【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：2.3 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析]
2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：2-3
［命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难单调性的判断110单调区间的求法24、6单调性的应用35、7、8、9、1112一、选择题1．已知函数y＝f（x）满足：f(－2）>f（－1)，f(－1）〈f(0),则下列结论正确的是( ）A．函数y＝f（x）在区间［－2，－1]上单调递减，在区间[－1，0］上单调递增B．函数y＝f（x）在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0］上单调递减C．函数y＝f（x）在区间［－2，0]上的最小值是f(－1)D．以上的三个结论都不正确解析：仅由几个函数值的大小关系无法确定函数的单调性．故选D.答案：D2．函数y＝－x2＋2x－3(x〈0)的单调增区间是( ）A．(0，＋∞）B．（－∞，1］C．（－∞，0) D．(－∞，－1]解析：二次函数的对称轴为x＝1，又因为二次项系数为负数，抛物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞,0）．答案:C3．已知实数a＞0,且a≠1，函数f（x)＝log a|x｜在(－∞，0）上是减函数，函数g（x）＝a x＋错误!，则下列选项正确的是( ）A．g（－3）＜g（2)＜g(4）B．g（－3)＜g（4)＜g（2)C．g(4）＜g（－3）＜g（2） D．g（2）＜g（－3)＜g（4)解析：由函数y＝log a｜x|在(－∞，0）上为减函数，可得a＞1，故g(－3）－g(2）＝(a－1）×错误!＞0⇒g(－3）＞g（2）,又g(4）－g （－3）＝(a－1)×错误!＞0⇒g(4）＞g(－3)，故有g(4）＞g（－3)＞g(2)．答案：D4．（2013年滨州模拟）已知函数y=f（x)的定义域是R，若对任意的正数a，函0数g（x）=f（x）-f(x-a)都是其定义域上的减函数，则函数y=f（x）的图象可能是( )答案：B5．已知函数f(x)＝错误!若f(2－a2）>f(a），则实数a的取值范围是( )A．（－∞，－1)∪（2，＋∞）B．（－1，2)C．（－2，1) D．(－∞，－2)∪(1,＋∞)解析:当x≥0时f（x)＝x2＋4x，可知f（x）在［0，＋∞)上递增，当x〈0时f(x)＝4x－x2，可判断f(x）在(－∞,0）上递增，故f(2－a2)>f(a）⇔2－a2>a，即a2＋a－2<0.解得－2〈a<1.答案：C二、填空题6．函数y＝－（x－3）|x｜的递增区间是________．解析：y＝－（x－3）|x｜＝错误!作出该函数的图象，观察图象知递增区间为错误!。
2014届高考数学(理)二轮复习大题规范训练四
弋阳一中2014届高考二轮复习 大题规范练(四) 立体几何综合题(限时：60分钟)1．(2013·高考新课标全国卷)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1//平面A 1CD . (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．2．(2014·成都市诊断检测)如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝AA 1＝2AB ＝2，∠BAC ＝90°，点D 是侧棱CC 1延长线上一点，EF 是平面ABD 与平面A 1B 1C 1的交线． (1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)当平面DAB 与平面CA 1B 1所成锐二面角的余弦值为2626时，求DC 1的长．3．(2013·高考辽宁卷)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB ⊥BC，O为AC中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．5．(2014·南昌市模拟)如图是多面体ABC－A1B1C1和它的三视图．(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE⊥平面A1CC1，若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值．6．(2014·郑州市质量检测)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E 分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′－BCDE.(1)在棱A′B上找一点F，使EF∥平面A′CD；(2)当四棱锥A′－BCDE的体积取最大值时，求平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．大题规范练(四)1．解：(1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .(4分) (2)由AC ＝CB ＝22AB ，得AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1，1，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)．(6分) 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.(8分)可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0，可取m ＝(2，1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63. 即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.(12分) 2．解：(1)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴平面ABC ∥平面A 1B 1C 1. 又平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，平面A 1B 1C 1∩平面ABD ＝EF ， ∴EF ∥AB .(2分)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，且∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AA 1，AB ⊥AC .而AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1. 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C . ∴EF ⊥A 1C .(6分)(2)建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz . 设C 1D ＝t (t ＞0)．则B (1，0，0)，C (0，2，0)，D (0，2，2＋t )，A 1(0，0，2)，B 1(1，0，2)．∴A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1C →＝(0，2，－2)． 设平面CA 1B 1的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B 1→＝0n ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1－z 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝1，∴n ＝(0，1，1)．同理，可求得平面DAB 的一个法向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－2t ＋2.(9分) 由|cos 〈n ，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－2t ＋22× 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋22＝2626，得t ＝1或t ＝－23(舍去)． ∴DC 1＝1.(12分)3．解：(1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面PBC .所以平面PBC ⊥平面PAC .(4分)(2)解法一：过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图(1)，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．(6分) 在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.又因为PA ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1)． 故CB →＝(3，0，0)，CP →＝(0，1，1)．(8分) 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0.所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0，1，－1)．因为AP →＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)， 设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，(10分)不妨令x 2＝1，则n 2＝(1，3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图(1)知二面角C －PB －A 为锐角，故二面角C －PB －A 的余弦值为64.(12分) 解法二：如图(2)，过C 作CM ⊥AB 于M ，因为PA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以PA ⊥CM .(6分)又因为PA ∩AB ＝A ，且PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CM ⊥平面PAB . 过M 作MN ⊥PB 于N ，连接NC ，由三垂线定理得CN ⊥PB ，所以∠CNM 为二面角C －PB －A 的平面角．(8分) 在Rt △ABC 中，由AB ＝2，AC ＝1，得BC ＝3，CM ＝32，BM ＝32.在Rt △PAB 中，由AB ＝2，PA ＝1，得PB ＝ 5.因为Rt △BNM ∽Rt △BAP ，所以MN1＝325，所以MN ＝3510.所以在Rt △CNM 中，CN ＝305，所以cos ∠CNM ＝64，所以二面角C －PB －A 的余弦值为64.(12分) 4．解：(1)∵AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，且O 为AC 中点，∴A 1O ⊥AC . 又侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ，A 1O ⊂平面A 1AC ， ∴A 1O ⊥平面ABC .(4分)(2)连接OB ，如图，以O 为原点，分别以OB 、OC 、OA 1所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B (1，0，0)，C (0，1，0)，A 1(0，0, 3)，A (0，－1，0)．∴A 1C →＝(0，1，－3)，令平面A 1AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AA 1→＝n ·AB →＝0.而AA 1→＝(0，1，3)，AB →＝(1，1，0)，可求得一个法向量n ＝(3，－3，3)，∴|cos 〈A 1C →，n 〉|＝|n ·A 1C →||n |·|A 1C →|＝62×21＝217，故直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值为217.(8分) (3)存在点E ，且E 为线段BC 1的中点． 取B 1C 的中点M ，从而OM 是△CAB 1的一条中位线，OM ∥AB 1，又AB 1⊂平面A 1AB ，OM ⊄平面A 1AB ，∴OM ∥平面A 1AB ，故BC 1的中点M 即为所求的E 点．(12分)5．解：(1)由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (－2，0，0)，C (0，－2，0)，C 1(－1，－1，2)，则CC 1→＝(－1，1，2)，A 1C 1→＝(－1，－1，0)，A 1C →＝(0，－2，－2)．(1分)设E (x ，y ，z )，则CE →＝(x ，y ＋2，z )，EC 1→＝(－1－x ，－1－y ，2－z )．(3分)设CE →＝λEC 1→，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－λx y ＋2＝－λ－λy ，z ＝2λ－λz则E ⎝⎛⎭⎪⎫－λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·A 1C 1→＝0BE →·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ1＋λ＋2＋λ1＋λ＝0－2－λ1＋λ＋2λ1＋λ＝0，解得λ＝2，所以线段CC 1上存在一点E ，CE →＝2EC 1→，使BE ⊥平面A 1CC 1.(6分) (2)设平面C 1A 1C 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0m ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0－2y －2z ＝0， 取x ＝1，则y ＝－1，z ＝1.故m ＝(1，－1，1)，(8分)而平面A 1CA 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13＝33，(11分)故平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值为33.(12分) 6．解：(1)点F 为棱A ′B 的中点．证明如下：取A ′C 的中点G ，连接DG ，EF ，GF ，则由中位线定理得DE ∥BC ，DE ＝12BC ，且GF ∥BC ，GF ＝12BC .(3分)所以DE ∥GF ，DE ＝GF ，从而四边形DEFG 是平行四边形，EF ∥DG . 又EF ⊄平面A ′CD ，DG ⊂平面A ′CD ，故点F 为棱A ′B 的中点时，EF ∥平面A ′CD .(5分) (2)在平面A ′CD 内作A ′H ⊥CD 于点H ，⎭⎪⎬⎪⎫DE ⊥A ′DDE ⊥CD A ′D ∩CD ＝D ⇒DE ⊥平面A ′CD ⇒DE ⊥A ′H ， 又DE ∩CD ＝D ，故A ′H ⊥底面BCDE ，即A ′H 就是四棱锥A ′－BCDE 的高． 由A ′H ≤AD 知，点H 和D 重合时，四棱锥A ′－BCDE 的体积取最大值．(7分) 分别以DC ，DE ，DA ′所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A ′(0，0，a )，B (a ，2a ，0)，E (0，a ，0)，A ′B →＝(a ，2a ，－a )，A ′E →＝(0，a ，－a )．(9分)设平面A ′BE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′B →＝0m ·A ′E →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2ay －az ＝0ay －az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －z ＝0y ＝z ， 可取m ＝(－1，1，1)．同理可以求得平面A ′CD 的一个法向量n ＝(0，1，0)． 故cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－1×0＋1×1＋1×03×1＝33，故平面A ′CD 与平面A ′BE 夹角的余弦值为33.(12分)。
2014届高考数学(理)二轮复习大题规范训练三
弋阳一中2014届高考二轮复习 大题规范练(三) 数列综合题(限时：60分钟)1．(2013·高考山东卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .2．已知公比为q 的等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1、32a 2、a 2成等差数列．(1)求a n ；(2)设{b n }是首项为2，公差为－a 1的等差数列，其前n 项和为T n ，求不等式T n －b n ＞0的解集．3．(2014·济南市模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1＜c n ≤13.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝(3n－1)n2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)nλ＜T n对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．5．(2014·辽宁省五校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n (其中p为非零常数，n ∈N *)． (1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n ；(3)当a ＝1时，令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .6．(2013·高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n＜74.大题规范练(三)1．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1.① 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *.②(4分) (2)由题意知T n ＝λ－n2n －1，所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，n ∈N *.(6分)所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .(8分)两式相减得34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n1－14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝13－1＋3n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14n， 整理得R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n ＋1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.(12分)2．解：(1)∵4a 1、32a 2、a 2成等差数列，∴4a 1＋a 2＝3a 2，即4a 1＝2a 2，∴q ＝2.(2分) 则S 6＝a 1（1－26）1－2＝21，解得a 1＝13，∴a n ＝2n －13.(5分)(2)由(1)得－a 1＝－13，∴b n ＝2＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝7－n 3，T n ＝2n ＋n2(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13n －n 26，(9分)∴T n －b n ＞0，即－（n －1）（n －14）6＞0，解得1＜n ＜14(n ∈N *)，故不等式T n －b n ＞0的解集为{n ∈N *|1＜n ＜14}．(12分) 3．解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1，① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，② ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)， 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1.(4分)∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(6分) (2)∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，(8分)∴c n ＝3n 3n ＋1＝n3n ，(9分) ∴c n ＋1－c n ＝1－2n3n ＋1＜0，(10分) ∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，(11分)即c n ＋1＜c n ≤13.(12分)4．解：(1)由题知，1a n ＋1＝a n ＋3a n ＝3a n＋1， ∴1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，∴1a n ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12·3n －1＝3n2， ∴a n ＝23n－1.(4分) (2)由(1)知，b n ＝(3n－1)·n2n ·23n －1＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，T n ＝1×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝1×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋()n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，(6分) 两式相减得，12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1.(8分) ∵T n ＋1－T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋32n －⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋22n －1＝n ＋12n ＞0，∴{T n }为递增数列．