【全国百强校】吉林省吉林大学附属中学2016届高三上学期第四次摸底考试文数试题(原卷版)

吉林省吉林大学附属中学2016届高三上学期第四次摸底考试
文数试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1、已知集合{|10}{}A x x B a A B B =-<==≤，，，则实数a 的取值范围是（ ）
（A ）[01)， （B ）(11)-， （C ）(10]-，
（D ）(10)-，
2、若1k b -,,三个数成等差数列，则直线y kx b =+必经过定点（ ） （A ）(1，－2)
（B ） (1，2)
（C ）(－1，2)
（D ）(－1，－2)
3、函数220()26ln 0x x f x x x x ⎧-=⎨-+>⎩
，≤，，的零点个数是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
4、已知圆22:40C x y x l +-=，是过点(30)P ，的直线，则（ ） （A ）l 与C 相交 （B ）l 与C 相切
（C ）l 与C 相离
（D ）以上三个选项均有可能
5、函数()sin()f x A x b ωϕ=++的图象如图所示，则()f x 的解析式及(0)(1)(2)(2008)S f f f f =++++
的值分别为（ ）
（A ）1()sin 2120072f x x S π=+=， （B ）1()sin 1200822f x x S π
=+=，
（C ）1()sin 1200922
f x x S π
=+=，
（D ）1()sin 1201022
f x x S π
=+=，
6、直线12:30:0l ax y l x by c +-=+-=，，则ab =1是1l ∥2l 的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
7、设二元一次不等式组2190802140x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩
≥，≥，≤，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x
(a ＞0，a ≠ 1)的图象过
区域M 的a 的取值范围是（ ） （A ）[1，3] （B ）[2
（C ）[2，9]
（D ）
，9]
8、若函数()(1)(01)，且x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图 象是（ ）
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
9
、已知1cos662a =︒︒，22tan131tan 13b ︒=+︒
，c =
，则（ ） （A ）a b c >> （B ）a b c << （C ）a c b <<
（D ）b c a <<
10、若，，a b c 均为单位向量，且1
2
⋅=-a b ，x y =+c a b ()x y ∈R ，，则x y +的最大值为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3
（D ）4
11、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a
和都是等差数列，且公差相等，则2a =（ ） （A ）34 （B ）1 （C ）
43
（D ）
12
12
、关于函数22
1
()sin (32
f x x =-+
，有下列四个结论，其中正确结论的个数为（ ） （A ）()f x 是奇函数
（B ）()f x 的最小值是1
2
-
（C ）()f x 的最大值是
56
（D ）当2003x >时，1
()2
f x >
恒成立 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13、已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且(0R)λλ=∈+a b ，则||λ=________． 14、设函数f (x)＝
3x x +(x ＞0)，观察：f 1(x)＝f (x)＝3x x +， f 2(x)＝f (f 1(x))＝49
x x +， f 3(x)＝f (f 2(x))＝
1327x x +，f 4(x)＝f (f 3(x))＝4081
x
x +……，根据以上事实，由归纳推理可得：
当n ∈N *
，n ≥2时，f n (x)＝f (f n －1(x))＝ .
15、甲船在岛B 的正南方A 处，10AB =千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出 发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是 小时.
16、过点
，0)引直线l 与曲线y
相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大 值时，直线l 的斜率等于 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、（本题满分12分）
设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求tan B 及边长a 的值；
（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．
18、（本题满分12分）
设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x)＝2x
的图象上(n ∈N *
)． （Ⅰ）证明：数列{b n }为等比数列；
（Ⅱ）若a 1＝1，直线y ＝(22a ln2)(x －a 2)＋22a 在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2
n }的前n 项和S n .
19、（本题满分12分）
如图1，在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒，CD AB ∥，4AB =，2AD CD ==，将ACD △沿AC 折起， 使平面ACD ⊥平面ABC ，得到三棱锥D ABC -，如图2所示． (Ⅰ)求证：BC ⊥平面ACD ； (Ⅱ)求点C 到平面ABD 的距离． B
C
D
A
B
C
D
A
1
图图
B A C
D
图
2图
20、（本题满分12分）
已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点1(0)4F ，的距离减去它到y 轴距离的差都是1
4
.点A ，B 在曲
线C 上且位于x 轴的两侧，OA OB ⋅＝2(其中O 为坐标原点). （Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）证明：直线AB 恒过定点.
21、（本题满分12分）
已知函数f (x)＝x 2
－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .
（Ⅰ）求f (x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1，求a 的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB CA CB ==，，O 交直线OB 于E D ，，连结.EC CD ， （Ⅰ）证明：直线AB 是O 的切线； （Ⅱ）若1
tan 2
CED ∠=
，O 的半径为3，求OA 的长.
23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：2cos
sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，（θ
为参数）相交于不同两点A 、B ． (Ⅰ)若3
π
α=
，求线段AB 中点M 的坐标；
(Ⅱ)若2||||||PA PB OP ⋅=，其中(2P ,，求直线l 的斜率．
24、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|3|f x x =-.
（Ⅰ）若不等式(1)()f x f x a -+<的解集为空集，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若||1||3a b <<，，且0a ≠，求证：()||()b f ab a f a
>.
：。