人教版高中数学【选修2-1】[B 重点题型巩固练习] (7)

人教版高中数学选修2-1
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1.平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为( )
A ．双曲线
B ．线段
C ．射线
D ．不存在
2．（2016 成都模拟改编）双曲线22
215
x y a -=的一个焦点坐标为（3,0），则该双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．32
C.3
D. 3．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线k y x --92522＝1与曲线9
252
2y k x --＝1的( ) A ．焦距相等 B ． 实半轴长相等 C ． 虚半轴长相等 D ．离心率相等
4. 已知双曲线的两个焦点为F 1(0)、F 20)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A. 22123x y -= B. 22132x y -= C. 2
214x y -= D ．2
2
14y x -= 5．（2015 新课标Ⅱ）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）
A B ．2 C D
6.双曲线的虚轴长为4，离心率e ，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，，则|AB |等于( )
A ．
B ．
C ．
D ．8
二、填空题 7．已知双曲线22
1124
x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
8．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．
9．已知双曲线22
221x y a b
-= (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________．
10．设一个圆的圆心在双曲线22
1916
y x -=的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O 到该圆圆心的距离是________．
三、解答题
11.已知双曲线的中心在原点，焦点为F 1
，F 2（0，）
，且离心率e =的标准方程及其渐近线． 12．设双曲线C ：1:)0(1222
=+>=-y x l a y a
x 与直线相交于两个不同的点A 、B ；求双曲线C 的离心率e 的取值范围：
13．设双曲线22
22b
y a x -=1（0<a<b ）的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线l 的距离为4
3c ，求双曲线的离心率. 14.两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：2212
11e e +=1. 15. 如图所示，已知F 1，F 2为双曲线22
221x y a b
-= (a >0，b >0)的两个焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程．
16．圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如
图)，双曲线C 1：22
22b
y a x -＝1过点P 且离心率为3． (Ⅰ)求C 1的方程；
(Ⅱ)若椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．
【答案与解析】
1.答案： D
解析：设两定点为A 、B ，则平面内到两定点A 、B 的距离的差的绝对值小于或等于这两定点的距离．
2．答案： B 解析：双曲线22
215
x y a -=的一个焦点坐标为（3,0）， ∴ 3c =,则2259,c a =+= 即2954a =-=，则2,a = 则双曲线的离心率32
c e a =
= ，故选：B 3. 答案：A
解析：当0＜k ＜9，则0＜9－k ＜9，16＜25－k ＜25， 即曲线k
y x --92522＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a 2＝25，b 2＝9－k ，c 2＝34－k ， 曲线9
2522y k x --＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a 2＝25－k ，b 2＝9，c 2＝34－k ， 即两个双曲线的焦距相等，
故选：A ．
4. 答案： C
解析： ∵c |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，
∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，
∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1.
5.答案： D 解析：设双曲线方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M 作
MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt △BMN 中，|BN|=a ，MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双
曲线方程得a 2=b 2=c 2－a 2，即c 2=2a 2，所以e =D ．
6. 答案： A
解析： ∵c a 2b ＝4，∴a 2＝8，a ＝，
|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝
|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝
两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝，
又∵|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |，|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，
∴|AB |＝.
7．答案：33⎡-⎢⎣⎦
解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝x ，当过点F 的直线与渐近线平行时，满
足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是⎡⎢⎣
⎦. 8．答案：3 解析：已知双曲线方程为22
194
y x -=，故P (3,0)为双曲线的右顶点，所以过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
9. 答案：
53
解析：由|PF 1|－|PF 2|＝2a 及|PF 1|＝4|PF 2|得： |PF 2|＝
23
a ，又|PF 2≥c －a ， 所以23a ≥c －a ，c ≤53
a ， ∴e ＝c a ≤53，即e 的最大值为53.
10．答案：163
解析：由已知得双曲线的上顶点为A (0,3)，上焦点为F (0,5)，设圆心为P (x 0，y 0)，则y 0＝352
+＝4.代入双曲线方程得2016194x -=，所以207169
x ⨯=，故|PO |
163. 11. 【解析】： 由条件知焦点在y
轴上，c =
c a
=
2,2a b ==；所以双曲线的方程为22
1,44
y x -=渐近线方程为y x =±. 12.解析：由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-.1,1222
y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0.
242210.0 1.48(1)0.a a a a a a ⎧-≠⎪<≠⎨+->⎪⎩所以解得
双曲线的离心率
01,(2,).e a a a e e e ==<<≠
∴≠+∞即离心率的取值范围为
13. 解析: 解析：由已知，l
的方程为ay+bx-ab=0,
原点到l 的距离为
4
=, 又c 2=a 2+b 2, ∴24ab =，两边平方，得16a 2(c 2-a 2)=3c 4.
两边同除以a 4并整理得3e 4-16e 2+16=0，∴e 2=4或243
e =. ∵ 0<a<b, 1b a >,221b a >,得22222212a b b e a a +==+>, ∴e 2
=4，故e=2.
14．解析： 证明：双曲线22
221x y a b
-=的离心率22221122c c a b e e a a a +=⇒==；
双曲线22
221x y b a
-=的离心率22222222c c a b e e b b b +=⇒==. ∴22
22222212111a b e e a b a b
+=+=++. 15. 解析：∵在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°，
∴|PF 1|＝2|PF 2|.
由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
∴|PF 2|＝2a .
∴|F 1F 2|
＝PF 2|，即2c ＝
，∴c 2＝3a 2.
又∵c 2＝a 2＋b 2，∴2a 2＝b 2.∴b a
故所求双曲线的渐近线方程为y ＝
x .
16. 解析：(Ⅰ)设切点P(x 0，y 0)，(x 0＞0，y 0＞0)，则切线的斜率为00y x -， 可得切线的方程为)(00
00x x y x y y --=-，化为x 0x ＋y 0y ＝4． 令x ＝0，可得04y y =；令y ＝0，可得0
4x x =． ∴切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积S ＝000084
·
4·21y x x y =　． ∵4＝0020202y x y x ≥+，当且仅当200==y x 时取等号． ∴42
8
＝≥S ．此时P )2,2(． 由题意可得12222=-b a ，3122
=+==a
b a
c e ，解得a 2＝1，b 2＝2． 故双曲线C 1的方程为122
2
=-y x ． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知双曲线C 1的焦点(±3，0)，即为椭圆C 2的焦点．
可设椭圆C 2的方程为1321
2
212=++b y b x (b 1＞0)． 把P(2,2)代入可得123221
21=++b b ，解得21b ＝3，
因此椭圆C 2的方程为13
62
2=+y x ． 由题意可设直线l 的方程为x ＝my ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=6
2322y x my x ，化为0332)2(22=-++my y m ， ∴221232m m y y +-=+，2
2123m y y +-=． ∴x 1＋x 2＝23432)(221+=
++m y y m ， x 1x 2＝2663)(322
21212
+-=+++m m y y m y y m ． )2,2(11y x -=－，)2,2(22y x BP --=→，
∵→→⊥BP AP ，∴→→BP AP ·＝0， ∴04)(2)(221212121=++-++-y y y y x x x x ， ∴011646222=-+-m m ，解得m ＝12
63-或m ＝－（126-）， 因此直线l 的方程为：03)12
63(
=---y x 或03)126(=--+y x ．。