2015-2016学年上海市黄浦区格致中学高一(上)数学期末试卷 及解析

2015-2016学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本题共12题，每题3分，满分36分）：
1．（3.00分）设集合A={x|x2﹣x=0}，B={x|y=lgx}，则A∩B=．2．（3.00分）若，，则f（x）•g（x）=．3．（3.00分）顶点哎坐标原点，始边为x轴正半轴的角α的终边与单位圆（圆心为原点，半径为1的圆）的交点坐标为，则cscα=．
4．（3.00分）函数f（x）=a1﹣x+5（a＞0且a≠1）的图象必过定点．5．（3.00分）已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（3）=．6．（3.00分）若f（x）=（x﹣1）2（x≤1），则其反函数f﹣1（x）=．7．（3.00分）圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为．8．（3.00分）若log a3b=﹣1，则a+b的最小值为．
9．（3.00分）定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=2﹣x+x，则g（2）=．
10．（3.00分）若cot（﹣θ）=，则=．11．（3.00分）已知，若不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）
在[a﹣1，a]上恒成立，则实数a的取值范围是．
12．（3.00分）已知奇函数f（x）满足：（1）定义域为R；（2）f（x）＞﹣2；（3）在（0，+∞）上单调递减；（4）对于任意的d∈（﹣2，0），总存在x0，使f（x0）＜d．请写出一个这样的函数解析式：．
二、选择题（本题共4小题，每题4分，满分16分）：
13．（4.00分）不等式ax＞b，（b≠0）的解集不可能是（）
A．∅B．R C．D．
14．（4.00分）已知角α、β顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴．甲：“角α、β
的终边关于y轴对称”；乙：“sin（α+β）=0”．则条件甲是条件乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
15．（4.00分）已知函数f（x）=ax2+2ax+4（﹣3＜a＜0），其图象上两点的横坐标为x1、x&2满足x1＜x2，且x1+x2=1+a，则由（）
A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）=f（x2）
C．f（x1）＞f（x2）D．f（x1）、f（x&2）的大小不确定
16．（4.00分）已知f（x）、g（x）、h（x）均为一次函数，若对实数x满足：|f （x）|+|g（x）|+h（x）=，则h（x）的解析式为（）A．2x+6 B．6x﹣2 C．3x﹣1 D．x+3
三、解答题（见答题卷）（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并请在规定处答题，否则不得分．
17．（10.00分）已知，且，．求（1）的值；
（2）的值．
18．（10.00分）已知集合，集合B={x|x﹣a|≤1，x∈R}．（1）求集合A；
（2）若B∩∁R A=B，求实数a的取值范围．
19．（12.00分）已知函数．
（1）求此函数的定义域D，并判断其奇偶性；
（2）是否存在实数a，使f（x）在x∈（1，a）时的值域为（﹣∞，﹣1）？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
20．（16.00分）定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n ﹣m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式ax2+12x﹣3＞0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值；
（2）求关于x的不等式x2﹣3x+（sinθ+cosθ）＜0（θ∈R）的解集构成的区间的长度的取值范围；
（3）已知关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为5，求实数t的取值范围．
2015-2016学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本题共12题，每题3分，满分36分）：
1．（3.00分）设集合A={x|x2﹣x=0}，B={x|y=lgx}，则A∩B={1} ．
【解答】解：∵A={x|x2﹣x=0}={0，1}，
B={x|y=lgx}={x|x＞0}，
∴A∩B={1}．
故答案为：{1}．
2．（3.00分）若，，则f（x）•g（x）=（x＞0）．．【解答】解：由题意f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥0}，g（x）的定义域为{x|x＞0}，
