zdkz3-2

s3 s2 s
1
1 14
40 ( 14 K ) 14 40 K
40 40 K
要保证第一列>0， 应有 0<K<14 。
s0
K>14 时，第一列符 号改变2次 有2个 不稳定域的根
实际上 K=14 时，闭环系统极点为 -14, ±6.3246j 临界稳定
24
判断系统的相对稳定性：
例： Δ(s) s 3 14 s 2 40 s 40 K K ? 时，Δ(s)的根全部位于 s 1 垂线的左侧？
-
特征多项式 ( s ) s 1 K
∴ K>1 时闭环系统稳定。
18
但对于稳定的系统，反馈也 有可能引起闭环系统不稳定。
1 例： G1 K , G2 , H 1 3 (s 1) 则 ( s 1 )3 K 1 G1G2 H s1
R(s) E(s)
D(s)
例：图示系统输入输出稳定，但内部的u(t)发散。
R(s)
1 s1
U(s)
s1 s1
Y(s)
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反馈控制系统稳定的充要条件
R(s)
E(s) D1(s) G1(s) H(s) G 2(s) D2(s) Y(s)
-
所有闭环传函都有相同的分母 ——1+开环传函（特征式） 闭环系统的极点为特征方程的根（特征根），即 1+G1G2H=0 的零点，所以有
虚轴对应临界稳定，工程 意义上属于不稳定
14
极点在虚轴上不满足BIBO的例：
R(s)
G(s)
Y(s)
1 1 j ① 设 G(s) , R( s ) s s s1 1 × 则 Y(s) 2 y( t ) t 0 s 1 s 极点位置 ② 设 G(s) 2 , R( s ) 2 2 j s 12 s 1 s1 × 1 s 1 则 Y(s) 2 y( t ) t sin( 1 t ) 2 2 （s 1） 2 1 0 s2 × 1
BIBO指对任意有界的输入，输出都有界
极点位置
15
关于稳定性的说明
稳定性只取决于系统极点，是系统固有的特性， 与外作用和初始状态无关。 R(s) Y(s) G(s)
当系统存在零极点对消时，若对消发生在稳定区 域，则不影响系统的稳定性；若发生在不稳定区 域，则尽管系统BIBO稳定，但内部一定不稳定。
G1(s) H(s)
Y(s)
-
G 2(s)
用MATLAB求根 a=[1 3 3 9]; roots(a)
K=8 时，闭环系统极点为 -3, ±1.7321j 临界稳定 K=12 时，闭环系统极点为 -3.2894, 0.1447±1.7321j 不稳定 K=1 时，闭环系统极点为 -2, -0.5±0.866j 稳定
12
不考虑输入 R( s ) 时，有 Y(s) c( s ) a( s )
y(t) 是否→0 取决于Y(s) 的极 点（也是系统极点）的位置
若Y ( s )有实数极点 ，则对应的 ( t )有e t 项； jω y
若Y ( s )有复数极点 j，则对应的y( t )有 e sin( t )项； 若Y ( s )有n重复数极点 j，则对应的y( t )有 t n 1e t sin( t )项； y(t) 是否→0 取决于Y(s) 极点
对于该例, 实际上有
K<8 稳定;
K≥8 不稳定
闭环系统是否稳定，关键在于控制器结构和参数的选取
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劳斯-赫尔维茨稳定判据
• 该判据用于二阶以上的高阶系统 • 可不用求解高阶系统的特征方程就可判 断系统是否稳定 • 可以判断不稳定极点的个数 • 可以得出保证系统稳定的参数取值范围 （参数的稳定域） • 可以分析系统的相对稳定性
2
稳定性的基本概念
b b a
a
小球在a处稳定， 在b处不稳定
摆在a处稳定， 在b处不稳定。
a, b 称为系统的平衡点
3
反馈控制可使倒立摆稳定
单级倒立摆稳定控制
二级倒立摆稳定控制
4
三 级 倒 立 摆 顶 花 瓶
5
①
I
u
②
+V R F
I
F
Light source
Controller
mg
mg
①：开环控制的磁悬浮系统 ②：闭环控制的磁悬浮系统
闭环系统稳定的充要条件为 特征方程的根全部位于左半开制可以使闭环系统稳定。
1 例： G1 K , G2 , H 1 s1 s1 K 则 1 G1G2 H s1
R(s) E(s) D(s) G1(s) H(s) G 2(s) Y(s)
22
劳斯判据
系统极点全部位于左半开平面的充要条件为 特征多项式的各项系数全部 > 0 劳斯表的第一列全部 > 0 注：若不满足稳定条件，劳斯表的第一列 有负值存在，则特征方程正实部根的数目 等于第一列符号改变的次数。