①当n 为正奇数时，－λ＜T n 对一切正奇数成立， ∵(T n )min ＝T 1＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1； ②当n 为正偶数时，λ＜T n 对一切正偶数成立， ∵(T n )min ＝T 2＝2，∴λ＜2. 综合①②知，－1＜λ＜2.(12分)5．解：(1)由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n.(1分)令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n . ∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列．(3分) (2)∵数列{c n }是首项为a ，公比为p 的等比数列， ∴c n ＝c 1·pn －1＝a ·pn －1，即a n ＋1a n＝ap n －1.(4分) 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(ap n －2)×(aq n －3)×…×(ap 0)×1＝a n －1p n 2－3n ＋22，(6分)∵a 1满足上式，∴a n ＝a n －1pn 2－3n ＋22，n ∈N *.(7分)(3)∵a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝(ap n )×(ap n －1)＝a 2p 2n －1， ∴当a ＝1时，b n ＝na n ＋2a n＝np 2n －1.(8分) ∴S n ＝1×p 1＋2×p 3＋…＋np2n －1，①p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)p 2n －1＋np 2n ＋1.②∴当p 2≠1时，即p ≠±1时，①－②得：(1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p2n －1－np2n ＋1＝p （1－p 2n ）1－p－np 2n ＋1， 即S n ＝p （1－p 2n ）（1－p 2）2－np 2n ＋11－p2；(11分)当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2；(12分)当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n )＝－n （n ＋1）2.(13分)综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2，p ＝1，－n （n ＋1）2，p ＝－1，p （1－p 2n）（1－p 2）2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1.6．解：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2分)(2)解法一：由题意2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，(4分)两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得na n ＋1－(n ＋1)a n ＝n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1.(6分) 又当n ＝1时，a 22－a 11＝42－11＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a n n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(8分) 解法二：因为2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，所以2S n n ＝S n ＋1－S n －13n 2－n －23.(4分)整理得n ＋2n S n ＝S n ＋1－13(n ＋1)(n ＋2)， 所以S n ＋1（n ＋1）（n ＋2）－S n n （n ＋1）＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n （n ＋1）是首项为S 12，公差为13的等差数列，(6分)所以S n n （n ＋1）＝S 12＋13(n －1)＝2n ＋16，所以S n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）6，所以S n －1＝（n －1）n （2n －1）6(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝n 2(n ≥2)． 因为a 1＝1符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(8分) (3)证明：设T n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n.当n ＝1时，T 1＝1a 1＝1＜74；当n ＝2时，T 2＝1a 1＋1a 2＝1＋14＝54＜74；当n ≥3时，1a n ＝1n2＜1（n －1）n ＝1n －1－1n，(10分)此时T n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.(12分)。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：2.4 指数与指数函数
第4讲 指数与指数函数【2014年高考会这样考】1．考查指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用． 3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算和幂的比较大小． 4．考查指数函数与函数、方程、不等式等内容结合的综合问题.考点梳理1．根式 (1)根式的概念根式符号表示备注 如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根 n >1且n ∈N * 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数n a零的n 次方根是零 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数±na负数没有偶次方根①n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)，－a (a <0)，n 为偶数.②⎝⎛⎭⎫n a n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)． 2．分数指数幂(1)正分数指数幂是：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)； (2)负分数指数幂是：a －m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)；(3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．3．有理指数幂的运算性质(1)a r·a s＝a r ＋s (a>0，r、s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r、s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．4．指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象与性质a>10<a<1 图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1x<0时，y>1在(－∞，＋∞)上递增在(－∞，＋∞)上递减一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论．(2)换元时注意换元后“新元”的范围．三个关键点画指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . 考点自测1．若log 2a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b >1，则( )．A ．a >1，b >0B ．a >1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析 由log 2a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b >1，得0<a <1，b <0.答案 D2．(2011·四川)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )．解析 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象如图，作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A. 答案 A3．若lg a ＋lg b ＝0(其中a ≠1，b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝b x 的图象( )． A ．关于直线y ＝x 对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于原点对称解析 由lg a ＋lg b ＝0得lg ab ＝0，∴ab ＝1.∴b ＝1a ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x，∴f (x )＝a x 与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x的图象关于y 轴对称．答案 C4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1的值域为( )．A ．(－∞，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由x 2≥0，得0<1x 2＋1≤1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫121≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫120，即12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1<1.故函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.答案 C5．(人教A 版教材习题改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的值为________． 解析 [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝23－1＝7.答案 7考向一 指数幂的化简与求值【例1】►化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23·b －1－12·a －12·b 136a ·b 5；(2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. [审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键． 解 先化为分数指数幂，再进行运算．(1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab4ab 2.在解决分数指数幂的运算时，应注意如下几点：(1)尽量将根式、小数指数幂统一为分数指数幂；(2)尽量运用乘法公式；(3)对于有些指数式的问题，有时应转化为对数；(4)注意整体代换思想在指数式运算中的应用． 【训练1】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42＋(32×3)6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________； (2)a 35b 2·35b 34a 3＝________； (3)a 43－8a 13ba 23＋23ab ＋4b 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2 3b a ×3a ＝________. 解析 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214＋(213×312)6－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2＋4×27＝110.(2)a 35b 2·35b 34a 3＝a 32－312·b 315－210＝a 54＝a 4a . (3)令a 13＝m ，b 13＝n ，则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n m ·m ＝m (m 3－8n 3)m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n ＝m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)(m 2＋2mn ＋4n 2)(m －2n )＝m 3＝a . 答案 (1)110 (2)a 4a (3)a考向二 指数函数的图象及应用【例2】►(2012·四川)函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )．[审题视点] 对a 分a >1和0<a <1两种情况讨论，然后结合指数函数的性质(如单调性)进行判断．解析注意到当0<a<1时，函数y＝a x－1a是减函数，且其图象可视为是由函数y＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到的，结合各选项知，选D.答案 D(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．【训练2】画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？解函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．考向三指数函数的性质及应用【例3】►已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决．解 (1)因为函数的定义域为R ，所以关于原点对称． 又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．(3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数，所以f (－1)≤f (x )≤f (1)，所以f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a ＝－1.所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]．(1)判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系；(2)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论；(3)解决恒成立问题，一般需通过分离变量，转化为求函数的最值等来实现．【训练3】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12·x 3(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立． 解 (1)由于a x －1≠0，且a x ≠1，所以x ≠0. ∴函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． (2)对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(3)当a >1时，对x >0，由指数函数的性质知 a x >1， ∴a x －1>0，1a x －1＋12>0. 又x >0时，x 3>0，∴x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12>0， 即当x >0时，f (x )>0.又由(2)知f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )， 则当x <0时，－x >0，有f (－x )＝f (x )>0成立． 综上可知，当a >1时，f (x )>0在定义域上恒成立． 当0<a <1时，f (x )＝(a x ＋1)x 32(a x －1).当x >0时，0<a x <1，a x ＋1>0，a x －1<0，x 3>0，此时f (x )<0，不满足题意； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝f (x )<0，也不满足题意． 综上可知， 所求a 的取值范围是(1，＋∞)．热点突破5——有关求解指数型函数中参数的取值范围问题【命题研究】 通过对近三年高考试题分析，对本讲考查的题目源于教材，略高于教材，是教材中问题的延伸与组合，指数函数作为中学阶段的基本函数，其图象和性质是重要的考查热点．题型有：解简单的指数方程、不等式，利用数形结合思想判断方程解的个数、与不等式相结合考查代数式的最值或参数的取值范围等．多以选择题、填空题出现，难度以中档题为主． 【真题探究】► (2012·上海)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．[教你审题] 本题为指数型的复合函数，利用复合函数的单调性的判定判断，结合函数图象求解．[解法] 因为y ＝e u 是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1. [答案] (－∞，1][反思] 有关复合函数的单调性要利用“同增异减”的判定法则来求解，若指数函数的底数不确定时还要进行分类讨论．【试一试】 (2013·焦作模拟)若函数y ＝e (a －1)x ＋4x (x ∈R )有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－3，＋∞) B ．(－∞，－3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 解析 由题意得y ′＝(a －1)e (a －1)x ＋4，设函数的大于零的极值点为x 0，则(a －1)e(a －1)x 0＋4＝0，∴e(a －1)x 0＝41－a.∵e(a －1)x 0>0，∴1－a >0，又极值x 0>0，则(a －1)x 0<0， ∴0<e(a －1)x 0<1，∴0<41－a<1，得a <－3.答案 BA 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为 ( )．A ．0B.33C ．1D. 3解析 由题意有3a ＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3.答案 D2．(2012·天津)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析 a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a . 答案 A3．(2013·佛山模拟)不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点，则这个定点的坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 解析 y ＝(a －1)2x－a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a－1)2x －a 2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.答案 C4．定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1]( )．A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x *2－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，2－x ，x >0，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·太原模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤14. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，146．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x <0，－2－x，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是________． 解析 当x >0时，有f (x )<0；当x <0时，有f (x )>0.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2f (x )，f (x )<0，－2－f (x )，f (x )>0＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2－x ，x >0，－2－2x ，x <0.而当x >0时，－1<－2－x <0，则12<2－2－x <1. 而当x <0时，－1<－2x <0，则－1<－2－2x <－12. 则函数y ＝f (f (x ))的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求证f (x )在R 上为增函数．(1)解 因为函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x 2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，有 f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)， ∵x 1<x 2,2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在R 上是增函数．8．(13分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a .解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪t >1或t <－13. