此我们可以预期典型的公司在第126.58年破产。

按照表4的计算，D 的增长率（目前D=1）将是-15.1%。

将这一增长率代入Gordon 模型，股票价值为：
P =
D 0(1+g )k-g =1×(1-15.1%)
10%+15.1%
=3.38显然，股票价值35.67和3.38之间的差别太大，在目前的金融理论中难以找到恰当的解释。

然而，最重要和最迫切的，也许不是如何解释或掩盖这个巨大的差异，而是回答哪个结果是正确的，或者哪个结果更为正确一点。

不幸的是，回答这个问题相当困难。

一方面，“3.38元”的价值评估结果为多数人所难以接受，它甚至与投资“常识”不“兼容”。

另一方面，7%是S&P500指数整体的增长率，而不是其中典型公司的增长率。

由于典型公司的寿命与整体市场的寿命不同，显然说典型公司股票的增长率也是7%就很牵强。

在S&P500按照年均7%增长的48年期间，有多少公司破产消失了，又有多少新公司加入进来？因此，以整体市场增长率代表一只典型股票的增长率是不对的。

也就是说，很难认为上述35.67的评估结果是正确的。

目前，许多研究都根据市场或经济总体的数据估计单只股票的数据，并应用于相应股票的价值评估。

上述评估结果的巨大差异提醒我们，整体市场的数据并不适用于单只股票；进一步，应该重新考虑整体市场研究的局限性和公司研究的重要性。

特别是当涉及股票红利、每股收益、现金流量等微观变量的增长率时，整体市场的结论不可以简单地推广到单只股票；由于在足够长的时期中，“整体”与“个体”的增长有“正”与“负”的差异，单只股票的增长率也不能根据整体市场的增长率“调整”出来。

为获得更多的直观感受，依据表4各信用等级公司的增长率，进一步评估相应各公司的股票价值。

假定目前每股红利为1元，贴现率为10%，考虑公司寿命的永续增长率是各种具体的负百分比而
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不是正的7%，这种情况下股票价值的评估结果及其与目前流行价值评估结果（35.67元）的差异如表5所示。

表5考虑公司寿命的股票价值评估结果
信用等级Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C 期望寿命（年）196.00194.07187.10158.6984.6642.6122.95增长率g（%）-10.0-10.1-10.7-12.2-35.7-38.7-59.7价值评估（元） 4.49 4.47 4.37 3.95 2.47 1.270.58传统评估（元）35.6735.6735.6735.6735.6735.6735.67绝对差异（元）31.1831.231.331.7233.234.435.09相对差异（%）87.4187.4787.7588.9393.0896.4498.37
正增长率（g=7%）导致股票价值的明显高估。

根据表5，多数公司股票价值被高估90%左右。

这意味着考虑公司期望寿命的价值评估与现有价值评估之间有不可调和的差距。

以A信用等级的公司为例，如果当前年每股红利为1元（短期内不会有大幅度的变化），在期望寿命是190年的情况下，根据表5的计算，股票价值只有大约4.4元!虽然很难想象有投资者愿意相信或接受这样的价值评估结果。

然而，除了与现有价值评估理论和智慧相背，负增长率和更低的价值评估结果在概念和逻辑上似乎是无懈可击的。

六、贴现率是否已经考虑了破产损失？
如前所述，金融理论的核心公理是期望收益和风险决定价值。

Gordon模型通过风险调整的贴现率来考虑期望风险，通过初始价值和正的永续增长率来反映期望收益，这完全符合“期望收益和风险决定价值”的原理。

那么，是否破产风险已经通过贴现率k得到考虑，从而不再需要根据破产预期调整估计的增长率呢？果真如此，则正的永续增长率就可以得到合理解释了。

遗憾的是，事实并非如此。

风险是不确定性，或者在金融和经济意义上，风险是期望收益的不确定性。

破产预期实际上有双重作用。

一是减少收益，二是增加风险。

前者包括由于破产停业引起的预期损失，由本文前面的负增长率来反映。

后者是指破产发生的不确定性，由贴现率k的增量来反映。

由于按照本文所依据的正统概念，破产将导致零股票价值，在实际破产发生之前的任何时点上，从股东角度看，期望的破产损失即是股票的当前价值。

而从公司角度看，期望破产损失会更大一些，因为破产除了使股票价值丧失殆尽，还可能造成债权人本息方面的损失。

当然，按照统计学原理，所谓期望的破产损失应该等于最终的破产损失乘以破产的概率。

然而，根据前面的分析，只要我们将考察周期延长到足够长，比如1000年或者更长，则现存公司的破产概率都将等于或接近于100%。

因此，从股票价值评估角度看，破产损失即是股权或股票的总价值。

破产风险是指破产发生的不确定性，这种不确定性当然会增加破产之前相关的收益或现金流量的不确定性。

理论上，应该根据这样的不确定性调整要求或期望收益率k。

实践中多运用资本资产定价模型（CAPM）或其变型（例如Fama/French的三因素模型[8-9]）来估计k。

在确定期望收益率或风险补偿率时，CAPM及其变型仅考虑系统风险，如由一个或若干个beta所代表的风险；而假设在合理分散投资的情况下，所有单只股票的非系统风险将互相抵消。

