2022-2023学年安徽省合肥市新站区八年级(下)期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年合肥市新站区八年级（下）期末数学试卷
第I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列式子中，一定是二次根式的是( )
A. ―2023
B. 8
C. 32
D. a
2. 若关于x 的方程(m ―2)x m 2―2+x +1=0是一元二次方程，则m 的值是( )
A. m =3
B. m =2
C. m =―2
D. m =±2
3. 如图，在四边形ABCD 中，AB =1，BC =4，CD =6，∠A =90°，∠B =∠C =120°，则AD 的长度为
( )
A. 5 3
B. 6 3
C. 7 3
D. 2 3+3
4.
如图，正方形ABCD 的边长为2，延长CB 至点E ，BE =1，连接DE 交AB 于点
G ，连接AE ，并取AE 的中点F ，连接FG 并延长交BC 于点H ，则FH =( )A. 23 B. 13
2 C. 13
3 D. 13
4
5. 劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数x (单位
：次)，按劳动次数分为4组：0≤x <3，3≤x <6，6≤x <9，9≤x <12，绘制成如图所示的频数分布直方图.从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是( )
A. 0.6
B. 0.5
C. 0.4
D. 0.32
6.
如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=8，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则
DE的长是( )
A. 4
B. 3
C. 3.5
D. 2
7. 某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价30%，销量不佳；第二次又降价10%，销售大增，很快就清理了库存.设两次降价的平均降价率为x，下面所列方程正确的是( )
A. 300+10%
=x B. (1―30%) (1―10%)=(1―2x)
2
C. (1―30%)(1―10%)=2(1―x)
D. (1―30%)(1―10%)=(1―x)2
8. 在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交直线CD于点F，若CF =1，FD=2，则BC的长为( )
A. 26
B. 3
C. 26或22
D. 22成3
9. 如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，连结DF，那么∠EDF的正切值是( )
A. 2
B. 1
2
C. 3
D. 1
3
10. 已知x1，x2是一元二次方程x2―8x+3=0的两个根，则x1x2+x2+x2的值是( )
A. ―1
B. 11
C. 1
D. ―11
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 若代数式x+1
有意义，则任写一个符合条件的x值______ ．
x
12. 如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=．
13. 杨辉在《田亩比类乘除捷法》记载以下问题：
题：直填积八百六十四步，只云阔不及长十二步，同长阔共几何？
答：六十岁．
术：四因积步，以差步自乘，并而开平方除之，得长调共步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下：
问题：已知长方形的面积为864，长宽之差为12，则长宽之和为多少？
答案：60．
解法：如图，4×864+122=60．
设一个矩形的边长分别是a，b(a>b)，请用一个等式解释上述解法的数学原理：______ (用含a，b的式子表示)
14. 如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处.若EC=2，BE=8，则CF的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6分)
|―(―2)0．
计算：(2―3)2022×(2+3)2023―2|―3
2
16. (本小题10分)
用公式法解方程：x2―6x=―1．
17. (本小题10分)
已知：方程(m―2)x|m|―x+n=0是关于x的一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)若该方程无实数根，求n的取值范围．
18. (本小题12分)
已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BM⊥AB
(1)尺规作图：求作AB的中点O，连CO并延长，交BM于点D.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求∠BDC的余弦值．
条件①：△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1：S2=3：5；
条件②：△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1―C2=AC．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
19. (本小题12分)
