【创新方案】高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)基本不等式 理 北师大版

第三节 基本不等式
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1．了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．基本不等式ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式
a 2＋
b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋a
b
≥2(a ，b 同号)．
ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤
a 2＋
b 22
(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为
a ＋b
2
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：
两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：
(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2P (简记：积定和最小)．
(2)如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是P 2
4
(简记：和定积最大)．
1．有人说：(1)函数y ＝x ＋1
x
的最小值是2； (2)f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值是4；
(3)当a >0时，a 3
＋1a
2的最小值是2a .
你认为这三种说法正确吗？为什么？
提示：不正确．(1)中忽视了条件x >0；(2)中cos x ∈(0,1)，利用基本不等式求最值时，“＝”不能成立；(3)2a 不是定值．
2．x >0且y >0是x y ＋y x
≥2的充要条件吗？
提示：不是．当x >0且y >0时，x y ＋y x ≥2；但x y ＋y x
≥2时，x ，y 同号即可．
1．下列不等式中正确的是( )
A ．若a ∈R ，则a 2
＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋b
ab
≥2 C ．若a ，b >0，则2lg
a ＋b
2
≥lg a ＋lg b D ．若x ∈R ，则x 2
＋
1
x 2
＋1
>1 解析：选C ∵a >0，b >0，∴
a ＋b
2
≥ab .∴2lg
a ＋b
2
≥2lg ab ＝lg ab ＝lg a ＋lg b .
2．若x >0，y >0，且x ＋y ＝1
3
，则xy 的最大值为( )
A.
233 B ．2 3 C.19 D.1
36
解析：选D ∵x >0，y >0，∴13＝x ＋y ≥2xy ，即xy ≤16，∴xy ≤1
36.
3．已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0，则xz
y
2的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8
C ．最小值为18
D ．最大值为1
8
解析：选D
xz y 2＝xz x ＋2z
2
＝
xz x 2
＋4xz ＋4z 2＝
1x z ＋4z x
＋4≤18.当且仅当x z ＝4z
x
，即x ＝2z 时取等号．
4．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填写所有正确命题的序号)．
①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3
≥3；⑤1a ＋1b
≥2.
解析：令a ＝b ＝1，可排除命题②④；由2＝a ＋b ≥2ab ，得ab ≤1，故命题①正确；a
2
＋b 2＝(a ＋b )2
－2ab ＝4－2ab ≥2，故命题③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab
≥2，故命题⑤正确．
答案：①③⑤
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x
8
天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与
仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．
解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝
800＋x
8
×x ×1
x
＝
800x ＋x 8≥2 800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80(x >0)时，等号成立．故每批应生产产品80件，可使f (x )最小．
答案：80
[例1] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1
ab
≥8.
[自主解答] 1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，
∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a
≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.
【互动探究】
保持例题条件不变，证明： a ＋12＋ b ＋1
2
≤2.
证明：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1， ∴
a ＋12
＋
b ＋12
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12×1＋ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋12×1≤
a ＋1
2＋12＋
b ＋12＋1
2
＝
a ＋
b ＋3
2
＝42＝2.当且仅当a ＋12＝1，b ＋12＝1，即a ＝b ＝1
2时等号成立． 【方法规律】
利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意基本不等式成立的条件．对待证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．
设a 、b 均为正实数，求证：1a 2＋1
b
2＋ab ≥2 2.
证明：由于a 、b 均为正实数，所以1a 2＋1
b 2≥2
1
a
2
·1b 2＝2ab
，
当且仅当1a 2＝1
b
2，即a ＝b 时等号成立，
又因为2
ab ＋ab ≥2
2
ab
·ab ＝22，当且仅当2
ab
＝ab 时等号成立，
所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2
ab
＋ab ≥2
2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
1a 2
＝1b 2
，
2
ab ＝ab ，
即a ＝b ＝4
2时取等号.
1．利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 2．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下几个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)构造不等式求最值．
[例2] (1)(2013·福建高考)若2x ＋2y
＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]
(2)(2013·山东高考)设正实数x ，y ，z 满足x 2
－3xy ＋4y 2
－z ＝0.则当xy z
取得最大值时，
2x ＋1y －2
z
的最大值为( )
A ．0
B ．1 C.9
4 D ．3
(3)(2013·天津高考)设a ＋b ＝2，b >0，则
12|a |＋|a |
b
的最小值为________． [自主解答] (1)因为2x
>0,2y
>0，所以1＝2x
＋2y
≥22x
·2y
＝22x ＋y
，
故2x ＋y ≤12，即2x ＋y
≤14＝2－2，所以x ＋y ≤－2.
(2)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2
， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝
1x y ＋4y x
－3
.又x 、y 、z 为正实数，∴x y ＋4y x
≥4， 当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2
. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12
＋1， 当1
y
＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.
(3)∵a ＋b ＝2，b >0，∴b ＝2－a >0，得a <2.令t ＝12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |
b ，
①当0<a <2时，t ＝
a ＋
b 4a ＋a b ＝14＋b 4a ＋a b ≥1
4＋2 14＝54
， 当且仅当b 4a ＝a b ，即b ＝2a ，a ＝23∈(0,2)时，t 取得最小值为5
4
.