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )．A.12B.14C ．2D ．4解析 由题意知f (1)＋f (2)＝log a 2＋6，即a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)． 答案 C2．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是下图中的( )．解析 函数f (x )＝(k －1)a x －a －x 为奇函数，则f (0)＝0，即(k －1)a 0－a 0＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －a －x ，又f (x )＝a x －a －x 为减函数，故0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)为减函数且过点(－1,0)． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，且f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析 由已知得f (1)＝21＋1＝3，故 f (f (1))>3a 2⇔f (3)>3a 2⇔32＋6a >3a 2.解得－1<a <3. 答案 (－1,3)4．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析 x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，故m ≥14.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞三、解答题(共25分)5．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)若f (x )是[0,1]上的增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]， f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x－a ·2x ， ∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]．令t ＝2x，t ∈[1,2]，∴g (t )＝a ·t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a24，当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1；当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4.综上，当a ≤2时，f (x )的最大值为a －1；当2<a <4时，f (x )的最大值为a 24；当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4.(2)∵函数f (x )在[0,1]上是增函数，∴f ′(x )＝a ln 2×2x －ln 4×4x ＝2x ln 2·(a －2×2x )≥0，∴a －2×2x ≥0恒成立，∴a ≥2×2x .∵2x ∈[1,2]，∴a ≥4. 6．(13分)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x <0时， f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12， ∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)， ∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
新课标普通高中2014届高三数学(理)二轮专题学生版(word版另附)
直通车2014届高三数学(理)2014年3月专题1集合、基本初等函的图象与性质1．同时满足两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是()．A．f(x)＝－x|x|B．f(x)＝x3C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ln xx2.（2012湖北）函数在区间上的零点个数为()．A．4B．5C．6D．73．函数f(x)＝log2|x|，g(x)＝－x2＋2，则f(x)·g(x)的图象只可能是()．4．（2013浙江）已知为正实数,则()．A. B.C. D.5．（2012山东）定义在上的函数满足.当时，，当时，。
则（）A335B338C1678D20126.（2011湖北）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则()．A. B. C. D.7.（2011湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则()．A.5太贝克B.太贝克C.太贝克D.150太贝克8．（2013重庆）已知全集,集合,,则()A. B. C. D.9．（2013湖北）已知全集为,集合,,则()A. B.C. D.0．（2013重庆）命题“对任意,都有”的否定为（）A．对任意,都有B．不存在,都有C．存在,使得D．存在,使得11．（2013四川）设,集合是奇数集,是偶数集.若命题,则（）A．B．C．D．12．（2013湖北）在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．B．C．D．13．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N＝________.14.已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．15．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对∀x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有f x1－f x2x1－x2<0，给出下列命题：①f(2)＝0；②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－4,4]上有四个零点；④f(2014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．16．（2013江苏）已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集用区间表示为___________.17.（2011四川）计算_______．18．已知函数f(x)＝log a(x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0,1)时总有f (x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．专题2函数与方程及函数的应用1．“a>3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件２.（2012天津）函数在区间(0,1)内的零点个数是()．A0B1C2D3３．（2013天津）函数的零点个数为（）A1B2C3D4４．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝ln x－2x 的零点，则[x0]＝________.5.（2011福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．6.（2011湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）专题3不等式及线性规划问题1．已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则1ab的最小值为()．A.14B．4 C.12D．22．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()．A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b23.（2012重庆）不等式的解集为（）A. B. C. D.对4.（2012四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品。
2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业5 第2章 函数2含解析
课时作业（五)1．(2012·山东)函数f（x）＝错误!＋错误!的定义域为A．[－2，0）∪（0,2] B．（－1,0)∪（0，2］C．［－2,2］D．(－1,2]答案B解析由错误!得错误!所以f（x）的定义域为(－1,0）∪（0，2]．2．下表表示y是x的函数,则函数的值域是（A。
［2，5］C．（0，20] D．｛2，3，4,5｝答案D解析由表知函数值只有2,3，4，5四个数，故值域为{2,3,4，5}．3．若函数y＝f(x）的值域是[1，3］，则函数F(x）＝1－2f(x＋3）的值域是( )A．［－5，－1] B．［－2，0］C．［－6,－2] D．［1,3]答案A解析∵1≤f（x)≤3，∴1≤f（x＋3)≤3.∴－6≤－2f（x＋3)≤－2，∴－5≤F（x)≤－1.4．若函数y＝错误!x2－2x＋4的定义域、值域都是[2,2b］（b>1)，则（)A．b＝2 B．b≥2C．b∈（1,2）D．b∈(2,＋∞）答案A解析∵函数y＝12x2－2x＋4＝错误!（x－2）2＋2,其图像的对称轴为直线x＝2,∴在定义域[2,2b]上，y为增函数．当x＝2时，y＝2；当x＝2b时，y＝2b.故2b＝错误!×（2b)2－2×2b＋4，即b2－3b＋2＝0,得b1＝2，b2＝1.又∵b>1，∴b＝2.5．若函数y＝f（x）的定义域是[0，2］，则函数g(x)＝错误!的定义域是( ）A．[0,1] B．［0,1）C．［0，1)∪（1,4] D．（0，1)答案B解析∵y＝f（x）的定义域为［0，2］,∴g(x）的定义域需满足错误!解得0≤x〈1,故选B。
6．函数y＝错误!(x〉0)的值域是( A．（0，＋∞）B．(0，错误!）C．（0，错误!] D．［错误!,＋∞）答案C解析由y＝错误!（x〉0），得0〈y＝错误!＝错误!≤错误!＝错误!，因此该函数的值域是(0，错误!］，选C.7．函数f(x)＝a x＋log a(x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值的和为a，则a的值是( ）A。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义2.9函数的应用
第9讲函数的应用【2014年高考会这样考】1．考查二次函数模型的建立及最值问题．2．考查分段函数模型的建立及最值问题．3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题．4．合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值.对应学生34考点梳理1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝ax＋b(a≠0)；(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)；(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)指数函数模型：y＝N(1＋p)x(x>0，p≠0)(增长率问题)；(5)对数函数模型y＝b log a x(x>0，a>0且a≠1)；(6)幂函数模型y＝x n；(7)y＝x＋ax型(x≠0)；(8)分段函数型．2．三种函数模型图象与性质比较一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论．考点自测1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为( )．A ．95元B ．100元C ．105元D ．110元解析 设定价为(90＋x )元，则每件商品利润为90＋x －80＝(10＋x )(元)，利润y ＝(10＋x )(400－20x )＝20(x ＋10)·(20－x )＝－20(x －5)2＋4 500，当x ＝5时，利润最大，故售价定为95元．答案 A2．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后甲桶中的水只有a 8，则m 的值为( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.答案 D3．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再慢慢走余下的路程，图中纵坐标表示离学校的距离s，横坐标表示出发后的时间t，则如图所示的四个图形中较符合该学生走法的是()．解析纵轴表示离学校的距离，排除A，C，开始跑步，后慢慢走，说明函数开始下降较快，后来下降较慢．答案 D4．(2011·湖北)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．答案610 0005．(人教A版教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．解析已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*答案y＝a(1＋r)x，x∈N*对应学生35考向一 一次函数、二次函数模型【例1】►据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．[审题视点] 正确理解s 的意义及函数v ＝f (t )的图象是解答此题的关键，该函数的定义域即风暴发生的时间由函数v ＝f (t )的图象确定，即0≤t ≤35. 解 (1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650， t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30，∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．1.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．2．当两变量之间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数则可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起，要注意各段变量的范围，特别是端点．【训练1】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系；(2)求日销售额S 的最大值．解 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2t ＋200)⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N 45(－2t ＋200)，31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎨⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N . (2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400，∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400；②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数，∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210.∵6 210<6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400. 考向二 指数函数模型【例2】►有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V m 3，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r m 3.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t 时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )＝p r ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r e －r V t (p ≥0)，其中g (0)是湖水污染的初始质量分数．(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)求证：当g (0)<p r 时，湖泊的污染程度将越来越严重；(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%?[审题视点] 本题信息量大，解析式较繁，需要考生有较强的阅读理解能力和计算能力，同时，对题目的转化尤为重要，(2)中即证明g (t )递增；(3)中转化为解方程即可．(1)解 设0≤t 1<t 2，∴g (t )为常数，∴g (t 1)＝g (t 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫e －r V t 1－e －r V t 2＝0.∴g (0)＝p r .(2)证明 设0<t 1<t 2，则g (t 1)－g (t 2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·(e －r V t 1－e －r V t 2) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·e r V t 2－e r V t 1e r V (t 1＋t 2). ∵g (0)－p r <0，t 1<t 2，∴g (t 1)<g (t 2)．故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重．(3)解 污染源停止，即p ＝0，此时g (t )＝g (0)·e －r V t .设要经过t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g (t )＝5%·g (0)，即有5%·g (0)＝g (0)·e －r V t .由实际意义知g (0)≠0，∴120＝e －r V t .∴t ＝V r ln 20，即需要V r ln 20天时间．1.指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．【训练2】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？解 (1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t >1. 当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ＝4，得a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎨⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得116≤t ≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时． 考向三 函数y ＝x ＋a x模型【例3】►上海某玩具厂生产x 万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为P 元，且P ＝1 000＋5x ＋110x 2，x ∈(0,200]，而每万套售出价格为Q 元，其中Q ＝a x ＋b (a >5 000，b >5)．(1)该玩具厂生产多少万套吉祥物时，使得每万套成本费用最低？(2)若产出的吉祥物能全部售出，产量多大时，厂家所获利润最大？[审题视点] 用基本不等式求最值，注意等号成立的条件．解 (1)P x ＝1 000＋5x ＋110x 2x ＝1 000x ＋x 10＋5≥25(当且仅当x ＝100时，取等号)，∴生产100万套时，每万套成本费用最低．(2)由题设，利润f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b x －(1 000＋5x ＋110x 2)＝－110x 2＋(b －5)x ＋a －1 000＝－110[x －5(b －5)]2＋a －1 000＋52(b －5)2，x ∈(0,200]．当5(b －5)≤200，即5<b ≤45时，[f (x )]max ＝f [5(b －5)]＝52(b －5)2＋a －1 000，∴当产量为(5b －25)万套时，利润最大．当b >45时，函数f (x )在(0,200]上是增函数，∴当产量为200万套时，[f (x )]max ＝200b ＋a －6 000.对于y ＝x ＋a x (a >0)类型的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，或利用函数的单调性求最值．【训练3】 (2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解(1)由已知条件C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥2 (6x＋10)8003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5即x＝5时等号成立．所以当隔热层为 5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．对应学生36规范解答2——函数建模及函数应用问题【命题研究】从近三年的高考试题来看，建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．预测2014年高考仍将以函数建模为主要考点，同时考查利用导数求最值问题．【真题探究】►(本小题满分12分)(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[教你审题] 解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示成x 的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解．[规范解答] 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )(0<x <30)．