在△ABC中，边AB，BC，AC的长分别为/5，1013，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，采用在边长为1的正方形网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示，这样不需求△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．
(1)请你根据图①求出△ABC的面积．
(2)若△DEF三边的长分别为5，22，17，请在图②的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构
图法求出它的面积．
20. (本小题12分)
如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE//BD，DE//AC.求证：四边形AODE是矩形．
21. (本小题14分)
某文具店自疫情以来网络销量不断增大，为了节省快递费用，与快递公司协商后
达成协议，协议部分内容如下：
①同城快递发货费用每件价格固定，但低于外市快递每件发货价格．
②外市快递每日发货不超过30件时，发货价格按每件8元计算，超过30件时超过的部分每件发货价格
有一定的优惠．
(注：文具店单件货品不超过标准重量，外市快递不包含偏远地区)
文具店每日同城快递和外市快递各自发货所花金额y(元)与各自发货件数x(件)之间的函数关系如图所示：
(1)求同城快递每件发货价格．
(2)求外市快递发货费用y与外市发货件数x的函数关系式．
(3)文具店某日发货50件(同城和外市均有销量)，共花费304元，求这一天文具店同城快递发货件数．
22. (本小题14分)
已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，点D是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，点E在直线BC上，连接AD，AE，且∠DAE=45°．
(1)若点E是线段BC上一点，如图1，作点D关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，EF.则BD与CF的数量关系为______ ；位置关系为______ ；
(2)若点E是线段CB延长线上一点，如图2，作点D关于直线AE的对称点F，连接AF，BF，EF.求证：BE ²+CD²=DE²；
(3)如图3，若BD=8
，AB=2，求CE的长．
5
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：―2023不符合二次根式定义，
则A不符合题意；
8=22，符合二次根式的定义，
则B符合题意；
32不符合二次根式定义，
则C不符合题意；
当a<0时，a不符合二次根式定义，
则D不符合题意；
故选：B．
形如a(a≥0)的式子即为二次根式，据此进行判断即可．
本题考查二次根式的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】C
【解析】解：∵关于x的方程(m―2)x m2―2+x+1=0是一元二次方程，
∴m―2≠0且m2―2=2，
解得：m=―2，
故选：C．
根据一元二次方程的定义得出m―2≠0且m2―2=2，再求出m即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m―2≠0和m2―2=2是解此题的关键．3.【答案】A
【解析】解：延长AB，DC交于E，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠EBC=∠ECB=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=CE=BC=4，∠E=60°，
∴AE =5，DE =10，
∴AD = AE 2―AD 2=5 3，
故选：A ．
延长AB ，DC 交于E ，根据邻补角的定义得到∠EBC =∠ECB =60°，求得△BCE 是等边三角形，推出BE =CE =BC =4，∠E =60°，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，等边三角形 的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：延长DA 、HF 相交于点M ，如图：
∵F 是中点，
∴AF =EF ，
又∵∠MAF =∠HEF ，∠AFM =∠HFE ，
∴△AFM≌△EFH (ASA )，
∴AM =EH ，
∵AD //EC ，
∴△AGD∽△BGE ，△DMG∽△EHG ，∴
GD GE =AD BE ，DM EH =GD GE ，∴DM EH =AD BE =21
=2，∴DM =2EH ，
又∵DM =AM +AD =EH +AD =2EH ，AD =2，
∴EH =2，
过F 作FN ⊥BE 于点N ，
∵F 是中点，
∴FN =12AB =1，EN =12EB =12
，
∴NH =32，
在Rt△FNH中，
FH2=FN2+NH2，
∴FH=13
2
故选：B．
先作辅助线构造全等三角形，然后利用△AGD∽△BGE，从而求出EH的长，再过F作EC的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可求解．
本题考查正方形的性质、全等三角形、相似三角形的性质，解答过程中作辅助线是解题的关键．
5.【答案】A
=0.6，
【解析】解：10+20
10+20+14+6
故选：A．
根据条形统计图，求出周家庭劳动次数不足6次的学生数占总人数的几分之几即可．
