湖南省衡阳市衡阳县第四中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题(含答案)

衡阳县四中2023-2024学年下学期高一第一次月考卷
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
A ．()0,1
B ．()1,2
C ．()3,4
D ．()2,3
6．已知二次函数2
21y x ax =-+在区间()2,3内是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．][(),23,-∞⋃+∞
B ．[]2,3
C ．][(),32,-∞-⋃-+∞
D ．[]3,2--
7．已知π12,π,tan225θθ⎛⎫
∈= ⎪⎝⎭
，则22
sin2cos cos24sin θθθθ-=+（ ） A ．16
31
-
B ．17
-
C ．
17
D ．
1631
8．已知函数()()2,021,01
x a x f x x x x ⎧-<⎪
=⎨+-
≥⎪+⎩在R 上单调递减，则a 的取值范围为（ ）
A ．[)0,+∞
B ．(],0-∞
C ．()0,+∞
D ．R
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．函数()f x 满足：对任意实数,x y 都有()()()2f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()2f x >，则（ ）
A ．()02f =
B ．()f x 关于()0,2对称
C ．()()202420244f f -+=
D ．()f x 为减函数
10．已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A ．4
5ω=
B ．9π
10
ϕ=
C ．点π,04⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．直线7
π4
x =-
是函数()f x 图象的一条对称轴 11．已知函数()241,0,
2,0.
x x x x f x x ⎧-+≥⎪=⎨<⎪⎩则下列结论正确的有（ ）
A ．R x ∀∈，()3f x ≥-
B ．函数()()sin 1g x f x x =-+有且仅有2个零点
C ．方程()()0f x f x +-=有唯一解
D ．直线y x =-与()f x 的图象有3个交点
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
18.(17如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝2.
（1）若△ABC 为等边三角形，且AD ∥BC ，E 是CD 的中点，求·；
（2）若AC ＝AB ，cos ∠CAB ＝，
·＝，求｜｜.
19．（17分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有,A B 两种型号的挖掘机，已知3台A 型和5台B 型挖掘机同时施工一小时挖土
165立方米；4台A 型和7台B 型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台A 型挖掘机一小时的施工费用
为300元，每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180元.
(1)分别求每台A 型，B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？
(2)若不同数量的A 型和前B 型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总
费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？
答案及解析
1．【答案】A 【解析】
先确定集合B 中可能的元素，根据两集合中元素的和求出m 的值，再根据集合中元素的互异性取值. 集合B 中的元素可能为：2
,1,4m ，因为1m ≠-，2m ≠.
若1m =，则{}1,1,2A =-，{}1,4B =，则{}1,1,2,4C =-，元素和不为12； 若2m =-，则{}2,1,2A =--，{}1,4B =，则{}2,1,2,4C =--，元素和不为12； 当1,2m ≠±±时，{}
2,1,2,,1,4C m m =-，因为C 中所有的元素和为12，
故选：D. 6．【答案】A
根据二次函数的性质求解.
二次函数2
21y x ax =-
+的对称轴为0x a =，欲使得()2,3x ∈时是单调的，
则对称轴0x a =必须在()2,3区间之外，即2a ≤或者3a ≥. 故选：A. 7．【答案】A
要使函数()f x 在R 上单调递减，则需0x ≥时函数单调递减，0x <时函数单调递减，且()2
01a -≥-，然后求解即可.
所以
21
a
a
⎧≥-
⎨
≥
⎩
，解得0
a≥.
故选：A.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
令7π
4
x =-
得，7π47π9ππsin sin 1454102f ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故7π4x =-是函数()f x 的一条
对称轴，D 正确， 故选：ABD ． 11．【答案】A 、B 、D
A 项，作出函数()f x 图象即可得出结论；
B 项，将零点问题转化为()f x 与()sin 1h x x =-的交点，作出函数即可得出零点个数；
C 项，根据函数()f x 得出函数()f x --的表达式，作出两函数图象即可得出方程()()0f x f x +-=的解的个数；
D 项，作出直线y x =-与()f x 两函数图象即可得出交点个数. 由题意，
A 项，在()2
41,0,
2,0.