例：p223 例3.14
23
判断系统参数的稳定域：
例： Δ(s) s 3 14 s 2 40 s 40 K
的实部是否<0
13
t
0
若Y ( s )有n重实数极点 ，则对应的 ( t )有t n 1e t 项； y
线性定常系统稳定的充要条件
系统极点均具有负实部，即极点全部位于左半开平 面（不含虚轴）
系统BIBO稳定的充要条件同上
说明： ①系统极点全部具有负实部时，响应的暂态分 量→0，稳态分量取决于输入，∴BIBO稳定； ②只要有实部＞0的极点，则显然输出发散； ③极点在虚轴时是否满足BIBO？ j 稳定 不稳定 区域 区域 0 s复平面
设 则 b( s ) G(s) , a( s ) a, b 为多项式
D(s)
R(s)
G(s)
Y(s)
b( s ) c( s ) Y(s) R( s ) a( s ) a( s )
c 为与初始值有关 的多项式 对应零输入 响应
对应零状态 响应
两部分的 极点相同
11
例：设系统的输入输出 微分方程为 d2y dy a1 a0 y Kr ( t ) 2 dt dt 进行拉氏变换得 [ s 2Y ( s ) sy ( 0 ) y( 0 )] [ a1 sY ( s ) y( 0 )] a0Y ( s ) KR( s ) K sy ( 0 ) y( 0 ) y( 0 ) Y( s ) 2 R( s ) s a 1 s a0 s 2 a 1 s a0
G 2(s)
26
练习
B3.15, (a); B3.18
27
第三章 控制系统的运动分析 Part 2
已 讲 授
1. 对自动控制系统的基本要求 2. 几种典型输入信号及响应之间的关系 3. 控制系统的暂态响应特性
4. 控制系统的稳定性 5. 控制系统的稳态误差
1
3.4
控制系统的稳定性
• 稳定性的基本概念
• 稳定性的两种常用定义
• 线性定常系统的稳定条件
• 劳斯-赫尔维茨稳定判据
对于二阶系统 Δ(s) a2 s 2 a1 s a0 , 稳定的充要条件为 ai 0 , i 0 , 1 , 2
高阶系统需要先求劳斯表，然后由劳斯表 判断稳定与否。
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例： Δ(s) a7 s7 a6 s 6 a5 s 5 a4 s 4 a3 s 3 a2 s 2 a1 s a0
劳斯表
a5 a4
s7 s6 s
5
a7 a6
b1
a3 a2
a1 a0
s4 s3 s2 s1 s0
a6 a5 a7 a4 a a a7 a2 a a a7 a0 b2 6 3 b3 6 1 a6 a6 a6 b a a6 b2 b a a6 b3 b a a6 0 c1 1 4 c2 1 2 c3 1 0 a0 b1 b1 b1 c b b1c2 c b b1c3 d1 1 2 d2 1 3 c1 c1 d c c 0 d c c d e1 1 2 1 2 e 2 1 3 1 c3 d1 d1 e d d 1e 2 f1 1 2 e1 f e e 0 g1 1 2 1 e2 f1
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1. 劳斯判据（Routh’s criterion）
设系统的特征多项式为 Δ(s) an s n an 1 s n 1 a1 s a0 ， (a n 0 ) 对于一阶系统 Δ(s) a1 s a0 , 稳定的充要条件为 ai 0 , i 0 , 1
解： s s1 1 代入 Δ(s) 得 将
3 2
坐标平移 Δ(s1 ) ( s1 1 )3 14( s1 1 )2 40( s1 1 ) 40 K
s1 11s1 15 s1 40 K 27
jω σ -1 0
由劳斯判据可得K的稳定域为 0.675 < K < 4.8
有界输入有界输出稳定性：在任意有界输入或扰动 的作用下，若系统输出也有界，则称该系统稳定。 （简称 BIBO 稳定）
Bouded-Input-Bouded-output
10
线性定常系统的稳定条件
系统可能受到各种扰动的影响， 扰动撤消后系统能否恢复平衡状态 等价于非零初始状态和零输入作用 下的响应能否→0
不稳定 可以稳定。
6
MIT的磁悬浮反馈控制系统
7
四川省科技馆采用反馈控制的磁悬浮地球仪
8
针对不稳定对象的反馈控制 针对稳定对象的反馈控制 大部分受控对象是稳定的，但 反馈控制所构成的闭环系统可 能稳定，可能不稳定。