(2分) (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，(4分)所以当x ＝15时，S 取得最大值．(6分)(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，(8分)V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.(9分)当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．(11分)此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.(12分)[阅卷老师手记] (1)在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，但应注意结果与实际情况相符合． (2)用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．解函数应用题的一般程序是：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文学语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．【试一试】 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支 2 000元． Z&xx&k(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20<P ≤26， 代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600(20<P ≤26)，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．对应学生241A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·成都调研)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为 ( )．解析 由题意可得y ＝(1＋10.4%)x .答案 D2．(2013·青岛月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )．A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 A3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )． A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30(x ≥0)，∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案 B4．(2013·太原模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x－25x ＋12，∵x ∈N *，∴y x ≤－2 x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取“＝”．∴x ＝5时营运的年平均利润最大．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.答案 46．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析 设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486. 答案 30 cm 、20 cm三、解答题(共25分)7．(12分)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y (元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29，y 2＝12x .(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623 时，y 1>y 2，即使用“便民卡”便宜；当x >9623时，y 1<y 2，即使用“如意卡”便宜．8．(13分)(2013·济宁模拟)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解 (1)由题意得：10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000，即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500.即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x )(1＋0.2x %)万元，则10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x )(1＋0.2x %)，所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －1500x 2，所以ax ≤2x 2500＋1 000＋x ，即a ≤2x 500＋1 000x ＋1恒成立，因为2500x ＋1 000x ≥2 2x 500×1 000x ＝4，当且仅当2x 500＝1 000x ，即x ＝500时等号成立．所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·潍坊联考)一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x ，y剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，记y ＝f (x )，则y ＝f (x )的图象是 ( )．解析 由题意得2xy ＝20，即y ＝10x ，当x ＝2时，y ＝5，当x ＝10时，y ＝1时，排除C ，D ，又2≤x ≤10，排除B.答案 A2．(2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )． A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克解析 由题意M ′(t )＝M 02－t 30⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2， M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2＝－10ln 2， ∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·阜阳检测)按如图所示放置的一边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y＝f (x )，则y ＝f (x )在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为________．解析 将P 点移到原点，开始运动，当P 点第一次回到x 轴时经过的曲线是三段首尾相接的圆弧，它与x 轴围成的区域面积为π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1＋π4＝π＋1. 答案 π＋14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 解析 由已知条件y ＝⎩⎨⎧ 8，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6解得x ＝9.答案 9三、解答题(共25分)5．(12分)(2011·湖南)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速度移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解 (1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v(3|v －c |＋10)． (2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5(3c ＋10)v－15； 当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5(10－3c )v＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5(3c ＋10)v －15，0<v ≤c ，5(10－3c )v ＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v的增函数．故当v ＝c 时，y min ＝50c. 6．(13分)(2013·徐州模拟)某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．(1)设半圆的半径OA ＝r (米)，设建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S (r )；(2)由于条件限制r ∈[30,40]，问当r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)解 (1)塑胶跑道面积S ＝π[r 2－(r －8)2]＋8×10 000－πr 22r ×2 ＝80 000r ＋8πr －64π.∵πr 2＜10 000，∴0＜r ＜100π.(2)设运动场的造价为y 元， y ＝150×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －64π＋30×⎝ ⎛10 000－80 000r)－8πr ＋64π＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π.令f (r )＝80 000r ＋8πr ，∵f ′(r )＝8π－80 000r 2， 当r ∈[30,40]时，f ′(r )＜0， ∴函数y ＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π在[30,40]上为减函数．∴当r ＝40时，y min ≈636 510，即运动场的造价最低为636 510元.。
【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：选修4-4.2 参数方程 Word版含解析]
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选修4-4 第2讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2013·黔江模拟]直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝1－t (t 为参数)的倾斜角的大小为( )A. －π4B. π4C. π2 D. 3π4答案：D解析：由题意知该直线方程为x ＋y ＝2，所以k ＝－1，α＝3π4.2．[2013·钦州模拟]参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为( )A. 抛物线一部分B. 一条抛物线C. 双曲线的一部分D. 一条双曲线答案：A解析：y 2＋x ＝1，∵x ∈[0,1]，y ∈[－1,1]，∴是抛物线的一部分．3. 已知在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 22＋y 23＝1上的一个动点，则S ＝x＋y 的取值范围为( )A. [5，5]B. [－5，5]C. [－5，－5]D. [－5，5]答案：D解析：因椭圆x 22＋y 23＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(2cos φ，3sin φ)，其中0≤φ<2π，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5(25cos φ＋35sin φ)＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝63，所以S 的取值范围是[－5，5]，故选D. 4. [2013·合肥模拟]已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )A. 13B. 15C. －13D. －15答案：D解析：⊙O 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C (－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线距离最大，∵k CA ＝－5，∴－k ＝15，∴k ＝－15.5. [2013·皖南八校联考]已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，则直线l 被圆所截得的弦长为( )A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D解析：由题意知，直线l 的普通方程为3x －y －3＝0，由极坐标系与直角坐标系的关系知，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，设AB 的中点为M ，在Rt △AMC 中，AC ＝5，CM ＝|3－2－3|3＋1＝1，∴AM ＝5－1＝2，∴AB ＝2AM＝4.故截得的弦长为4.6. [2013·台州质检]如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θy ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数a 的取值范围是( )A. (－22，0)B. (0,22)C. (－22，0)∪(0,22)D. (1,22)答案：C解析：将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)转化为普通方程，即(x －a )2＋(y－a )2＝4，由题意可知，问题可转化为以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件得0<2a 2<4，∴0<a 2<8，解得0<a <22或－22<a <0.二、填空题7. [2013·伊春模拟]在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋s y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________. 答案： 2解析：直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，由线l 的普通方程为y ＝(x －2)2(y ≥0)，联立两方程得x 2－3x ＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB |＝ 2.8. [2013·邵阳模拟]若圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ＋1y ＝3sin θ(θ为参数)，则圆C 的圆心坐标为________，圆C 与直线x ＋y －3＝0的交点个数为________．答案：(1,0) 2解析：由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ＋1y ＝3sin θ消去参数，得(x －1)2＋y 2＝9，所以圆心为(1,0)，半径为3，圆心(1,0)到直线x ＋y －3＝0的距离为d ＝|－2|2＝2<3，所以直线与圆有2个交点．9. [2013·唐山模拟]已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈[π，2π])上，则yx 的取值范围是________．答案：[0，33] 解析：由条件可知点P 在圆(x ＋2)2＋y 2＝1的下半圆周上，如图设k ＝y x ＝y －0x －0，则k ＝k PO ，即直线PO 与半圆有公共点时，斜率的取值范围． 又直线与圆相切时k ＝33.∴y x ∈[0，33]． 三、解答题10. [2013·扬州模拟]已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解：(1)原方程变形为 ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0. x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.(2)圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，所以x ＋y ＝4＋2sin(α＋π4)．所以x ＋y 的最大值为6，最小值为2.11. [2013·嘉兴模拟]已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π6)＝0.(1)写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程； (2)求圆C 截直线l 所得的弦长．解：(1)消去参数θ，得圆C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. 由ρcos(θ＋π6)＝0，得32ρcos θ－12ρsin θ＝0.∴直线l 的直角坐标方程为3x －y ＝0.(2)圆心(3，1)到直线l 的距离为d ＝|3×3－1|(3)2＋12＝1. 设圆C 截直线l 所得弦长为m ， 则m2＝r 2－d 2＝9－1＝2 2. ∴m ＝4 2.12. [2013·福建调研]在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P (4，π2)，化为直角坐标，得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，则Q 的坐标为(3cos α，sin α)． 从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos (α＋π6)＋42＝2cos(α＋π6)＋2 2.由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习单元训练基本初等函数
基本初等函数(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 设f (x )＝x n ，∴f (4)＝12，即4n ＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝4－n ＝2.答案 B2．(2013·湖南长郡中学一模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，若f (x )>1成立，则实数x 的取值范围是 ( )．A ．(－∞，－2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12 D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析 当x ≤－1时，由(x ＋1)2>1，得x <－2，当x >－1时，由2x ＋2>1，得x >－12，故选D. 答案 D3．(2013·银川一模)设函数f (x )是奇函数，并且在R 上为增函数，若0≤θ≤π2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12D ．(－∞，1)解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (m sin θ)>－f (1－m )＝f (m －1)．又f (x )在R 上是增函数，∴m sin θ>m －1，即m (1－sin θ)<1.当θ＝π2时，m ∈R ；当0≤θ<π2时，m <11－sin θ.∵0<1－sin θ ≤1，∴11－sin θ≥1.∴m <1.故选D.答案 D4．(2013·济南模拟)已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124＝－3，则a 的值为( )．A. 3B ．3C ．9D.32解析 ∵f (log 124)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 214＝f (－2)＝－f (2)＝－a 2＝－3，∴a 2＝3，解得a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3. 答案 A5．(2013·福州质检)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )．A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >a解析 由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c . 答案 A6．(2013·广州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≤0，a x ，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2，故选B. 答案 B7．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )．A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n解析 取a ＝2，则m ＝log 25，n ＝log 21＝0，p ＝log 24，∴m >p >n . 答案 B8．(2013·北京东城区综合练习)设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3，c ＝ln π，则 ( )．A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c解析 a ＝log 123<log 121＝0,0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1，c ＝ln π>ln e ＝1，故a <b <c .答案 A9．(2013·安徽名校模拟)设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13解析 由f (2－x )＝f (x )，得f (1－x )＝f (x ＋1)，即函数f (x )的对称轴为x ＝1，结合图形可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (0)＝f (2)，故选C.答案 C10．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数：f K (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝a －|x |(a >1)．当K ＝1a 时，函数f K (x )在下列区间上单调递减的是( )．A ．(－∞，0)B ．(－a ，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析 函数f (x )＝a －|x |(a >1)的图象为右图中实线部分，y ＝K ＝1a 的图象为右图中虚线部分，由图象知f K (x )在(1，＋∞)上为减函数，故选D. 答案 D二、填空题(每小题5分，共25分)11．(2012·西安质检)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x <3，3x －m ，x ≥3，且f (f (2))>7，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵f (2)＝4，∴f (f (2))＝f (4)＝12－m >7，∴m <5. 答案 (－∞，5)12．(2013·福州质检)函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________.解析 由3x －a >0，得x >a 3，又因函数y 的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，所以a 3＝23，a＝2. 答案 213．若f (x )＝1＋lg x ，g (x )＝x 2，那么使2f [g (x )]＝g [f (x )]的x 的值是________． 解析 ∵2f [g (x )]＝g [f (x )]，∴2(1＋lg x 2)＝(1＋lg x )2，∴(lg x )2－2lg x －1＝0，∴lg x ＝1±2，x ＝101±2. 答案 101±214．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＋n ＝________.解析 由已知条件可得m <1<n ，且f (m )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝f (n )，即1m ＝n ，∴m 2<m <1，函数f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝2f (m )＝2f (n )＝2log 2n ＝2，解得n ＝2，m ＝12，∴m ＋n ＝52. 答案 5215．(2012·杭州高中月考)关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间(－1,0)，(2，＋∞)上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值． 其中所有正确结论的序号是________．解析 f (x )＝lg x 2＋1|x |为偶函数，故①正确；又令u (x )＝x 2＋1|x |，则当x >0时，u (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，[1，＋∞)上递增，∴②错误，③④正确；⑤错误． 答案 ①③④。