②当a <0时，t ＝－a ＋b 4a －a b ＝－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 4a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ≥－14＋2 14＝3
4
， 当且仅当－b 4a ＝－a b ，即b ＝－2a ，a ＝－2时，t 取得最小值为34.∵54>34，∴12|a |＋|a |
b
的
最小值为3
4
.
[答案] (1)D (2)B (3)3
4
利用基本不等式求最值问题的常见类型及解题策略
(1)知和求积的最值．求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
(2)知积求和的最值．明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值．在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
1．已知f (x )＝x ＋1
x
－2(x <0)，则f (x )有( )
A ．最大值为0
B ．最小值为0
C ．最大值为－4
D ．最小值为－4
解析：选C ∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x
－2＝－⎣
⎢
⎡⎦
⎥⎤
－x ＋
1－x －2≤－2
－x
1－x －2＝－4，当且仅当－x ＝－1
x
，即x ＝－1时等号成立． 2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1b 的最小值为________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当
且仅当a ＝b ＝1
2
时，取等号．
答案：9
3．(2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋a x
(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.
解析：∵x >0，a >0，∴f (x )＝4x ＋a x
≥2
4x ·a x
＝4a ，当且仅当4x ＝a x
时等号成立，
此时a ＝4x 2
，由已知x ＝3时函数取得最小值，所以a ＝4×9＝36.
答案：36
[例3] 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－
k
2t ＋1
(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
[自主解答] (1)由题意有1＝4－k 1，得k ＝3，故x ＝4－3
2t ＋1
.
故y ＝1.5×6＋12x x ×x －(6＋12x )－t ＝3＋6x －t ＝3＋6⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)．
(2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1
－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫t ＋12.
基本不等式
9
t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥2×9t ＋12·⎝
⎛⎭⎪⎫t ＋12＝6，
当且仅当9t ＋12
＝t ＋1
2，即t ＝2.5时等号成立．
故y ＝27－182t ＋1
－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≤27.5－6＝21.5. 当且仅当9t ＋12
＝t ＋1
2，即t ＝2.5时，等号成立，y 有最大值21.5.
所以2014年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元． 【方法规律】
解实际应用题时应注意的问题
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求． (4)有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值．
某单位建造一间地面积为12 m 2
的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面
的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2
，房顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
解：由题意可得，造价y ＝3⎝
⎛⎭⎪⎫2x ×150＋12x
×400＋5 800＝900⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0<x ≤5)，
则y ＝900⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2
x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16
x
，即
x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．
———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
个技巧——公式的逆用
运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2
≥2ab 逆用
就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，
b >0)等，还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等．
个变形——基本不等式的变形 (1)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)；
(2) a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2
1a ＋
1
b
(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．
个注意点——利用基本不等式求最值应注意的问题
(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．
易误警示(九)
忽视基本不等式成立的条件致误
[典例] (2014·徐州模拟)已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2
＋1的最大值为________．
[解题指导] a b 2＋1＝a 2b 2＋＝22
×2a 2b 2
＋.
[解析] a b 2
＋1＝
22×2a b 2＋1≤22×12(2a 2＋b 2
＋1)＝24
×(3＋1)＝ 2.当且仅当2a ＝b 2
＋1，且2a 2
＋b 2
＝3，即a 2
＝1，b 2
＝1时，等号成立．所以a b 2
＋1的最大值为 2.
[答案] 2
[名师点评] 1.本题易错解为：因为a b 2＋1≤12
(a 2＋b 2＋1)2
，等号成立的条件是a ＝
b 2＋1，即a 2＝43，b 2＝13，所以a b 2＋1的最大值为43.错误的原因是：1
2
(a 2＋b 2＋1)不是定值，
不符合利用基本不等式的前提．
2．利用基本不等式求积的最大值时，要保证和为定值；求和的最小值时，要保证积为定值．定值是利用基本不等式的前提．
已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y
＋y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x ＋x 的最小值为________．
解析：依题意知，⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x ＋x ＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2
y 2x ×x 2
y
＝4，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x ＋x 的最小值为4. 答案：4
[全盘巩固]
1．下列不等式一定成立的是( )
A ．lg ⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C ．x 2
＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R )
解析：选C 对选项A ，当x >0时，x 2
＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴lg ⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故不成
立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2
＋1≥2|x |，一定成立；对
选项D ，∵x 2
＋1≥1，∴0<1x 2＋1
≤1.
2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b
>2
ab
C.b a ＋a b
≥2 D ．a 2
＋b 2
>2ab
解析：选C 因为ab >0，所以b a >0，a b >0，即b a ＋a b ≥2 b a ·a
b
＝2(当且仅当a ＝b 时等号成立)．
3．函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值是( )
A ．23＋2
B ．23－2
C ．2 3
D ．2 解析：选A ∵x >1，∴x －1>0，
∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝
x 2－2x ＋1＋x －＋3
x －1
＝
x －
2
＋x －
＋3
x －1
＝x
－1＋
3
x －1
＋2≥2 x －
3x －1＋2＝23＋2，当且仅当x －1＝3x －1
，即x ＝1＋3时取等号．所以函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值为23＋2.
