高考数学压轴专题人教版备战高考《集合与常用逻辑用语》图文答案

数学高考《集合与常用逻辑用语》试题含答案
一、选择题
1．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
当0a <时，方程210ax +=，即21x a
=-，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当方程210ax +=至少有一个负数根时，a 不可以为0，从而21x a
=-，所以0a <，由上述推理可知，“0a <”是方程“210ax +=至少有一个负数根”的充要条件，故选
C.
2．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果.
详解：若//l αβα⊥，，则l β⊥，又//m β，所以l m ⊥；
若l m ⊥，当//m β时，直线l 与平面β的位置关系不确定，无法得到//αβ. 综上，“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件.
本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．已知命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++…
；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-；则下列命题中是真命题的是（ ）
A ．p
B ．()p q ∨⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．p q ∧
【答案】C
【解析】
【分析】
由辅助角公式化简命题p ，利用特殊值判断命题p 为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m 的值，判断出命题q 为真命题.即可由复合命题真假判断
选项.
【详解】
命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++≥
由辅助角化简可得sin cos 114x x x π⎛⎫++=++ ⎪⎝
⎭， 可知当34x π=-
104x π⎛⎫++< ⎪⎝
⎭，故p 为假； 命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22
:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-
若直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=
相切，则d == 即|1|4d m =+=，解得3m =或5m =-，故q 为真，
故()p q ⌝∧为真，
故选：C.
【点睛】
本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.
4．“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】 方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案. 【详解】 因为方程22
117x y m m +=+-表示椭圆，所以107017m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得13m -<<或37m <<. 故“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：A
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
5．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.
【详解】
由题意，圆()()22212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-，
当直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=相切，可得d r =，
即d ==12c +=，解得1c =或3c =，
所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的充分不必要条件.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
6．下列命题中是假命题的是
A ．对任意x ∈R ，30x >
B ．对任意()0x ∈+∞，，sin x x >
C ．存在0x ∈R ，使20log 0x =
D ．存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数，三角函数，对数函数的性质依次判断，即可得出答案.
【详解】
因为函数30x y =>，所以“对任意x ∈R ，30x >”为真命题；利用导数知识易证当0x >时，sin 0x x ->恒成立，所以“对任意()0x ∞∈+，
，sin x x >”为真命题；当01x =时，202log log 10x ==，所以“存在0x ∈R ，使20log 0x =”为真命题；因为
000πsin cos 4x x x ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝
⎭，故“存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=”为假命题. 故选D ．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，解答本题的关键熟悉运用不等
式、对数函数、三角函数的性质．
7．已知集合{}|3
x M y y ==
，{|N x y ==，则M N =I （ ） A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x <≤
C ．{|1}x x ≤
D ．{|0}x x > 【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解．
【详解】
由题意，集合{}|3{|0}x M y y y y ===>
,{|{|1}N x y x x ===≤， 所以{|01}M N x x ⋂=<≤.
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．
8．给出下列说法：
①定义在[],a b 上的偶函数
()()24f x x a x b =-++的最大值为20； ②“4x π
=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；
③命题“()00,x ∃∈+∞，0012x x +
≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x +<”． 其中正确说法的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】 根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线42
a x +=， 该函数为偶函数，则402
a +=，得4a =-，且定义域[]4,
b -关于原点对称，则4b =， 所以，()2
4f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确；
对于命题②，解方程tan 1x =得()4x k k Z ππ=+
∈， 所以，tan 14x x π=
⇒=，tan 14x x π=⇐=/， 则“4x π
=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；
对于命题③，由特称命题的否定可知③正确.
故选：D.
【点睛】
本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．
9．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ）
A ．-3或-1或2
B ．-3或-1
C ．-3或2
D ．-1或2
【答案】C
【解析】
若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}；
若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性：
a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}；
a =−1时,1−a =2(舍)，
本题选择C 选项.