【金版教程】2014届高考数学总复习 2.11 导数的应用(一)限时规范训练 理 新人教A版
【金版教程】2014届高考数学总复习 2.11 导数的应用(一)限时规X训练 理 新人教A 版(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2013·鸡西模拟]函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A. (－∞，2) B. (0,3) C. (1,4) D. (2，＋∞) 答案：D解析：由题意知，f ′(x )＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由f ′(x )>0得x >2.故选D. 2. [2012·某某高考]设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A. x ＝12为f (x )的极大值点B. x ＝12为f (x )的极小值点C. x ＝2为f (x )的极大值点D. x ＝2为f (x )的极小值点 答案：D解析：f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，∵x >0，∴当x >2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数， ∴x ＝2为f (x )的极小值点．3. [2013·金版原创]若a >1，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0,2)内零点的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 0 答案：C解析：f ′(x )＝x 2－2ax ，由a >1可知，f ′(x )在x ∈(0,2)时恒为负，即f (x )在(0,2)内单调递减，又f (0)＝1>0，f (2)＝83－4a ＋1<0，所以f (x )在(0,2)内只有一个零点．故选C.4. [2013·某某名校模考]设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则( )A. a <－1B. a >－1C. a <－1eD. a >－1e答案：A解析：由题知y ′＝e x＋a ＝0有大于0的实根，即x ＝ln(－a )>0⇒－a >1⇒a <－1. 5. 已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A. f (b )>f (c )>f (d )B. f (b )>f (a )>f (e )C. f (c )>f (b )>f (a )D. f (c )>f (e )>f (d ) 答案：C解析：依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.6. [2013·某某质检]设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值X 围是( )A. 1<a ≤2B. a ≥4C. a ≤2D. 0<a ≤3 答案：A解析：∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上函数f (x )是减函数，∴a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.二、填空题7. 如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号) 答案：②③解析：由导函数图象可知f (x )在[－2，－1]上递减，在[－1，2]上递增，在[2,4]上递减，x ＝－1为极小值点，x ＝3不是极值点，故②③正确．8. [2013·某某模拟]函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值X 围是________．答案：a >2或a <－1解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0， 即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.因为函数f (x )有极大值又有极小值，所以方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.9. [2013·某某模拟]已知函数y ＝－13x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值X 围是________．答案：b <－1或b >3解析：y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立， ∴Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值X 围是b <－1或b >3. 三、解答题10. [2013·某某质检]设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值X 围． 解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax1＋ax22.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知x (－∞，12)12 (12，32) 32 (32，＋∞) f ′(x )＋－＋f (x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知1＋ax2－2ax ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值X 围为{a |0<a ≤1}．11. [2013·某某模拟]已知函数f (x )＝ln x ＋ax－1(a ∈R)．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )在区间(0，e]上有零点，某某数a 的取值X 围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln x ＋1x2＝－ln xx2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． ∴f (x )在x ＝1处取得极大值，f (x )极大值＝f (1)＝0. (2)仿(1)可得f (x )在x ＝e 1－a处取得极大值，f (x )极大值＝f (e1－a)＝ea －1－1.(ⅰ)当e 1－a<e ，即a >0时，仿(1)知f (x )在(0，e 1－a)上是增函数，在(e 1－a，e]上是减函数，∴f (x )max ＝f (e1－a)＝ea －1－1.又当x ＝e －a时，f (x )＝－1，∴f (x )的图象在区间(0，e]上有零点，等价于e a －1－1≥0，解得a ≥1，又a >0，∴a ≥1. (ⅱ)当e1－a≥e，即a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，又当x ＝e －a时，f (x )＝－1，∴①当e －a≤e，即a ≥－1时，f (x )在(0，e]上的最大值为f (e)＝1＋a －e e ，∴原问题等价于1＋a －ee ≥0，解得a ≥e－1.又∵a ≤0，∴此时无解．②当e －a >e ，即a <－1时，f (x )在(0，e]上的最大值为f (e)＝1＋a －e e <f (e －a)＝－1，∴此时无解． 综合(ⅰ)(ⅱ)得a ≥1.12. [2013·琼海模拟]已知函数f (x )＝e x＋ax －1(a ∈R ，且a 为常数)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对所有x≥0都有f(x)≥f(－x)，求a的取值X围．解：(1)f′(x)＝e x＋a，当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，当a<0时，由f′(x)>0，得x>ln(－a)，f(x)在(ln(－a)，＋∞)上是单调增函数；由f′(x)<0，得x<ln(－a)，f(x)在(－∞，ln(－a))上是单调减函数．综上，a≥0时，f(x)的单调增区间是(－∞，＋∞)；a<0时，f(x)的单调增区间是(ln(－a)，＋∞)，单调减区间是(－∞，ln(－a))．(2)当x≥0时，f(x)≥f(－x)恒成立，即e x＋ax≥e－x－ax恒成立，即e x－e－x＋2ax≥0恒成立，令h(x)＝e x－e－x＋2ax，即当x≥0时，h(x)≥0恒成立，又h′(x)＝e x＋e－x＋2a，且h′(x)≥2e x·e－x＋2a＝2＋2a，x＝0时等号成立．①当a≥－1时，h′(x)≥0，所以h(x)在[0，＋∞)上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0恒成立．②当a<－1时，方程h′(x)＝0的正根为x1＝ln(－a＋a2－1)，当x∈(0，x1)时，h′(x)<0，故h(x)在该区间为减函数，所以，x∈(0，x1)时，h(x)<h(0)＝0，∴a<－1时不符合题意．综上，a的取值X围是[－1，＋∞)．。
2014高考数学(理)基础+难点一轮复习演练必备(人教A版通用)第5讲函数的单调性与最值
[第5讲 函数的单调性与最值](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)2．函数f (x )＝1－1x在[3，4)上( ) A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在3．[2013·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R4．函数f (x )＝x x ＋1的最大值为________．能力提升5．[2013·宁波模拟] 已知f (x )是定义在实数集R 上的增函数，且f (1)＝0，函数g (x )在(－∞，1]上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，且g (4)＝g (0)＝0，则集合{x |f (x )g (x )≥0}＝( )A ．{x |x ≤0或1≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |x ≤4}D ．{x |0≤x ≤1或x ≥4}6．[2013·全国卷] 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.127．[2013·哈尔滨师大附中期中] 函数y ＝⎝⎛⎭⎫121x 2＋1的值域为( ) A ．(－∞，1) B.⎝⎛⎭⎫12，1C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 8．[2013·惠州二调] 已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．(2－2，2＋2)B ．[2－2，2＋2]C ．[1，3]D ．(1，3)9．[2013·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x （x <0），（a －3）x ＋4a （x ≥0）满足对任意的实数x 1≠x 2都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．(0，1)C.⎝⎛⎦⎤0，14 D ．(1，3) 10．若函数y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f （x ）的值域是________． 11．若在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________．12．函数y ＝x x ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________． 13．函数y ＝ln 1＋x 1－x的单调递增区间是________． 14．(10分)试讨论函数f (x )＝x x 2＋1的单调性．15．(13分)已知函数f (x )＝a －1|x |. (1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝x2x－2(x∈R，且x≠2)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝x2－2ax与函数f(x)在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值．课时作业(五)【基础热身】1．A [解析] 由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数．而反比例函数f (x )＝1x在(0，＋∞)上是减函数．故选A.2．A [解析] 函数f (x )在[3，4)上是增函数，又函数定义域中含有3而没有4，所以该函数有最小值无最大值，故选A.3．B [解析] 方法一：由偶函数的定义可排除C ，D ，又∵y ＝cos2x 为偶函数，但在(1，2)内不单调递增，故选B.方法二：由偶函数定义知y ＝log 2|x |为偶函数，以2为底的对数函数在(1，2)内单调递增． 4.12 [解析] 因为x ≥0，当x ＝0时，y ＝0不是函数的最大值．当x >0时，f (x )＝x x ＋1＝1x ＋1x，而x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以f (x )≤12. 【能力提升】5．A [解析] 由题意，结合函数性质可得x >1时f (x )>0，x <1时f (x )<0；x <0或x >4时g (x )<0，0<x <4时g (x )>0，故f (x )g (x )≥0的解集为{x |x ≤0或1≤x ≤4}． 6．A [解析] 因为函数的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫2＋12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，又函数是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－12，故选A. 7．C [解析] 因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，令t ＝1x 2＋1，则121≤12t <120，即12≤12t <1，所以12≤y <1.故选C. 8．A [解析] 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1，1]，即－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.9．C [解析] 由题设条件知函数f (x )在R 上为减函数，所以x <0时，f 1(x )＝a x 为减函数，则a ∈(0，1)；x ≥0时，f (x )＝(a －3)x ＋4a 中a －3<0，且f (0)＝ (a －3)×0＋4a ≤a 0，得a ≤14.综上知0<a ≤14.故选C. 10.⎣⎡⎦⎤2，103 [解析] 令f (x )＝t ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，3，问题转化为求y ＝t ＋1t，t ∈⎣⎡⎦⎤12，3的值域． 因为y ＝t ＋1t 在⎣⎡⎦⎤12，1上递减，在[1，3]上递增，所以y ∈⎣⎡⎦⎤2，103. 11．3 [解析] g (x )＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2，当x ＝1时等号成立，所以x ＝1时，g (x )的最小值为2，则f (x )在x ＝1时取最小值2，所以－p 2＝1，4q －p 24＝2.解得p ＝－2，q ＝3.所以f (x )＝x 2－2x ＋3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值为3.12．a ≥2 [解析] y ＝x x ＋a ＝1－a x ＋a，因为函数在(－2，＋∞)上为增函数，所以a >0，所以得函数的单调增区间为(－∞，－a )，(－a ，＋∞)，要使y ＝x x ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，只需－2≥－a ，即a ≥2.13．(－1，1) [解析] 由1＋x 1－x>0得函数的定义域为(－1，1)，原函数的递增区间即为函数u (x )＝1＋x 1－x 在(－1，1)上的递增区间，由于u ′(x )＝1＋x 1－x ′＝2（1－x ）2>0.故函数u (x )＝1＋x 1－x的递增区间为(－1，1)，即为原函数的递增区间．14．解：f (x )的定义域为R ，在定义域内任取x 1＜x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（x 21＋1）（x 22＋1）， 其中x 1－x 2＜0，x 21＋1＞0，x 22＋1＞0.①当x 1，x 2∈(－1，1)时，即|x 1|＜1，|x 2|＜1，所以|x 1x 2|＜1，则x 1x 2＜1，1－x 1x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为增函数．②当x 1，x 2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)时，1－x 1x 2＜0，f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )为减函数．综上所述，f (x )在(－1， 1)上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．15．解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x， 设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.∴f (x 1)－f (x 2)＝a －1x 1－a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以a ≤h (1)，即a ≤3.所以a 的取值范围为(－∞，3]．【难点突破】16．解：(1)f (x )＝x 2x －2＝[（x －2）＋2]2x －2＝(x －2)＋4x －2＋4， 令x －2＝t ，由于y ＝t ＋4t＋4在(－∞，－2)，(2，＋∞)内单调递增， 在(－2，0)，(0，2)内单调递减，∴容易求得f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(4，＋∞)；单调递减区间为(0，2)，(2，4)．(2)∵f (x )在x ∈[0，1]上单调递减，∴其值域为[－1，0]，即x ∈[0，1]时，g (x )∈[－1，0]．∵g (0)＝0为最大值，∴最小值只能为g (1)或g (a )，若g (1)＝－1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，1－2a ＝－1⇒a ＝1； 若g (a )＝－1，则⎩⎪⎨⎪⎧12≤a ≤1，－a 2＝－1⇒a ＝1. 综上得a ＝1.。
山东省2014届高考数学一轮复习 试题选编3 函数的单调性与最值(值域) 理 新人教A版.pdf