∴f（x）g（x）的定义域为{x|x＞0}，
f（x）g（x）=，
故答案为（x＞0）．
3．（3.00分）顶点哎坐标原点，始边为x轴正半轴的角α的终边与单位圆（圆心为原点，半径为1的圆）的交点坐标为，则cscα=．
【解答】解：由题意，cscα==，
故答案为．
4．（3.00分）函数f（x）=a1﹣x+5（a＞0且a≠1）的图象必过定点（1，6）．【解答】解：由1﹣x=0，得x=1．
此时f（x）=6．
∴函数f（x）=a1﹣x+5（a＞0且a≠1）的图象必过定点（1，6）．
故答案为：（1，6）．
5．（3.00分）已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（3）=．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，把点（，8）代入可得8=，
解得α=﹣3，
∴f（x）=x﹣3；
∴f（3）=3﹣3=．
故答案为：．
6．（3.00分）若f（x）=（x﹣1）2（x≤1），则其反函数f﹣1（x）=1﹣（x≥0）．
【解答】解：由y=（x﹣1）2，得x=1±，
∵x≤1，∴x=1﹣．
由y=（x﹣1）2（x≤1），得y≥0．
∴f﹣1（x）=1﹣（x≥0）．
故答案为：1﹣（x≥0）．
7．（3.00分）圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为．【解答】解：设该扇形的半径为r，
根据题意，有l=αr+2r，
∴3=2r+2r，
∴r=，
=αr2=×2×=．
∴S
扇形
故答案为：．
8．（3.00分）若log a3b=﹣1，则a+b的最小值为．
【解答】解：∵log a3b=﹣1，∴a﹣1=3b，解得ab=．a，b＞0．
则a+b≥2=，当且仅当a=b=时取等号，其最小值为．
故答案为：．
9．（3.00分）定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=2﹣x+x，则g（2）=．
【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=2﹣x+x，
∴f（2）+g（2）=2﹣2+2，①
f（﹣2）+g（﹣2）=22﹣2=2，
即f（2）﹣g（2）=2，②
①﹣②得2g（2）=2﹣2=，
则g（2）=，
故答案为：．
10．（3.00分）若cot（﹣θ）=，则=．【解答】解：若=tanθ，
则=====，故答案为：．
11．（3.00分）已知，若不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）
在[a﹣1，a]上恒成立，则实数a的取值范围是（2，+∞）．
【解答】解：画出f（x）的图象，如图所示，
由图象可知函数f（x）在R上为增函数，
∵不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a﹣1，a]上恒成立，
∴x+a＞2a﹣x在[a﹣1，a]上恒成立；
即2x＞a在[a﹣1，a]上恒成立，
故2（a﹣1）＞a，
解得，a＞2，
故答案为：（2，+∞）
12．（3.00分）已知奇函数f（x）满足：（1）定义域为R；（2）f（x）＞﹣2；（3）在（0，+∞）上单调递减；（4）对于任意的d∈（﹣2，0），总存在x0，使f（x0）＜d．请写出一个这样的函数解析式：f（x）=﹣2（）．
【解答】解：函数f（x）=﹣2（）的定义域为R；
函数f（x）在R上为减函数，故在（0，+∞）上单调递减；
当x→+∞时，f（x）→﹣2，故f（x）＞﹣2；
函数的值域为：（﹣2，2），故对于任意的d∈（﹣2，0），总存在x0，使f（x0）＜d．
故满足条件的函数可以是f（x）=﹣2（），
故答案为：f（x）=﹣2（），答案不唯一
二、选择题（本题共4小题，每题4分，满分16分）：
13．（4.00分）不等式ax＞b，（b≠0）的解集不可能是（）
A．∅B．R C．D．
【解答】解：当a=0，b＞0时，不等式ax＞b，（b≠0）的解集是∅；
当a=0，b＜0时，不等式ax＞b，（b≠0）的解集是R；
当a＞0时，不等式ax＞b，（b≠0）的解集是（）；
当a＜0时，不等式ax＞b，（b≠0）的解集是（﹣∞，）．
∴不等式ax＞b，（b≠0）的解集不可能是（﹣∞，﹣）．
故选：D．
14．（4.00分）已知角α、β顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴．甲：“角α、β的终边关于y轴对称”；乙：“sin（α+β）=0”．则条件甲是条件乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若角α、β的终边关于y轴对称，则β=π﹣α+2kπ，
则α+β=π+2kπ，则sin（α+β）=sin（π+2kπ）=sinπ=0，
若sin（α+β）=0，则α+β=kπ，则角α、β的终边关于y轴不一定对称，
故条件甲是条件乙的充分不必要条件，
故选：A．