x x x x f x x ⎧-+≥⎪=⎨<⎪⎩中，作出函数图象如下图所示，
由上图可知，()()2
224213f x f ≥=-⨯+=-，故正确；
B 项，在()()sin 1g x f x x =-+中，当()0g x =时，()sin 1f x x =-， 即()f x 与()sin 1h x x =-的交点， 作出函数图象如下，
可知函数()()sin 1g x f x x =-+有且仅有2个零点，B 正确；
C 项，在()241,0,2,0.x x x x f x x ⎧-+≥⎪=⎨<⎪⎩中，()241,0,
2,0.
x x x x f x x -⎧---≤⎪--=⎨->⎪⎩
作出两函数的图象如下图所示，
∴两函数有4个交点，方程()()f x f x =--有4解， ∴方程()()0f x f x +-=不止有唯一解，故C 错误； D 项，
由图可知，直线y x =-与()f x 的图象有3个交点，D 正确； 故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．【答案】
2
π3
利用扇形弧长公式，面积公式列方程求解即可. 【详解】
设圆心角为α，扇形半径为r ，依题可得6πr α=，2127π2r α=，解得2
π3
α=，9r =. 故答案为：2
π3
. 13．【答案】1
由于函数()f x 的图象关于直线π
16
x =
对称，由特殊值()π08f f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，即可求值. 由于函数()sin4cos4f x x a x =+的图象关于直线π
16
x =
对称， 且
π
0π8216
+
=，得：()π08f f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
四、解答题（本题共5小题，共77分）
对称轴方程；
（2）整体法求出函数的最值.
（1）因为()132222
cos2sin22sin cos sin cos 222222f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
2213
cos2sin2sin cos 22x x x x =++- 13cos2sin2cos222x x x =+- 31
sin2cos222
x x =
- πsin 26x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
所以函数()f x 的最小正周期2π
2π
π2
T ω=
=
=，
令ππ2π,62x k k Z -=+∈，解得()ππ
32
k x k Z =+∈
故图象的对称轴方程为()ππ
32
k x k Z =+∈．
（2）因为ππ122x -≤≤，所以ππ5π2366
x -≤-≤， 所以当ππ262x -
=，即π
3
x =时，()f x 取最大值π13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 当ππ263x -
=-，即π
12
x =-时，()f x 取最小值π3122f ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
． 18.解：（1）因为△ABC 为等边三角形，且AD ∥BC ，所以∠DAB ＝120°. 又AD ＝2AB ，所以AD ＝2BC ，所以＝2. 因为E 是CD 的中点，所以＝（
＋）＝（＋＋）＝
＋
，
又
＝
－
，所以
·＝（
＋
）·（
－
）＝
－
－·＝×16－×4－
×4×2×（－）＝11.
（2）因为AC ＝AB ，AB ＝2，所以AC ＝2. 因为·＝，所以·（－）＝·－·＝，
又·＝｜
｜｜
｜cos ∠CAB ＝2×2×＝，
所以
·＝＋·＝，
所以｜｜2＝｜－｜2＝4＋16－2×＝，
故｜
｜＝
.
19．【解析】
（1）设每台A 型，B 型挖据机一小时分别挖土x 立方米和y 立方米，根据题意列出方程组，解答即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用． （1）设每台A 型，B 型挖掘机一小时分别挖土x 立方米和y 立方米，根据题意，得
3516547225x y x y +=+=⎧⎨
⎩，解得30
15x y =⎧⎨=⎩
. 所以，每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米， 每台B 型挖据机一小时挖土15立方米.
（2）设A 型挖掘机有m 台，总费用为W 元，则B 型挖据机有()12m -台.根据题意， 得()43004180124808640W m m m =⨯+⨯-=+，
因为()()430415121080430041801212960
m m m m ⎧⨯+⨯-≥⎪⎨⨯+⨯-≤⎪⎩，解得69m m ≥⎧⎨≤⎩，
又因为12m m ≠-，解得6m ≠，所以79m ≤≤. 所以，共有三种调配方案.
方案一：当7m =时，125m -=，即A 型挖据机7台，B 型挖掘机5台； 案二：当8m =时，124m -=，即A 型挖掘机8台，B 型挖掘机4台； 方案三：当9m =时，123m -=，即A 型挖掘机9台，B 型挖掘机3台. ∵4800>，由一次函数的性质可知，W 随m 的减小而减小， 当7m =时，4807864012000W =⨯+=最小，
此时A 型挖掘机7台，B 型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元.。