少年班物理讲座(3运动关系)

初中物理竞赛讲座
运动关系
题、如图所示，传送带的速度恒为0.1米/秒，转轮A 和B 的大小不计，AB=1.2米（即传送带的总长度为2.4米）。

某偷油老鼠跳到A 点，并以相对传送带0.3米/秒的速度向B 点爬去，到达B 点后立即回头仍以相对传送带0.3米/秒的速度返回A 点。

回到A 点后，该老鼠将再次向B 点爬去，到达B 点后再次返向…，如此反复下去，且老鼠相对传送带的速度始终为0.3米/秒，老鼠在A 、B 两端点速度转向所需的时间不计,从该老鼠由A 点出发时开始记时，经过多长时间，传送带上将都会被老鼠身上的油渍污染 B
A ．16秒
B ．17秒
C ．18秒
D ．19秒
相对位移（ac ab bc x x x =+）、相对速度（ac ab bc v v v =+）、相对加速度（ac ab bc a a a =+） 扩展： 题：车在地上走，人在车上走。

题：人以4m/s 向东运动，风以6m/s 向东，人感到风速如何。

题：车速度：4m/s 向东，在车上相对于车以6m/s 向西抛出一物。

则物体的实际速度是多少。

题：人以4m/s 向东运动，感到风从正南吹来。

若人以6m/s 向东，则感到风从东南吹来。

则风的速度是多少。

题、轮船以恒定的速度沿直线航行，由于风速的影响，轮船旗杆上的旗飘动的方向与轮船航行过程中所沿的直线之间有一个角度，若船速为v ，夹角为600，若船速为2v ，夹角为300，风速大小和方向不变，求风速。

v 或√7v/2
题：(2011上海初中物理知识竞赛题)小轿车匀速行驶在公路上，坐在副驾驶位置的小青观察到
轿车速度盘的指针始终在100km/h 位置处，在超越相邻车道上同向匀速行驶的另一辆普通轿车的过程中，小青发现该轿车通过自己的时间恰好为1秒，则该轿车的车速范围为 B
A ．15~20m/s
B ．20~25 m/s
C ．25~30 m/s
D ．30~35 m/s 题：纯滚动
有一半径为R 的刚性圆环竖直地在刚性水平地面上作纯滚动，圆环中心以不变的速度V 0在圆环平面内向前运动。

求圆环上与圆心等高的P 点的瞬时速度
题：（2009上海初中物理知识竞赛）如图所示，B 、C 两点相距60米，C 、A 两点相距80米，AC 与BC 相互垂直。

甲以2米/秒的速度由B 点向C 点运动，乙以4米/秒的速度同时由C 点向A 点运动。

1、经过多长时间，甲、乙之间的距离最近； 6 90/11或12
2、经过多长时间，甲、乙所处位置与C 点构成的三角形和三角形ABC 可能相似。

D C C B B A A V V V V →→→→++=D s m /5
2
题：A 点为一向四周发光的光源，CD 为墙，竖直，在AC 的中点B 有一质点做自由落体运动，求质点在墙上的影子的运动方程。

题：车厢中有一杆AB ，长为L ，可绕A 点逆时针转动，转动的角速度为ω 1、若车不动，求杆上B 点的速度
2、若车以V 的速度水平向右运动，求B 点的速度
题： 如图，某人以常速率V 拉动绳子的一端，求小船的速度。

题：杆AB 沿墙下滑，（1）分析A 、B 二点的速度关系（2）分析杆上其它点的速度（3）以B 点为参考系，A 点的速度如何。

题：直线沿垂直于直线方向、以恒定速度V 0运动，在此运动平面内与一半径为r 的固定的圆相遇。

求直线与此圆周的交点P 的速度 0
cos p v v θ
=
AB
题：如图所示，半径为R的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速度
1
υ，
2
υ反向运动，
圆柱与板之间无相对滑动，问圆心的速度大小和方向（
1
υ+
2
υ）/2 右
题：（真题）图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。

AB和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。

BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。

当AB杆绕A轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。

BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定。

求此时C点速度大小0
cos45
lω
题、如图所示，A、B、C、D三质点分别位于边长为L的正方形的四个顶点，它们同时开始以相同速率υ相互追逐，A追B、B追C、C追D、D追A，而且每一质点在运动中始终对准自己的追逐目标运动。

问
1、它们经过多长时间追到目标
2、自开始追逐到碰在一起，每个质点经历了多长路程
3、每个质点刚开始追逐时的加速度大小 L/v L V2/L
B
A D
C
题、如图所示，A、B、C三质点分别位于长边为l的正三角形的三个顶点，它们同时开始以相同速率υ相互追逐，A追B、B追C、C追A，而且每一质点在运动中始终对准自己的追逐目标运动。