15．（4.00分）已知函数f（x）=ax2+2ax+4（﹣3＜a＜0），其图象上两点的横坐标为x1、x&2满足x1＜x2，且x1+x2=1+a，则由（）
A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）=f（x2）
C．f（x1）＞f（x2）D．f（x1）、f（x&2）的大小不确定
【解答】解：∵函数f（x）=ax2+2ax+4，
∴f（x1）﹣f（x2）=ax12+2ax1+4﹣（ax22+2ax2+4）
=a（x12﹣x22）+2a（x1﹣x2）
=a（x1﹣x2）（x1+x2+2）
∵x1+x2=1+a，
∴f（x1）﹣f（x2）=a（3+a）（x1﹣x2），
∵﹣3＜a＜0，x1＜x2，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
故选：C．
16．（4.00分）已知f（x）、g（x）、h（x）均为一次函数，若对实数x满足：|f （x）|+|g（x）|+h（x）=，则h（x）的解析式为（）
A．2x+6 B．6x﹣2 C．3x﹣1 D．x+3
【解答】解：由题意得，、2是函数f（x）的分界点，
∴h（x）==x+3，
故选：D．
三、解答题（见答题卷）（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并请在规定处答题，否则不得分．
17．（10.00分）已知，且，．求（1）的值；
（2）的值．
【解答】解：（1）∵，且，
∴α﹣为锐角，故sin（α﹣）==，∴=．（2）∵，∴﹣β为锐角，∴cos（﹣β）==，∴=cos[（α﹣）﹣（﹣β）]
=cos（α﹣）cos（﹣β）+sin（α﹣）sin（﹣β）=•+•=．
18．（10.00分）已知集合，集合B={x|x﹣a|≤1，x∈R}．（1）求集合A；
（2）若B∩∁R A=B，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由A中不等式变形得：﹣1≤0，即≤0，
解得：﹣1＜x≤3，即A={x|﹣1＜x≤3}；
（2）由B中不等式变形得：﹣1≤x﹣a≤1，
解得：a﹣1≤x≤a+1，即B={x|a﹣1≤x≤a+1}，
∵B∩∁R A=B，∁R A={x|x≤﹣1或x＞3}，
∴B⊆∁R A，即a+1≤﹣1或a﹣1＞3，
解得：a≤﹣2或a＞4．
19．（12.00分）已知函数．
（1）求此函数的定义域D，并判断其奇偶性；
（2）是否存在实数a，使f（x）在x∈（1，a）时的值域为（﹣∞，﹣1）？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由＞0，可得x＜﹣1或x＞1，∴D={x|x＜﹣1或x＞1}；f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数；
（2）由题意，函数单调递增，f（a）=﹣1，即=，∵a＞1，∴．
20．（16.00分）定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n ﹣m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式ax2+12x﹣3＞0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值；
（2）求关于x的不等式x2﹣3x+（sinθ+cosθ）＜0（θ∈R）的解集构成的区间的长度的取值范围；
（3）已知关于x的不等式组的解集构成的各区间长度
和为5，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）当a=0时，不等式ax2+12x﹣3＞0的解为x＞，不成立；
当a≠0时，方程ax2+12x﹣3=0的两根设为x1、x2，则，，由题意知（2）2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=+，
解得a=﹣3或a=4（舍），
所以a=﹣3．
（2）∵x2﹣3x+（sinθ+cosθ）＜0，
∴＜0，
∵∈（﹣，），
∴当=﹣时，x2﹣3x﹣＜0的解集为（1﹣，2+），
当=时，x2﹣3x+＜0的解集为（2﹣，1+），
∴关于x的不等式x2﹣3x+（sinθ+cosθ）＜0（θ∈R）的解集构成的区间的长度的取值范围是（1，2﹣1）．
（3）先解不等式＞1，整理，得，解得﹣2＜x＜5．
∴不等式＞1的解集为A=（﹣2，5），
设不等式log2x+log2（tx+3t）＜3的解集为B，不等式组的解集为A∩B，
∵关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为5，且A∩B⊂（﹣2，5），
不等式log2x+log2（tx+3t）＜3等价于，
当x∈（0，5）时，恒成立
当x∈（0，5）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0，
当x∈（0，5）时，不等式tx2+3tx﹣8＜0恒成立，即t＜恒成立，
当x∈（0，5）时，的取值范围为（），
∴实数t≤，
综上所述，t的取值范围为（0，）．。