本题考查频数分布直方图，概率的定义，理解概率的定义是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴ED=AD―AE=AD―AB=8―5=3．
故选：B．
根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，根据ED=AD―AE=AD―AB即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出∠ABE=∠AEB，判断三角形ABE中，AB=AE，难度一般．
7.【答案】D
【解析】解：设该商品的原价为a元，则经过两次降价后的价格为(1―30%)(1―10%)a元，
根据题意得：(1―x)2a=(1―30%)(1―10%)a，
即(1―30%)(1―10%)=(1―x)2．
故选：D．
设该商品的原价为a元，则经过两次降价后的价格为(1―30%)(1―10%)a元，利用经过两次降价后的价格=原价×(1―两次降价的平均降价率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：连接EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，AB=DC，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
由折叠得GE=AE，GB=AB，∠BGE=∠A=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，GE=DE，GB=DC，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
{EF=EF
EG=ED，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL)，
∴FG=FD=2，
当点F线段DC上，如图1
∵CF=1，
∴GB=DC=FD+CF=2+1=3，
∴BF=GB+FG=3+2=5，
∴BC=BF2―CF2=52―12=26；
当点F在线段DC的延长线上，如图2，
∵DC=FD―CF=2―1=1，
∴GB=DC=1，
∴BF =GB +FG =1+2=3，
∴BC = BF 2―CF 2= 32―12=2 2，
综上所述，BC 的长为2 6或2 2，
故选：C ．
连接EF ，由矩形的性质得∠A =∠D =∠C =90°，AB =DC ，由E 是AD 的中点，得AE =DE ，由折叠得GE =AE ，GB =AB ，∠BGE =∠A =90°，则∠EGF =∠D =90°，GE =DE ，GB =DC ，可证明Rt △EGF≌Rt △EDF ，得FG =FD =2，再分两种情况讨论，一是点F 线段DC 上，因为CF =1，所以GB =DC =FD +CF =3，则BF =GB +FG =5，由勾股定理得BC = BF 2―CF 2=2 6；二是点F 在线段DC 的延长线上，则GB =DC =FD ―CF =1，所以BF =GB +FG =3，由勾股定理得BC = BF 2―CF 2=2 2，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由折叠可得AE =EF ，∠AEB =∠FEB =12
∠AEF ，
∵正方形ABCD 中，E 是边AD 的中点，
∴AE =DE =12AD =12AB ，
∴DE =EF ，
∴∠EDF =∠EFD ，
∵∠AEF 是△DEF 的外角，
∴∠AEF =∠EDF +∠EFD ，
∴∠EDF =12∠AEF ，
∴∠AEB =∠EDF ，
∴tan ∠EDF =tan ∠AEB =
AB AE =2．故选：A ．
由折叠可得AE =EF ，∠AEB =∠FEB ，再根据三角形的外角性质及折叠的性质得到∠AEB =∠FEB ，进而可得tan ∠EDF =tan ∠AEB =AB AE ，求解即可．本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质及正方形的性质，解题的关键是掌握三角形的外角性质及折叠
的性质．
10.【答案】B
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2―8x+3=0的两个根，
∴x1+x2=8，x1x2=3，
∴x1x2+x2+x2=3+8=11．
故选：B．
根据根与系数的关系可得出x1+x2=8，x1x2=3，将其代入x1x2+x2+x2中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于―b
a 、两根之积等于c
a
是解题的关键．
11.【答案】2(答案不唯一)
【解析】解：要使代数式x+1
x
有意义，必须x+1≥0且x≠0，
解得：x≥―1且x≠0，
符合条件的x值为2．
故答案为：2(答案不唯一)．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x+1≥0且x≠0，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能熟记二次根式有意义的条件是解此题的关键，注意：a中a≥0．
12.【答案】360°
【解析】解：由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
故答案为：360°．
根据多边形的外角和等于360°解答即可．
本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
13.【答案】4ab+(a―b)2=a+b