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编3：函数的单调性与最值（值域） 一、选择题 ．对于任意两个实数、,定义运算“*”如下: ,则函数的最大值为（ ） A．25B．16C．9D．4【答案】 答案:C ．(2012年高考(广东理))(函数)下列函数中,在区间上为增函数的是（ ） A．B．C．D． 【答案】解析:（ ） A．在上是增函数. ．(浙江省温州中学2011学年第一学期期末考试高三数学试卷(文科)2012.1)函数=的值域是（ ） A．[-1,1]B．(-1,1]C．[-1,1)D．(-1,1) 【答案】B． ．(山东省济钢高中2012届高三5月高考冲刺数学(理)试题)设,当0时,恒成立,则实数的取值范围是（ ） A．(0,1)B．C．D． 【答案】D 【分析】函数是奇函数且是单调递增的函数,根据这个函数的性质把不等式转化成一个具体的不等式.根据这个不等式恒成立, 【解析】根据函数的性质,不等式,即,即在上恒成立.当时,即恒成立,只要即可,解得;当时,不等式恒成立;当时,只要,只要,只要,这个不等式恒成立,此时.综上可知:. 【考点】基本初等函数Ⅰ. 【点评】本题考查函数性质和不等式的综合运用,这里函数性质是隐含在函数解析式中的,其目的是考查考生是否有灵活使用函数性质简捷地解决问题的思想意识.在不等式的恒成立问题中要善于使用分类参数的方法解决问题,本题的解析是分类了函数,把参数放到一个表达式中,也可以直接使用分离参数的方法求解,即可以化为,当时,;当时,,只要即可,即只要即可.综合两种情况得到. ．(2012年广东省佛山二模试题)已知函数的定义域为实数集,满足(是的非空真子集),在上有两个非空真子集,且,则的值域为（ ） A．B．C．D． 【答案】B． ．(2012年广西北海市高中毕业班第一次质量检测数学(理)试题及答案)函数的定义域为,值域为,若,则为（ ） A．B．C．D． 【答案】C． ．(2012年重庆一中高2012级 高三下期2月月考 (文))函数, ,则的值域为（ ） A．B．C．D． 【答案】D． ．函数的值域是,则函数的值域为（ ） A．B．、C．D． 【答案】C ．(2013辽宁高考数学(文))已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最小值为,则（ ） A．B．C．D． 【答案】. [答案]C [解析]顶点坐标为,顶点坐标,并且与的顶点都在对方的图象上, 图象如图,（ ） A．B分别为两个二次函数顶点的纵坐标,所以A-B=[方法技巧](1)本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口.(2)并不是A,B在同一个自变量取得. ．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知定义在R上的奇函数满足(其中e=2.7182),且在区间[e,2e]上是减函数,令,则（ ） A．B． C．D． 【答案】C ．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知函数的定义域为实数集,满足(是的非空真子集),在上有两个非空真子集,且,则的值域为（ ） A．B．C．D． 【答案】B【解析】若,则,;若,则;若,则,, 故选B． ．(江西省上高二中2012届高三第五次月考(数学理))若函数等于（ ） A．0B．1C．2D．4 【答案】D． ．(2012年东城区高三一模数学文科)设集合,,函数若,且, 则的取值范围是（ ） A．B．C．D． 【答案】C． ．(2012年高考(福建文))设,,则的值为（ ） A．1B．0C．D． 【答案】 B 【解析】因为 所以.B． ．(2012年河北省普通高考模拟考试(文))已知函数,则的值域是（ ） A．B．C．D． 【答案】D． ．(湖北省黄冈市2012年高考模拟试题)已知函数则该函数是（ ） A．偶函数,且单调递增B．偶函数,且单调递减 C．奇函数,且单调递增D．奇函数,且单调递减 【答案】C ．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知定义域为(-1,1)函数,且.则a的取值范围是（ ） A．(3,)B．(2,3)C．(2,4)D．(-2,3) 【答案】A 二、填空题 ．函数当时,函数的值域为______________. 【答案】 ．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）指数函数在上的最大值与最小值的和为6,则_________. 【答案】2 ．函数在上的值域为_____. 【答案】 ．函数的值域为________________. 【答案】答案 ．(2012年高考(安徽文))若函数的单调递增区间是,则 【答案】【解析】 由对称性: ．(2012年高考(上海理))已知函数(a为常数).若在区间[1,+()上是增函数,则a的取值范围是_________ . 【答案】 [解析]令,则,由于底数,故↑(↑, 由的图像知在区间[1,+()上是增函数时,a≤1. ．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在内是单调函数;②在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有________①;②; ③;④ 【答案】①③④ ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）函数的最小值为______. 【答案】2当时,;当时,;当时,; 当时,.所以当时,;当时,.当时,;当时,.综上函数的最小值为2. ．(2012年高考(上海春))函数的最大值是______. 【答案】 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）函数的递增区间为_______________________. 【答案】【解析】令,则在定义域上单调递增,而,在上单调递增,所以函数的递增区间为. 三、解答题 ．已知函数是奇函数,并且函数的图像经过点(1,3).(1)求实数的值;(2)求函数的值 【答案】1)函数是奇函数,则 又函数的图像经过点(1,3), ∴a=2 (2)由(1)知 当时,当且仅当 即时取等号 当时, 当且仅当即时取等号 综上可知函数的值域为 。
【创新方案】2014届高考数学一轮复习 2.3函数的单调性与最值讲解与练习 理 新人教A版
第三节函数的单调性与最值[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质. 1.函数的单调性，是高考考查的重中之重，主要考查求函数的单调区间、利用函数的单调性比较函数值的大小、利用函数单调性求函数值域或最值、利用函数的单调性解不等式等相关问题．2.函数的最值问题是每年高考的必考内容，一般情况下，不会对最值问题单独命题，主要是结合其他知识综合在一起考查，主要考查求最值的基本方法.[归纳·知识整合]1．函数的单调性(1)单调函数的定义：增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2.当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D具有(严格的)单调性，这一区间叫做y ＝f (x )的单调区间．[探究] 1.函数y ＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，这种表示法对吗？提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增与函数f (x )的单调递增区间为[a ，b ]含义相同吗？ 提示：含义不同．f (x )在区间[a ，b ]上单调递增并不能排除f (x )在其他区间上单调递增，而f (x )的单调递增区间为[a ，b ]意味着f (x )在其他区间上不可能单调递增．2．函数的最值[探究] 3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征？提示：函数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则下列说法正确的有( ) ①函数f (x )为减函数；②函数f (x )为增函数；③函数f (x )的最大值为2；④函数f (x )的最小值为25.A ．①③B ．①③④C ．②③④D ．②④解析：选B 易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )min ＝f (6)＝25，f (x )max＝f (2)＝2.2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12解析：选D 使y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k ＋1<0，即k <－12.3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值X 围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选C ∵函数f (x )为R 上的减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1且|x |≠0. ∴x ∈(－1,0)∪(0,1)．4．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调递增区间为________；f (x )max ＝________.解析：∵函数f (x )＝x 2－2x 的对称轴为x ＝1.∴函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调递增区间为[1,4]，单调递减区间为[－2,1)． 又f (－2)＝4＋4＝8，f (4)＝16－8＝8. ∴f (x )max ＝8. 答案：[1,4] 85．(教材习题改编)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调递增函数，则实数k 的取值X 围是________．解析：∵函数f (x )＝4x 2－kx －8的对称轴为x ＝k8，又函数f (x )在[5,20]上为增函数， ∴k8≤5，即k ≤40. 答案：(－∞，40]函数单调性的判断或证明[例1] 已知函数f (x )＝ x 2＋1－ax ，其中a >0. (1)若2f (1)＝f (－1)，求a 的值；(2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上为单调减函数． [自主解答] (1)由2f (1)＝f (－1)，可得22－2a ＝ 2＋a ，得a ＝23. (2)证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ x 21＋1－ax 1－ x 22＋1＋ax 2＝x 21＋1－ x 22＋1－a (x 1－x 2)＝x 21－x 22x 21＋1＋ x 22＋1－a (x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋ x 22＋1－a . ∵0≤x 1< x 21＋1，0<x 2< x 22＋1， ∴0<x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1<1.又∵a ≥1，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴f (x )在[0，＋∞)上单调递减． ——————————————————— 判断或证明函数的单调性的两种方法(1)利用定义的基本步骤是：取值⇨作差商变形⇨确定符号⇨得出结论 (2)利用导数的基本步骤是： 求导函数⇨确定符号⇨得出结论1．讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)的单调性．解：由x 2－1≠0，得x ≠±1，即定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)． ①当x ∈(－1,1)时，设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1.∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，函数f (x )在(－1,1)上为减函数．②设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2 x22－1＝a x2－x1x1x2＋1x21－1x22－1，∵1<x1<x2，∴x21－1>0，x22－1>0，x2－x1>0，x1x2＋1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数．又函数f(x)是奇函数，∴f(x)在(－∞，－1)上是减函数.求函数的单调区间[例2] 求下列函数的单调区间．(1)y＝－x2＋2|x|＋3；(2)y＝log2(x2－1)．[自主解答] (1)依题意，可得当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．(2)∵y＝log2(x2－1)，∴该函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．又∵y＝log2(x2－1)可看作由y＝log2μ和μ＝x2－1两个函数复合而成的，且y＝log2μ在μ∈(0，＋∞)上为增函数，而μ＝x2－1在(－∞，－1)上为减函数且μ>0，在(1，＋∞)上为增函数且μ>0.∴当x∈(－∞，－1)时，y＝log2(x2－1)为减函数，当x∈(1，＋∞)时，y＝log2(x2－1)为增函数．———————————————————1．求函数单调区间应注意的问题函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行．2．求复合函数y ＝f [g (x )]的单调区间的步骤 (1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y ＝f (u )，u ＝g (x )； (3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f [g (x )]为增函数；若一增一减，则y ＝f [g (x )]为减函数，即“同增异减”．2．求函数y ＝ x 2＋x －6的单调区间．解：令u ＝x 2＋x －6，y ＝ x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2. ∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝ u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝ x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞).由函数的单调性求参数的值(或X 围)[例3] 已知函数f (x )＝x 2＋ax(a >0)在(2，＋∞)上为单调递增函数，某某数a 的取值X围．[自主解答]在区间(2，＋∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋a x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫a x 1－ax2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2，∵f (x )在(2，＋∞)上为增函数， ∴(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2<0.又x 1<x 2，即x 1－x 2<0， ∴ax 1x 2<1，即a <x 1x 2. ∵x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2， ∴x 1·x 2>4. ∴a ≤4，又a >0，∴a 的取值X 围为(0,4]．若将“f (x )＝x 2＋a x (a >0)”改为“f (x )＝x －5x －a －2”，如何求解？解：f (x )＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2.∵f (x )在(2，＋∞)上为增函数， ∴{3022a a -<+≤，， 解得{30a a <≤，，即a ≤0.故实数a 的取值X 围为－∞，0].——————————————————— 利用函数的单调性求参数的方法及注意点利用函数的单调性求参数的取值X 围，解题思路为：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．3．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )，若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值X 围．解：任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立．∴a ≤1.综上所述，a 的取值X 围是(0,1]．函数的最值与应用[例4] (2013·某某模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试某某数a 的取值X 围．[自主解答] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72. (2)f (x )＝x ＋a x＋2，x ∈[1，＋∞)． ①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3. 所以a ＋3>0，a >－3.所以0<a ≤1.③当a >1时，f (x )在[1，a ]上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值是f (a )＝2a ＋2，2a ＋2>0，显然成立．综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值X 围是(－3，＋∞)．———————————————————1.求函数最值的常用方法1单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；2图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； 3基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；4导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； 5换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.2.恒成立问题的解法 1m >f x 恒成立⇔m >f x max； 2m <f x 恒成立⇔m <f xmin.4．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，某某数m 的取值X 围．解：由题意知，x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.即实数m 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.2个防X ——函数单调区间的记法及性质的易误点(1)函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．(2)两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f x等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．2种形式——单调函数的等价变形 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么 (1)f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(2)f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．4种方法——函数单调性的判断方法 判断函数单调性的方法有以下四种：(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)导数法：利用导数研究函数的单调性； (4)图象法：利用图象研究函数的单调性.易误警示——分段函数单调性中的误区[典例] (2013·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1满足对任意的实数x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值X 围为( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 [解析] 据题意使原函数在定义域R 上为减函数，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1，3a －1×1＋4a ≥log a 1，解得17≤a <13.[答案] C [易误辨析]1．如果只考虑到使各段函数在相应定义域内为减函数的条件，而忽视在R 上为减函数，易误选B.2．一般地，若函数f (x )在区间[a ，b )上为增函数，在区间[b ，c ]上为增函数，则不一定说明函数f (x )在[a ，c ]上为增函数，如图：，由图象可知函数f (x )在[a ，c ]上整体不呈上升趋势，故此时不能说f (x )在[a ，c ]上为增函数，若图象满足如图：，即可说明函数在[a ，c ]上为增函数，即只需f (x )在[a ，b )上的最大值不大于f (x )在[b ，c ]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论．[变式训练]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]解析：选B g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值X 围为( )A ．(1，＋∞) B．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4,8)．一、选择题1．(2012·某某高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.3．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值X 围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选D ∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1. 又∵函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a >0.∴a 的取值X 围是(0,1]．4．(2013·潍坊模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，所以b >a >c .5．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12解析：选D 令g (x )＝2x 2＋x >0，得x >0或x <－12，所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．