《随堂优化训练》高中数学 第三章 3.2 3.2.2 一元二次不等式的实际应用配套课件 新人教A版必修5

a ＝ ± 5 ，∴ 1 . c＝4
a2x2＋b2x＋c2 2 求 f(x)＝ 2 (a1＋a2 2≠0)的值域 a1x ＋b1x＋c1
时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为 方程，利用Δ≥0 转化为关于函数值的不等式．求解时，要注意 二次项系数为字母时要讨论．
3－1.对于定义域为实数集 R 的函数 f(x)＝ 回答下列问题：
(－∞，0)∪(2，＋∞) ． 4．函数 y＝ log 1 (x2－2x)的定义域为_________________
2
5．不等式(x－1) x＋2≥0 的解集是( B )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1 或 x＝－2}
C．{x|x≥1}
D．{x|x≥－2 且 x≠1}
重难点
一元二次不等式的应用
思维突破：二次项系数出现参数，应考虑a2－1＝0 的情形，
2 a －1＜0 然后按 Δ＜0
求解．
解：(1)当a2－1＝0，即a＝±1 时，
若 a ＝ 1，
则原不等式为－1＜0，恒成立；
若 a＝－1， 1 则原不等式为 2x－1＜0，即 x＜2，不符合题意，舍去．
(2)当a2－1≠0，即 a≠±1 时， 原不等式的解集为R 的条件是
1 当 m＝－5 时，x>－8不合题意．
②若m2＋4m－5≠0，则原命题等价于
2 m ＋4m－5>0 2 2 Δ＝16m－1 －12m ＋4m－5<0
，
解得 1<m<19. 综上，所求实数 m 的取值范围为[1,19)．
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一元二次不等式的实际应用 例 2：某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1 000 辆．本年度 为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本．若 每辆车投入成本增加的比例为 x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的 比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.设年利润＝ (出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的 关系式；
4x－a (a 为常数)， x2＋1
1 (1)若 f(1)＝2，则 a＝________；
(2)当 a 取由(1)所确定的值时，求 y＝f(x)的值域．
1 4－ a 1 解：(1)由 f(1)＝2得 ＝ ，∴a＝3. 1＋ 1 2
项经营中所收取的附加税额不少于 112 万元，那么 r 应如何确
定？
r 解： 70×100(100－10r)≥112，
即r2－10r＋16≤0⇒2≤r≤8. 故税率定在 2%～8%之间，年收附加税不少于112 万元．
求值域 例 3：若函数 f(x)＝ ax＋1 的值域为[－1,5]，求实数 a、c. 2 x ＋c
1 化简，得 3x －x＜0，解得 0＜x＜3.
2
1 ∴投入成本增加的比例 x 的范围是 0＜x＜3.
解不等式应用题，一般可按四步进行：① 审题，找出关键量和不等关系；②引进数学符号，用不等式表 示不等关系(或表示成函数关系)；③解不等式(或求函数最值)； ④回到实际问题．
2－1.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，对烟酒销售征 收附加税．已知 A 种酒每瓶销售价为 70 元，不收附加税时，每 年大约销售 100 万瓶；若每销售 100 元要征收附加税 r 元(即税 率为 r %)，则每年的销售量将减少 10r 万瓶．如果要使每年在此
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加 的比例 x 应在什么范围内？ 思维突破：建立函数与不等式的模型后解不等式． 解：(1)依题意，得 y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x) ＝1 000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)．
∴所求关系式为
y＝1 000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)． (2)依题意，得 1 000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＞(1.2－1)×1 000.
(1)利用一元二次不等式的解集是实数集 R 或空集∅的几何
意义，把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及 函数图象之间的内在联系． (2)在解决实际问题时，先抽象出数学模型，并寻找数学模 型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法
解题．
恒成立问题
例 1：当 a 为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0 的 解是全体实数？
解：由y＝f(x)＝
ax＋1 ，得 2 x ＋c
x2y－ax＋cy－1＝0. 当y＝0 时，ax＝－1，∴a≠0. 当y≠0 时，∵x∈R，∴Δ＝a2－4y(cy－1)≥0. ∴4cy2－4y－a2≤0.
∵－1≤y≤5，
∴－1,5 是方程4cy2－4y－a2＝0 的两根．
1 ＝ 4 c ∴ 2 a － ＝－5 4c
3．2.2 一元二次不等式的实际应用
＞ 1．设二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为 R，则有 a___ 0 ＜0. 且Δ＝b2－4ac___ x－a 2．若关于 x 的不等式 >0 的解集为(－∞，－1)∪ (4， x＋1
＋∞)，则实数
4 a＝____.
3．设不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|1＜x＜2}，则方程 {1,2} ，且 a___ < 0. ax2＋bx＋c＝0 的解集为______
2 a －1＜0 2 2 Δ＝a－1 ＋4a －1＜0
，
3 解得－5＜a＜1. 3 综上所述，当－5＜a≤1 时，原不等式的解为全体实数．
(1)不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是全体实
数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＞0；当 a≠0 时，
a＞0 Δ＜0
.
(2)类似地，还有f(x)≤a 恒成立⇔f(x)max≤a；f(x)≥a 恒成立
⇔f(x)min≥a.
1－1.已知不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0，对一切 实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围．
解：①令m2＋4m－5＝0 得m1＝1，m2＝－5. 当m＝1 时，原不等式化为3>0 恒成立，