【解析】解：4ab+(a―b)2=4ab+a2―2ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2=a+b，
即4ab+(a―b)2=a+b．
故答案为：4ab+(a―b)2=a+b．
根据题意列算式，化简即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的应用，二次根式的乘除，正确地理解题意是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．
∴BE=CF=8，
故答案为：8．
利用平移的性质得到BE=CF即可得到结论．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
15.【答案】解：(2―3)2022×(2+3)2023―2|―3
|―(―2)0
2
―1
=[(2―3)(2―3)]2022×(2+3)―2×3
2
―1
=(4―3)2022××(2+3)―2×3
2
=12022×(2+3)―2×3
―1
2
―1
=1×(2+3)―2×3
2
=2+3―3―1
=1．
【解析】根据(ab)n=a n b n，a0=1(a≠0)，二次根式的运算，即可求解．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式，(ab)n=a n b n，a0=1(a≠0)，二次根式的运算法则．
16.【答案】解：x2―6x=―1.变形得：x2―6x+1=0．
Δ=36―4=32>0，
x=6±42
=3±22，
2
∴x1=3+22，x2=3―22．
【解析】根据公式法解方程即可．
本题考查了公式法解一元二次方程：先算判别式断定根的情况，然后代入―b±b2―4ac
2a
计算．
17.【答案】解：(1)∵方程(m―2)x|m|―x+n=0是关于x的一元二次方程，
∴m―2≠0，|m|=2，
解得：m≠2，m=±2，
∴m=―2；
(2)由(1)可得方程：―4x2―x+n=0，
∵方程无实数根，
∴Δ=(―1)2―4×(―4)n<0，
解得：n<―1
16
．
【解析】(1)由一元二次方程的定义进行分析即可；
(2)利用根的判别式进行求解即可．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．18.【答案】解：(1)如图，即为所求；
(2)条件①：∵Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB中点，
∴AO=CO=BO，
∴S△AOC=S△BOC，
∵△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1：S2=3：5，
∴S△BOC：S2=3：5
∴OC OD =OB
OD
=3
5
，
设OB=3a，OD=5a，
∵BM⊥AB，
∴在Rt△BOD中，BD=OD2―OB2=4a，
∴cos∠BDC=BD
OD =4
5
；
条件②：∵Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB中点，
∴AO=CO=BO，
∴∠OCB=∠OBC，
∵△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1―C2=AC，
∴OC+OB+BC―(OC+OA+AC)=AC，即BC=2AC，设AC=m，则BC=2m,AB=AC2+BC2=5m，
∴AO=CO=BO=5
2
m，
过点D作DE⊥CB于点E，
则∠BDE+∠DBE=90°，
∵BM⊥AB，
∵∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠ABC=∠BDE，
∵∠E=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△BED，
∴BE DE =AC
BC
=1
2
，
设BE=x，则DE=2x，
∵∠ABC=∠DCE，∠E=∠ACB=90°，∴△ACB∽△DEC
∴DE CE =AC
BC
=1
2
，
∴2x 2m+x =1
2
，
解得x =23m ，
∴BE =23m ,DE =43
m ，
∴BD = BE 2+DE 2=2 53m ，∴OD = OB 2+BD 2=5 56
m ，∴cos ∠BDC =BD OD =2 53m 5 56
m =45． 【解析】(1)根据线段垂直平分线的画法及线段的画法解答；
(2)条件①：根据直角三角形斜边中线的性质得到AO =CO =BO ，推出S △BOC ：S 2=3：5，即OC OD =OB OD =35，设OB =3a ，OD =5a ，勾股定理求出BD ，根据余弦定义求值；条件②：根据C 1―C 2=AC ，推出BC =2AC ，设AC =m ，勾股定理求出AB ，过点D 作DE ⊥CB 于点E ，证明△ACB∽△BED ，得到BE DE =AC BC =12，设BE =x ，则DE =2x ，证得△ACB∽△DEC ，得到DE CE =AC BC =12，列得2x 2m +x =12，求出x =23
m ，勾股定理求出BD ，OD 即可．
此题考查了线段垂直平分线的作图，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19.【答案】解：(1)如图①，S △ABC =3×3―12×1×3―12×1×2―12×3×2=7
2；
(2)△DEF 如图②所示，
S △DEF =2×4―12×1×2―12×2×2―12×1×4=3．
【解析】(1)根据正方形的面积公式、三角形的面积公式计
算；
(2)根据勾股定理画出△DEF ，根据正方形的面积公式、三