易知函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，所以在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上，0<g (x )<1.又因为f (x )>0恒成立，故0<a <1，故函数y ＝log a x 在其定义域上为减函数．而g (x )＝2x 2＋x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上是单调递减的，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12.6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2解析：选C ∵f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ∴f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0.∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是R 上的奇函数．设x 1<x 2，则x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)>0.∴f (x )在R 上是减函数．∴f (x )在[a ，b ]有最小值f (b )． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：38．(2013·东城模拟)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．解析：根据单函数的定义，函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的，故命题②④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题．答案：②③④9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数； ③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值X 围是a >1； ④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． 解析：根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1>0，a >1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22成立，故④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的．(2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2.∴易得a ＝25.11．已知函数f (x )对任意的a ，b ∈R 恒有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3. 解：(1)证明：任取x 1，x 2∈R, 且x 1<x 2， ∵f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1， 又x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1. ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0， 即f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )是R 上的增函数．(2)令a ＝b ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝2f (2)－1， ∴f (2)＝3.而f (3m 2－m －2)<3，∴f (3m 2－m －2)<f (2)． 又f (x )在R 上是单调递增函数， ∴3m 2－m －2<2，解得－1<m <43.故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，43. 12．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f a ＋f ba ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，某某数m 的取值X 围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1)，∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2·(x 1－x 2)，由已知得f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，解得－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1， 即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立． 下面来求m 的取值X 围． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0，∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值X 围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.1．求函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调增区间．解：令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.所以函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．所以u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，故y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．2．讨论函数f (x )＝mxx －2(m <0)的单调性． 解：函数定义域为{x |x ≠2}， 不妨设x 1，x 2∈(－∞，2)且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝mx 2x 2－2－mx 1x 1－2＝mx 2x 1－2－mx 1x 2－2x 1－2x 2－2＝2m x 1－x 2x 1－2x 2－2.∵m <0，x 1，x 2∈(－∞，2)，且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，(x 2－2)(x 1－2)>0. ∴m x 1－x 2x 2－2x 1－2>0，即f (x 2)>f (x 1)，故函数f (x )在区间(－∞，2)上是增函数． 同理可得函数f (x )在区间(2，＋∞)上也是增函数． 综上，函数f (x )在(－∞，2)，(2，＋∞)上为增函数．3．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ， 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)，又∵x >0时，f (x )<0.而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．法二：在R 上任取x 1，x 2，不妨设x 1>x 2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在R上为减函数，∴f(x)在[－3,3]上也为减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)，而f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1) ＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－2.∵0＝f(0)＝f(3－3)＝f(3)＋f(－3)，∴f(－3)＝－f(3)＝2.。
【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：3.7 正弦定理和余弦定理
第三章 第7讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2013·安徽淮南]在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝( )A. π4或3π4 B. 3π4C. π4 D. π6答案：C解析：由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ，则sin C ＝AB sin ABC＝6sin π33＝22，又BC >AB ，所以∠A >∠C ，所以∠C ＝π4，选C.2. [2011·四川高考]在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A. (0，π6]B. [π6，π) C. (0，π3]D. [π3，π)答案：C解析：由正弦定理得，a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ， 由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12.又∵0<A <π，∴0<A ≤π3.故选C.3. [2013·广西模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A. 12 B. 32 C. 1 D. 34 答案：A解析：∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选A.4. [2013·成都冲刺]在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A. 14 B.24 C. －14D. －24答案：C解析：依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin2A＝－12sin30°＝－14，选C.5. [2013·皖南八校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c ＝( )A.135B. 125C. 3D. 134答案：A解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋(c ＋b )(c －b )2ac ，∵a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，∴3＋4(c －b )23c＝32，即3＋ 4(c －b )＝3c,3＋c ＝4b ，结合b ＋c ＝4解得c ＝135.∴选A.6. [2012·天津高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725B. －725C. ±725D. 2425答案：A解析：∵sin C ＝sin2B ＝2sin B cos B ， ∴cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725，选A 项．二、填空题7. 在△ABC 中，∠B ＝π6，AC ＝1，AB ＝3，则BC 的长度为________．答案：1或2解析：由余弦定理得：AC 2＝AB 2＋BC 2－2×AB ×BC ×cos ∠ABC ⇒1＝3＋BC 2－2×3×BC ×32，解得BC ＝1或BC ＝2. 8. [2012·重庆高考]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B＝513，b ＝3，则c ＝________. 答案：145解析：因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B＋cos A sin B＝45×513＋35×1213＝5665， 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.9. [2013·沈阳质检]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.答案：30°解析：根据正弦定理及sin C ＝23sin B 得c ＝23b ， ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－(a 2－b 2)2bc ＝c 2－3bc 2bc ＝32，∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 三、解答题10. [2012·大纲全国高考]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解：∵B ＝π－(A ＋C )，∴cos B ＝cos[π－(A ＋C )]＝－cos(A ＋C )，∴1＝cos(A －C )＋cos B ＝cos A cos C ＋sin A sin C －cos A cos C ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，∴sin A sin C ＝12.由正弦定理a sin A ＝c sin C＝2R ， 得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ， ∵a ＝2c ，∴sin A ＝2sin C ， ∴2sin 2C ＝12，即sin 2C ＝14，解得sin C ＝12或sin C ＝－12(舍去)，∴C ＝π6.11. [2012·江西高考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a ，应用正弦定理，得sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A ，sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1， 由于0<B <3π4，0<C <3π4，从而B －C ＝π2.(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8，由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.12. [2012·江苏高考]在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 解：(1)证明：由AB →·AC →＝3BA →·BC →得| AB →|·| AC →|cos A ＝3| BA →|·| BC →|cos B ， 即为cb cos A ＝3ca cos B ，b cos A ＝3a cos B ， 由正弦定理得sin B cos A ＝3sin A cos B ， 两边同除cos A cos B 得tan B ＝3tan A . (2)因cos C ＝55，所以C 为锐角， 所以tan C ＝2，由(1)tan B ＝3tan A ，且A ＋B ＋C ＝π， 得tan[π－(A ＋C )]＝3tan A ，即－tan(A ＋C )＝3tan A ⇒－tan A ＋tan C1－tan A tan C ＝3tan A ，即tan A ＋22tan A －1＝3tan A ，所以tan A ＝1或tan A ＝－13.因tan B ＝3tan A ，由内角和为π知两角均为锐角，故tan A ＝－13应舍去．所以tan A ＝1，所以A ＝π4.。
【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：2.13 定积分与微积分基本定理 Word版含解析]
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第二章第13讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2012·黑龙江哈尔滨三模]曲线y＝x2－2x与直线x＋y＝0所围成的封闭图形的面积为( )A. B.C. D.答案：D解析：如图，A(1，－1)，故所求面积为S＝(－x－x2＋2x)d x＝(x2－x3)＝－＝.2. [2013·中山模拟]曲线y＝sin x(－π≤x≤2π)与x轴所围成的封闭区域的面积为( )A. 0B. 2C. －2D. 6答案：D解析：先求[0，π]上的面积：|sin x d x|＝|－cos x||＝2.因为三块区域的面积相等，都是2，故总面积为6.3.如图，已知幂函数y＝x a的图象过点P(2,4)，则图中阴影部分的面积为( )A. B.C. D.答案：B解析：将(2,4)代入y＝x a，得a＝2，所以阴影部分的面积S＝x2d x ＝，选B项．4. 由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )A. B.C. D.答案：A解析：由得x＝0或x＝1，由图易知封闭图形的面积＝2(x2－x3)d x＝2＝，故选A.5. [2013·东北四校模拟]若(2x＋)d x＝3＋ln2(a>1)，则a的值是( )A. 2B. 3C. 4D. 6答案：A解析：∵(2x＋)d x＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－(12＋ln1)＝a2－1＋ln a.且(2x＋)d x＝3＋ln2.∴a2－1＋ln a＝3＋ln2，∴a＝2，故选A.6. [2013·汕头模拟]设f(x)＝则f(x)d x等于( )A. B.C. D. 不存在答案：C解析：本题画图求解，更为清晰，如图，f(x)d x＝x2d x＋(2－x)d x＝x3＋(2x－x2)＝＋(4－2－2＋)＝.二、填空题7. [2013·金版原创]已知f(a)＝(2ax2－a2x)d x，则f(a)的最大值为________．答案：解析：f(a)＝(2ax2－a2x)d x＝(ax3－a2x2)＝a－a2，∴当a＝时，f(a)取最大值，最大值为.8. 已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若－1f(x)d x＝2f(a)，则a＝________.答案：或－1解析：－1f(x)d x＝－1(3x2＋2x＋1)d x＝(x3＋x2＋x)＝4＝2f(a)，f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，3a2＋2a－1＝0，a＝－1，或a＝.9. [2013·通化模拟]曲线y＝＋2x＋2e2x，直线x＝1，x＝e和x轴所围成的区域的面积是________．答案：e2e解析：由题意得，所求面积为(＋2x＋2e2x)d x＝＋(2x)d x＋(2e2x)d x＝ln x＋x2＋e2x＝(1－0)＋(e2－1)＋(e2e－e2)＝e2e.三、解答题10. [2013·郑州模拟]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图，直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为，求f(x)．解：由f(0)＝0得c＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由f′(0)＝0得b＝0，∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，由∫[－f(x)]d x＝得a＝－3.∴f(x)＝x3－3x2.11. 已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)d x＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得，即，∴f(x)＝ax2＋2－a.又f(x)d x＝[ax2＋2－a]d x＝[ax3＋(2－a)x]＝2－a＝－2，∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.12. [2013·石家庄模拟]如图，过点A(6,4)作曲线f(x)＝的切线l；(1)求切线l的方程；(2)求切线l、x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.解：(1)∵f′(x)＝，∴f′(6)＝，∴切线l的方程为：y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.(2)令f(x)＝0，则x＝2，令y＝x＋1＝0，则x＝－2.∴S＝－2(x＋1)d x－d x＝(x2＋x)－(4x－8)＝.。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：2.8 函数与方程