然而，关于破产风险是否属于系统风险，理论上还处于争论不休的状态。

[10]许多实证研究也表明，破产风险在市场上没有得到应有的高收益补偿。

所以，根据CAPM及其变型得出的k充其量考虑了破产风险，但肯定没有考虑期望破产损失。

可以肯定的是，损失或者预期损失不是风险。

从价值评估角度看，损失实际上是负的收益。

预期损失属于影响期望收益而不是风险的项目。

即使贴现率考虑了破产的不确定性或破产风险，最后的期
望破产损失还须由增长率来考虑。

因此负增长率还是不可避免的。

无论如何，如果保持永续增长率的正号，而通过增加贴现率来考虑所有风险以及期望破产损失，计算一下贴现率将增加到多高的水平将是非常有趣的。

下面根据前面的“基准案例”做这样的计算。

注意贴现率是10%，当前红利是1元，并有正的永续增长率7%。

首先，假设破产损失通过负增长率得到考虑，并且所有风险，包括破产风险，都考虑到贴现率k 中。

与前面的分析相同，由于公司的期望寿命是126.58年，评估结果为：
P =
D 0(1+g )=1×(1-15.1%)
=3.38其次，根据Gordon 模型，k=[D 0(1+g )]/p+g 。

已知当前红利及其增长率和股票的当前价值，就可以求得隐含的贴现率k 。

现在，根据股票价值3.38元和“正的永续增长率”（7%）而不是负增长率（-15.1%），可以求出考虑相关的风险也考虑破产损失的隐含贴现率k ：
k=[D 0(1+g )]/p+g=1×(1+7%)/3.38+7%=38.66%
因此，作为一家典型的公司，如果将预期破产损失考虑在内，贴现率k 应该接近38.66%。

同理，可以得出各信用等级公司的隐含贴现率k ，如表6所示。

表6
考虑破产损失的增长率g 和贴现率k
信用等级Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C 期望寿命（年）196.00194.07187.10158.6984.6642.6122.95增长率g （%）-10.0-10.1-10.7-12.2-35.7-38.7-59.7股票价值（元） 4.49 4.47 4.37 3.95 2.47 1.270.58隐含贴现率k （%）
30.8
31.0
31.5
34.1
50.3
91.4
190.4
在表6中，在所有信用等级情况下，隐含的k 都远远高于现有常规的10%左右的水平。

A 信用等级公司隐含的k 都超过30%。

B 信用等级公司隐含的k 为35%~90%；C 信用等级公司隐含的k 是190%。

而所有信用等级公司隐含的k 的简单算术平均是65.65%。

这些“超常高”的贴现率进一步证实，现实中经常采用的大约10%的贴现率并没有考虑破产损失。

既然常规的贴现率并没有考虑破产损失，正的永续增长率就仍然没有得到合理的解释。

从上面的分析可以看出，在价值评估中，破产损失的影响远大于破产风险。

如果我们在评估股票价值时忽视了破产损失，那么，在贴现率中破产风险是否得到考虑实际上已经不太重要了。

在公司财务领域，破产成本是指由于破产概率或破产风险的增加（而不是破产本身）而减少的公司价值。

破产成本的更为狭义的概念是指在破产过程中发生的相关费用，例如律师费、审计费以及与债务重组等操作有关的其他间接费用，如更高的利率、更高的保险费等。

显然，就财务健康的公司而言，与期望破产损失相比，期望破产成本要小得多。

一般而言，公司有两类风险：一是经营风险，表现为公司收益和价值随着公司内外条件的变化而波动；二是破产风险，表现为在债务到期时，如果公司价值低于其债务帐面价值（资不抵债），公司不得不终止经营。

如果公司资本结构中没有债务，它就只有经营风险，而没有破产风险和破产成本。

所以，破产成本是与举债筹资和破产风险相对应；破产损失是与总风险相对应，包括经营风险和破产风险。

可以理解，在评估股票价值时，应该考虑所有风险而不仅是破产风险，即应该考虑破产损失而不仅是相关的破产成本。

与破产成本相比，破产损失不仅价值大，而且也更为明显和简单。

然而，奇怪的是，在学术和实际领域，破产成本受到了更多的关注和研究。

迄今为止，股票价值评估基本上没有关注破产损失。

由此可以怀疑：目前的金融研究中可能有重要的盲点。

当然，破产成本在有些题目的研究中更为重要，
确实存在正的永续增长率吗？———关于财务/金融理论的基础性思考。