角形的面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理、三角形和正方形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．20.【答案】证明：∵AE //BD ，DE //AC ，
∴四边形AODE 是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴平行四边形AODE是矩形．
【解析】先证四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠AOD=90°，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵同城快递发货费用每件价格固定，当发货30件时费用为150元，
∴同城快递每件发货价格为150
30
=5(元)．
(2)当0≤x≤30时，y=8x，
∴当x=30时，y=240．
设当x>30时，y=kx+b．
将坐标(30,240)和(60,420)代入y=kx+b，得{240=30k+b
420=60k+b，解得{k=6 b=60，
∴y=6x+60．
综上，y={8x(0≤x≤30)
6x+60(x>30)．
(3)设同城快递发货m件，那么外市快递发货则为50―m件．
①若0≤50―m≤30，即20≤m≤50，则有5m+8(50―m)=304，解得m=32．
②若50―m>30，即0≤m<20，则有5m+6(50―m)+60=304，解得m=―4(舍去)．
∴这一天文具店同城快递发货32件．
【解析】(1)同城快递发货费用每件价格固定，当发货30件时费用为150元，由此可求得价格；
(2)分段函数：分别求出当0≤x≤30和x>30时的y与x的函数关系式；
(3)设同城快递发货m件，那么外市快递发货则为50―m件．对于外市价格部分，要分段讨论计算，取符合要求的数值．
本题考查二次函数的应用，难度不大，但计算过程要认真、细心，防止出错．
22.【答案】CF=BD CF⊥BD
【解析】(1)解：∵∠DAE=45°，D，F关于直线AE对称，
∴∠FAE=∠DAE=45°，AF=AD，
∴∠DAF=90°=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAF，
∵AC=AB，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴BD⊥CF；
故答案为：CF=BD，CF⊥BD；
(2)证明：如图2：
∵∠DAE=45°，D，F关于直线AE对称，
∴∠FAE=∠DAE=45°，AF=AD，EF=DE，∴∠DAF=90°=∠BAC，
∴∠DAC=∠FAB，
∵AC=AB，
∴△ACD≌△ABF(SAS)，
∴CD=BF，∠ABF=∠C，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABF=45°，
∴∠CBF=∠ABC+∠ABF=90°=∠EBF，
∴BE2+BF2=EF2，
∴BE2+CD2=DE2；
(3)解：作D 关于AE 的对称点F ，连接AF ，EF ，BF ，
当E 在D 左侧时，如图3：
∵AB =AC = 2，∠BAC =90°，
∴BC =2，
∵BD =85，
∴CD =BC ―BD =25，
∵∠DAE =45°，D ，F 关于直线AE 对称，
∴∠FAE =∠DAE =45°，AF =AD ，DE =EF ，
∴∠DAF =90°=∠BAC ，
∴∠BAF =∠DAC ，
∵AC =AB ，
∴△ACD≌△ABF (SAS )，
∴CD =BF =25，∠ABF =∠B ，
∵∠BAC =90°，AB =AC ，
∴∠B =∠ACB =45°，
∴∠ABF =45°，
∴∠CBF =∠ABC +∠ABF =90°，
∴BF 2+BE 2=EF 2，
设DE =EF =m ，则BE =BD ―DE =85―m ，
∴(25)2+(85―m )2=m 2，
解得m =
1720，∴CE =1720+25=54
；当E 在D 的右侧时，如图4：
同理可得△ABD≌△ACF (SAS )，CD =BC ―BD =25，
∴BD =CF =85，
设DE =EF =n ，则CE =DE ―CD =n ―25，
∵CF 2+CE 2=EF 2，
∴(85)2+(n ―25)2=n 2，
解得n =175
，∴CE =DE ―CD =175―25
=3；综上所述，CE 的长为54或3．
(1)由∠DAE =45°，D ，F 关于直线AE 对称，得∠FAE =∠DAE =45°，AF =AD ，可证△ACF≌△ABD (SAS )，有CF =BD ，∠ACF =∠B ，故BD ⊥CF ；
(2)证明△ACD≌△ABF (SAS )，得CD =BF ，∠ABF =∠C ，可得∠CBF =∠ABC +∠ABF =90°=∠EBF ，从而可得BE 2+CD 2=DE 2；
(3)作D 关于AE 的对称点F ，连接AF ，EF ，BF ，分两种情况：当E 在D 左侧时，证明△ACD≌△ABF (SAS )，得CD =BF =25，∠ABF =∠B ，可得∠CBF =∠ABC +∠ABF =90°，设DE =EF =m ，有(25)2+(85
―m )2=m 2，即可求出CE =1720+25=54；当E 在D 的右侧时，同理可得CE =3．本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用，等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及分类讨论思想的应用．。