中学生标准学术能力诊断性测试2023届高三下学期3月测试数学试题

一、单选题
二、多选题
1.
设是至少含有两个元素的集合.
在上定义了一个二元运算“*”
（即对任意的
,对于有序元素对
，在
中有唯一确定的元素
与之对应）．若对于任意的
,
有
，则对任意的
,下列等式中不恒成立的是（ ）
A
．B
．C
．D
．
2. 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点A ，B 在抛物线C 上，且满足AF ⊥BF ．设线段AB 的中点到准线的距离为d
，则
的最小值为（ ）
A
．B
．C
．D
．
3.
已知三棱锥
为正三棱锥，且，，点、是线段、的中点，平面与平面没有公共点，且平面
，若是平面
与平面
的交线，则直线与直线
所成角的正切值为（ ）
A
．B
．C
．D
．
4. 已知曲线
，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则
（ ）
A
．
B
．
C
．
D ．3
5. 如图，在正方体
中，点P 在线段
上运动（包含端点），则直线
与
所成角的取值范围是（
）
A
．B
．C
．
D
．
6. 已知函数
，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有（ ） 个.
①
的最小正周期为
；
②将函数的图象向左平移个单位，将得到一个偶函数；
③函数在区间
上是减函数；
④“
函数
取得最大值”的一个充分条件是“”
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7. 在科学研究中，常用高德纳箭头来表示很大的数.对正整数a ，b ，c ，把
记作
，并规定
，
，则
的数量级为（ ）（参考数据：
）
A
．
B
．
C
．D
．
8. 设
，则
（ ）
A
．
B
．
C
．D
．
9. 如图，在某城市中，
，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，
，
是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路
网M ，N
处的甲、乙两人分别要到
，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达
，
处为止，
则下列说法正确的有（ ）
中学生标准学术能力诊断性测试2023届高三下学期3月测试数学试题
中学生标准学术能力诊断性测试2023届高三下学期3月测试数学试题
三、填空题
四、解答题
A ．甲从
到达处的方法有120种
B ．甲从必须经过到达处的方法有9种C
．甲、乙两人在
处相遇的概率为D
．甲、乙两人相遇的概率为
10. 设直线l
与抛物线相交于A ，B 两点，与圆
相切于点
，且M 为的中点．（ ）
A ．当时，
的斜率为2
B ．当
时，
C
．当
时，符合条件的直线l 有两条
D ．当
时，符合条件的直线l 有四条
11.
已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A ．
为函数的一个周期B ．直线
是函数图象的一条对称轴C ．函数
在上单调递增D ．函数有且仅有2个零点
12. 已知空间中
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A
．B
．C
．与异面
D
．
13. O 为坐标原点，F 为抛物线C ：的焦点，P 为C
上一点，若，则△POF 的面积为______.
14.
已知等差数列
的前项和为
,、是方程的两根,
且,
则数列的公差为________.
15. 已知
，，则
________．
16. 函数．
(1)求证：；
(2)若方程
恰有两个根，求证：
．
17. 年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验.党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心
不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示:
土地使用面积
（单位：亩）
管理时间（单位：月）
并调查了某村名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示;
愿意参与管理不愿意参与管理
男性村民
女性村民
（1）做出散点图，判断土地使用面积与管理时间是否线性相关;并根据相关系数说明相关关系的强弱．(若，认为两个变量有
很强的线性相关性，值精确到) .
参考公式：
参考数据：
（2）完成以下列联表，并判断是否有的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关.
愿意参与管理不愿意参与管理合计
男性村民
女性村民
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）求A；
（2）若，求的面积的最大值．
19. 已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于点A，B(点B在x轴下方)，，直径为BD的圆过点
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过D点且不与y轴重合的直线与椭圆C交于点M，N，设直线AN与BM交于点T，证明：点T在直线上.
20.
已知函数是偶函数．
(1)求实数的值；
(2)设，若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围．
21. 已知数列的前n项和为，，对任意的正整数，点均在函数图像上．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)证明：中任何不同三项不构成等差数列．。