10．已知全集,U R =2{|2}M x x x =-≥则U C M =（ ）．
A ．{|20}x x -<<
B ．{|20}x x -≤≤
C ．{|20}x x x <->或
D ．{|20}x x x ≤-≥或
【答案】C
【解析】
【分析】
解二次不等式求出集合M ，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．
【详解】
∵全集U=R ，2{|2}={|20}M x x x x x =-≥-≤≤∴∁U M={x|x<-2或x>0}， 故选C ．
【点睛】
本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．
11．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
12．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．
13．设x ∈R ，则“03x <<”是“12x -<” 的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】 解绝对值不等式12x -<求得x 的取值范围.然后根据两者的范围判断正确选项.
【详解】 由12x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，()0,3是()1,3-的子集，故“03x <<”是“12x -<”的充分而不必要条件.故选A.
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
14．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】 由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R
>⇔
>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.
15．下列选项错误的是（ ）
A ．命题“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0”的逆否命题是“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1”
B ．“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件
C ．在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”是“sinA ＞sinB ”的充要条件
D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题
【答案】D
【解析】
【分析】
根据四种命题的定义，可以判断A 的真假；由充要条件的定义，判断B ，C 的真假；根据
两个命题之间的真假关系即可判断D 的真假．
【详解】
对于选项Ａ，“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0”的逆否命题是“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1，故选项A 为真命题；
对于选项B ，由“x 2﹣3x +2＞0”得，x ＞2或x ＜1；故“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，故选项B 为真命题；
对于选项C ，在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”，则边a ＞边b ，由正弦定理知，sin A ＞sin B ；反之，也成立，故在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件,故C 为真命题；
对于选项D ，在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题可能为真命题，也可能为假命题．故D 为假命题；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查四种命题的定义、性质以及真假关系，充分、必要条件的判断，属于基础题．
16．已知集合{|21
}A x x =->，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R C A B =I （ ） A ．(1,2)
B ．[1,2)
C ．(2,3)
D ．(0,1]
【答案】B
【解析】
【分析】 由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，再根据集合的运算，即可求解．
【详解】 由题意，可求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，则[]1,3R C A =， 所以()[)1,2R C A B ⋂=.故选B.
【点睛】
本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
17．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋
14
<0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sinx ＋cosx 成立”．则下列判断正确的是（ ）
A ．p ∨q 为假命题
B ．p ∧q 为真命题
C ．非p ∧q 为真命题
D ．非p ∨非q 是假命题 【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：：∵任意x ∈R 时，都有x 2-x+14=（x−12）2≥0， ∴p 是假命题；
∵sinx+cosx=2sin （x+
4π），当x=4
π时，sinx+cosx=2， ∴q 是真命题，
∴p ∨q 是真命题，非p n q 为真命题，故选C
考点：复合命题的真假
18．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）
A ．3
(3,)2
-- B ．3(3,)2- C ．3(1,)2 D ．3(,3)2
【答案】D
【解析】 试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以
3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭
,故选D. 考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.
19．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(,2]-∞-
B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)-+∞ 【答案】B
【解析】
由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[
)2,+∞ 本题选择B 选项.
20．已知命题:p 函数()20.5log 2y x x a =++的定义域为R ，命题:q 函数()52x y a =--是减函数.若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1a ≤
B ．12a <<
C ．2a <
D ．1a ≤或2a ≥
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知p 为假命题，q 为真命题.
由p 为假命题，即：220x x a ++>不恒成立，故4401a a ∆=-≥⇒≤ . q 为真命题，即： 5212a a ->⇒<.由此便可得出答案.
【详解】
由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，得p 为假命题，q 为真命题. 由p ：函数()
20.5log 2y x x a =++为假命题得，220x x a ++>在R 上不恒成立.即4401a a ∆=-≥⇒≤.
由:q 函数()52x y a =--是减函数，即：()52x
y a =-是增函数，即5212a a ->⇒<. 两者取交集得：1a ≤.
故选：A
【点睛】
本题主要考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”，属于中档题目.。