问
（1）它们经过多长时间追到目标。

（2）自开始追逐到碰在一起，每个质点经历了多长路程。

2
3
AO l
t
υ
===
2
3
s t l
υ
==
题、（2016上海物理竞赛）在同一平面上的AC、BD两杆，分别以相同的转动周期绕A、B两轴顺时针匀速转动，当两杆转动到如图所示的位置时，∠CAB=∠DBA=60°，此时两杆交点M的速度为v1.。

若BD杆变为逆时针匀速转动，不改变两杆的转动周期，当两杆恰好也转动到如图所示的位置时，两杆交点M的速度为v2.。

则关于v1和v2关系的判断正确的是D
A．大小相等，方向不同 B．大小不等，方向相同
C．大小、方向都相同 D．大小、方向都不同
边界线问题（羊吃草问题）
题：如图所示，河岸上A处有人发现河中有一落水小孩紧抱树桩B呼救。

B离岸最短距离,
BD h AD L
==。

岸上人欲以最短时间内到达树桩营救小孩，此人应在河岸何处跳下水游泳去拯救。

设此人沿河岸奔跑的速率为υ，在水中的游泳速率为u，uυ
<，水没有流动。

解1：函数求极值
设岸上人自A点沿河岸以速率υ向右奔跑，至C点跳入水中，以速率u游向B，如图中所示。

再设CD x
=，则此人抵达B所经历的时间t
为
L x
t
u
υ
-
=+。

变形得ux
x
h
v
ul
uvt-
+
=
-2
2
令，ux
x
h
v
y-
+
=2
2
有，0)(2)(2
22222=-+--h v y yux x v u 这是一个关于x 的二次方程，其判别式 0))((442222222≥---=∆h v y v u u y 解得 22u v h y -≤
由上可知，最短时间为)(12
2u
u v l v t -+=
人下水点和A 点的距离l-x=
解2：等效运动
设图中的角度为θ，有，2
2tan u v u
-=
θ，v
u
=
θsin 由图可知，人以v 的速度运动AC 段和以u 的速度运动EC 段所用的时间是一样的。

如果ECB 在一条直线上时，人从A 到C 再到B 所用的时间最短。

人下水点和A 点的距离2
2
tan u
v uh l h l L AC --
=-=θ
最短时间为)(1cos /sin 2
2u
u v l v u h L u L t AC BCE -+=+==θθ
解3：边界线（包络线）
设岸上人自A 点出发，在某一时间t ∆内，取各种合理的运动路径向前运动，来确定其能够到
达的接近B 点的区域边界。

选取三条路径向前运动，如图所示，
（1）直接在A 点下水，然后以速率u 游泳，经过t ∆时间，此人可能达到的区域的边界以A 为圆心，u t ∆为半径的半圆。

（2）从A 点出发在岸上以速率υ向右运动，经过t ∆时间，达岸上A 1点，（立即跳下水），
1AA t υ=∆;
（3）从A 点出发在岸上以速率υ向右运动，经
1
2
t ∆时间达岸上A 2点，然后跳下水，在水中以速率u 游泳，经余下的1
2
t ∆时间，此人可能达到的区域的边界为以A 2为圆心，12u t ∆为半径的
半圆。

还可以选取岸边上不同的点，从A 跑至这些点再跳下水游泳，游泳可能抵达的边界必为半圆。

水中圆半径的大小随落水点离A 的距离增大而减小，而且是线性地按比例减小。

因此，这许许多
多圆的包络线（即边界线）是一条直线，这条直线以A 1起点，并和各圆相切。

岸上人在t ∆时间内不可能越过此线。

经以上分析，在实际作图时，只要取两种极端的路径，即上面给出的第（1）、（2）两种前进路线，然后从（2）中得到的A 1点作（1）中得到的半圆的切线（设切点为E ）便可。

由于AE u t =∆，1AA t υ=∆，1a AA E =∠，在u 、υ为常量的情况下，a 是确定的：
sin u
a υ
=。

由于刚才分析时所取的t ∆有任意性，所以可以断定，随着t ∆的增大，其边界1A E 将平行地向前推进。

设边界向前推进到达B 点时，对应的时间段为t '∆。

可以这样来寻找岸上下水点：过B 点作界面的垂线，与岸的交点为C ，C 点即为所求的点。

进一步可以把AC 的长度求出来。

利用图b 的几何关系，得
sin sin cos h AC AD CD l BC a
l a a
=-=
-=-l l =-=
还可以求出所经历的时间t '∆ 1AC BC t l u υυ⎛'∆=+=+ ⎝
⎭
解4：函数求导
设岸上人自A 点沿河岸以速率υ向右奔跑，至C 点跳入水中，以速率
u 游向B ，如图中所示。

再设CD x =，则此人抵达B 所经历的时间t 为L x
t υ
-=。

上式，t 对x 求导，得，2
21'x h u x v dx dt t ++-==
函数的导数为0时，函数有极值。

由01'22=++-=x h u x v t ，得，2
2u v uh
x -=
人下水点和A 点的距离2
2u v uh
l x l L AC --=-=
最短时间为)(1cos /sin 2
2u
u v l v u h L u L t AC BCE -+=+==θθ。