4．(2014·汉中模拟)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )
A ．3
B ．4 C.92 D.11
2
解析：选 B 依题意得x ＋1>1,2y ＋1>1，易知(x ＋1)·(2y ＋1)＝9，则(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋y ＋＝29＝6，当且仅当x ＋1＝2y ＋1＝3，即x ＝2，y ＝1时取等号，因此有x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值是4.
5．(2014·宁波模拟)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2
＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54
解析：选C 由x >0，y >0，知4x 2＋9y 2
＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，所以12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2.
6．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝8
2m ＋1
(m ＞0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右
相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，b a
的最小值为( )
A ．16 2
B ．8 2
C ．834
D ．43
4
解析：选B 数形结合可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，
＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x D
x C －x A
，根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，
所以x A ＝2－m
.同理可得x C ＝2－82m ＋1，x B ＝2m ，x D ＝282m ＋1，所以b a ＝2m －282m ＋12－82m ＋1－2－m
＝
2m
－2
82m ＋112
82m ＋1－12
m
＝2m
－2
82m ＋12m
－2
82m ＋12m
·2
82m ＋1
＝282m ＋1＋m ，由于82m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝7
2，
当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即m ＝32时等号成立，故b a 的最小值为27
2
＝8 2.
7．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．
解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy
x ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时
取等号)，即
x ＋22xy x ＋y 的最大值为2；又λ≥x ＋22xy
x ＋y
，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.
答案：2
8．已知x >0，y >0，且2x ＋1y
＝1，若x ＋2y >m 2
＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．
解析：∵x >0，y >0，且2x ＋1y
＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y
≥4＋2
4y x ·x
y
＝
8，
当且仅当4y x ＝x y ，即4y 2＝x 2
，x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y
＝1，此时x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min
＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2
＋2m ，解得－4<m <2.
故实数m 的取值范围是(－4,2)．
答案：(－4,2)
9．(2014·日照模拟)规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a 、b 为正实
数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x
x
的最小值为________．
解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1.
f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3.当且仅当x ＝1x
，即x ＝1时等号成立．
答案：1 3
10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0. 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．
解：(1)∵x >0，y >0，∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，即xy ≥8xy ，∴xy ≥8，即xy ≥64.当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．∴xy 的最小值为64.
(2)∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，∴2x ＋8y ＝xy ，即2y ＋8
x
＝1.
∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x
≥10＋2
2x y ·8y
x
＝18， 当且仅当2x y ＝8y
x
，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值为18.
11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值；
(2)1x ＋1
y
的最小值．
解：(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .
∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．
因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10. ∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，
∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭
⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝
7＋21020， 当且仅当5y x
＝2x
y
时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋5y ＝20，
5y
x ＝2x y
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1010－20
3，y ＝20－4103
.
∴1x ＋1y 的最小值为7＋210
20
. 12．某种商品原来每件定价为25元，年销售量8万件．
(1)据市场调查，若每件商品的价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新
和营销策略改革，并提高每价商品的价格到x 元．公司拟投入16
(x 2
－600)万元作为技改费用，
投入50万元作为固定宣传费用，投入1
5
x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售
量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
解：(1)设该商品每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭
⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，
整理得t 2
－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.
∴要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元．
(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋1
5x 有解，
等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2 150x ·1
6
x ＝10(当且仅当x ＝30
时，等号成立)，∴a ≥10.2.∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
[冲击名校]
1．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k
a ＋b
≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )
A ．0
B ．4
C ．－4
D ．－2
解析：选C 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，得k ≥－a ＋b 2ab ，而a ＋b 2ab ＝b a ＋a
b
＋2≥4(当且仅
当a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab ≤－4，因此要使k ≥－a ＋b
2
ab
恒成立，应有k ≥－4，
即实数k 的最小值等于－4.
2．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b
的最小值为________．
解析：log 2a ＋log 2b ＝log 2ab .∵log 2a ＋log 2b ≥1，∴ab ≥2且a ＞0，b ＞0. 3a
＋9b
＝3a
＋32b
≥23a ·32b ＝23
a ＋2b
≥23
22ab
≥23
2×2
＝18，当且仅当a ＝2b 时取等
号．∴3a ＋9b
的最小值为18.
答案：18 [高频滚动]
1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )
A ．1 B.12 C.13 D.3
4
解析：选A 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2
，
∵x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m －n 的最小值为1. 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2
x ，
x 2
＋bx ＋c
x
，
若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的
不等式f (x )≤1的解集为( )
A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
B ．[－3，－1]
C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)
D ．[－3，＋∞)
解析：选C 当x ≤0时，f (x )＝x 2
＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故函数f (x )图象的对称轴
为x ＝－b 2
＝－2，则b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1，得－3≤x ≤－1；当x >0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)．。