第8讲 函数与方程【2014年高考会这样考】1．考查具体函数的零点的取值范围和零点个数．2．利用函数零点求解参数的取值范围．3．利用二分法求方程的近似解．4．考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想.对应学生31 考点梳理 1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)几个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)零点的分布根的分布(m <n <p为常数)图象 满足条件 x 1<x 2<m ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0－b 2a <mf (m )>0m <x 1<x 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0－b 2a >mf (m )>0x 1<m <x 2f (m )<0m <x 1<x 2<n⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0m <－b 2a <n f (m )>0f (n )>0m <x 1<n <x 2<p ⎩⎨⎧ f (m )>0f (n )<0f (p )>0只有一根在(m ，n )之间⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0m <－b 2a <n 或f (m )·f (n )<03.(1)二分法的定义 对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下：①确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε：②求区间(a ，b )的中点c ；③计算f (c )；(i)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(ii)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))；(iii)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε.即：若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④.【助学·微博】一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．两个防范(1)函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．三种方法函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．考点自测1．(人教A版教材习题改编)如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()．A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④答案 B2．(2012·湖北)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7解析 ∵x ∈[0,4]，∴x 2∈[0,16]，∴x 2＝0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2，都是f (x )的零点，此时x 有6个值．∴f (x )的零点个数为6，故选C.答案 C3．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1>0，所以f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12. 答案 C4．(2013·咸阳二模)若x 0是函数f (x )＝3x －1x －2，x ∈(2，＋∞)的一个零点，x 1∈(2，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )．A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析 函数f (x )＝3x －1x －2在(2，＋∞)上为增函数，由已知x 1∈(2，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)得x 1<x 2，故f (x 1)<f (x 2)，又f (x 1)·f (x 2)<0，故f (x 1)<0，f (x 2)>0.答案 B5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．解析 函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上递增．由已知条件f (0)f (1)<0，即a (a ＋2)<0，解得－2<a<0.答案(－2,0)对应学生32考向一函数零点与零点个数的判断【例1】►(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3[审题视点] 函数零点的个数⇔f(x)＝0解的个数⇔函数图象与x轴交点的个数．解析法一∵函数y＝2x与y＝x3－2在R上都是增函数，故f(x)＝2x＋x3－2在R上是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝1，即f(0)·f(1)<0，故f(x)在(0,1)内有唯一零点．法二令f(x)＝0，即2x＋x3－2＝0，则2x－2＝－x3.在同一坐标系中分别画出y＝2x－2和y＝－x3的图象，由图可知两个图象在区间(0,1)内只有一个交点，∴函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内有一个零点，故选B.答案 B对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑：(1)结合函数图象；(2)根据零点存在定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一．【训练1】 求函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数．解 法一 ∵函数y ＝ln x 与y ＝2x －6均是增函数，故函数f (x )＝ln x ＋2x －6在(0，＋∞)上是增函数，又f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，即f (2)·f (3)<0，所以f (x )＝ln x ＋2x －6在(2,3)有唯一零点．法二 在同一坐标系中画出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 的图象，如图所示，由图可知两图象只有一个交点，故函数f (x )＝ln x ＋2x －6只有一个零点．考向二 有关二次函数的零点问题【例2】►(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.①有且仅有一个零点？②有两个零点且均比－1大？(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．[审题视点] 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．解 (1)①若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点，则Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1.②若f (x )有两个零点且均比－1大，设两零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎨⎧ Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0，(x 1＋1)＋(x 2＋1)>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4>0，－2m ＋2>0，3m ＋4＋(－2m )＋1>0，即⎩⎨⎧ m >4或m <－1，m <1，m >－5，故m 的取值范围是{m |－5<m <－1}．(2)若f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，即|4x －x 2|＋a ＝0有四个根，即|4x －x 2|＝－a 有四个根，令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a .作出g (x )，h (x )的图象，如图所示．由图象可知要使|4x －x 2|＝－a 有四个根，则g (x )与h (x )的图象应有4个交点． 故需满足0<－a <4，即－4<a <0.∴a 的取值范围是(－4,0)．本题重点考查方程的根的分布问题，熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解此题的关键．用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的易错点．【训练2】 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．解(1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得⎩⎨⎧ f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m<－12.(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示，列不等式组⎩⎨⎧f(0)＝2m＋1>0，f(1)＝4m＋2>0，Δ＝4m2－4(2m＋1)≥0，0<－m<1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m>－12，m>－12，m≥1＋2或m≤1－2，－1<m<0.即－12<m≤1－ 2. 考向三函数零点性质的应用【例3】►已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．[审题视点] (1)y＝g(x)－m有零点即y＝g(x)与y＝m的图象有交点，所以可以结合图象求解．(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异实根⇔y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解．解(1)法一∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点．法二作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图：可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数、利用数形结合的方法进行求解．【训练3】 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点．(1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．解 (1)若a ＝0，则f (x )＝－4与题意不符，∴a ≠0.∴f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0，∴1<a <2.(2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)>0，f (1)<0，f (0)＝2817>0，∴零点在(0,1)上，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.∴f(x)＝0的根为12.对应学生33方法优化3——如何解决有关函数零点的问题【命题研究】通过近三年的高考题分析，重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想．题型为选择题或填空题，若求函数零点的问题，难度较易；若利用零点的存在求相关参数的值的问题，难度稍大．【真题探究】►(2011·山东)已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________. [教你审题] f(x)＝log a x＋x－b在(0，＋∞)上单调递增且值域为R，则f(x)必有唯一零点x＝x0，根据x0∈(n，n＋1)，利用零点存在的判定条件来推算n的取值．[一般解法] 设f(x0)＝0，因为f(x)＝log a x＋x－b，又3<b<4，所以f(1)＝log a1＋1－b＝1－b<0，因为2<a<3<b<4，所以f(2)＝log a2＋2－b<log a a＋2－b＝3－b<0，f(3)＝log a3＋3－b>log a a＋3－b＝4－b>0.综上，x0∈(2,3)，又因为x0∈(n，n＋1)，故n＝2.[优美解法] 如图所示，在直角坐标系下分别作出y＝log2x，y＝log3x及y＝3－x，y＝4－x的图象，显然所有可能的交点构成图中的阴影区域(不含边界)，其中各点的横坐标均落于(2,3)之内，又因为x0∈(n，n＋1)，n∈N*，故n＝2.[答案] 2[反思] (1)要强化训练零点求法，函数与方程的转化技巧；(2)会结合图象利用数形结合判断零点个数、零点所在区间．考查函数性质与方程根与系数关系的综合应用题，一般难度较大，在复习中要有所准备，但题量不必太大．【试一试】(2012·沈阳四校联考，8)已知函数f(x)＝a x＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3，3b＝2，则n的值是()．A．－2 B．－1 C．0 D．1解析依题意得，a>1,0<b<1，则f(x)为R上的单调递增函数．又f(－1)＝1 a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，f(－1)·f(0)<0，因此x0∈(－1,0)，n＝－1，选B.答案 B对应学生239A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝sin x－x零点的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析f′(x)＝cos x－1≤0，∴f(x)单调递减，又f(0)＝0，∴则f(x)＝sin x－x的零点是唯一的．答案 B2．(2013·泰州模拟)设f(x)＝e x＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()．A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析∵f(x)＝e x＋x－4，∴f′(x)＝e x＋1>0，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0，故选C. 答案 C3．(2013·石家庄期末)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )．A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3. 答案 C4．(2011·山东)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 ( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析 当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝0，得x ＝0或x ＝1.根据周期函数的性质，由f (x )的最小正周期为2，可知y ＝f (x )在[0,6)上有6个零点，又f (6)＝f (3×2)＝f (0)＝0，∴f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≤0，f (x －1)，x >0，g (x )＝f (x )－x －a ，若函数g (x )有两个零点，则实数a 的取值范围为________．解析 设n 为自然数，则当n <x ≤n ＋1时，f (x )＝(x －n －1)2，则当x >0时，函数f (x )的图象是以1为周期重复出现．而函数y ＝x ＋a 是一族平行直线，当它过点(0,1)(此时a ＝1)时与函数f (x )的图象交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数a 的取值范围为a <1. 答案 (－∞，1)6．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________．解析 本题即求方程f [f (x )]＝－1的所有根的集合，先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ t >0，log 2t ＝－1，得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎨⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎨⎧x >0，log 2x ＝12.得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2三、解答题(共25分)7．(12分)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．[来源: ] 解 (1)如图所示． (2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈(0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数， 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 8．(13分)已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.(1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为4，求实数a 的值；(2)若函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，求实数a 的取值范围． 解 由题意得g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a . (1)f ′(1)＝3＋4－a ＝4，∴a ＝3.(2)法一 ①当g (－1)＝－a －1＝0，a ＝－1时，g (x )＝f ′(x )的零点x ＝－13∈(－1,1)；②当g (1)＝7－a ＝0，a ＝7时，f ′(x )的零点x ＝－73∉(－1,1)，不合题意； ③当g (1)g (－1)<0时，－1<a <7；④当⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4×(4＋3a )≥0，－1<－23<1，g (1)>0，g (－1)>0时，－43≤a <－1.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.法二 g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解，也等价于直线y ＝a 与曲线y ＝3x 2＋4x 在(－1,1)有公共点．作图可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7. 或者又等价于当x ∈(－1,1)时，求值域． a ＝3x 2＋4x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232－43∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·陕西)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )．A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点 解析 令f (x )＝0，得x ＝cos x ，在同一坐标系内画出两个函数y ＝x 与y ＝cos x 的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程x ＝cos x 只有一个解． ∴函数f (x )只有一个零点． 答案 B2．(2012·辽宁)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( )．A ．5B ．6C ．7D ．8解析 由题意知函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝|cos πx |.同理可以得到在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0，⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．解析 依题意得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数．g (x )＝f (x )－kx －k 在区间[－1,3]内有4个零点，即函数y ＝f (x )与y＝k (x ＋1)的图象在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，注意到直线y ＝k (x ＋1)恒过点(－1,0)，由题及图象可知，当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，相应的直线与函数y ＝f (x )在区间[－1,3]内有4个不同的交点，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，144．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P 、Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P 、Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋4x ＋1，x <0，2e x，x ≥0，则f (x )的“友好点对”的个数是________．解析 设P (x ，y )、Q (－x ，－y )(x >0)为函数f (x )的“友好点对”，则y ＝2e x ，－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2－4x ＋1，∴2e x ＋2x 2－4x ＋1＝0，在同一坐标系中作函数y 1＝2e x 、y 2＝－2x 2＋4x －1的图象，y 1、y 2的图象有两个交点，所以f (x )有2个“友好点对”，故填2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．(1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围； (2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c3a ，由条件a >c >0，得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数． 若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ，得c 2－c <0， 所以0<c <1.(2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点．[来源: ] ②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a .而f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac3a<0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点．6．(13分)已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t (视区间[a ，b ]的长度为b －a )．解 (1)∵函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有⎩⎨⎧f (1)≤0，f (－1)≥0，即⎩⎨⎧1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0，∴－20≤q ≤12. (2)∵0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，解得t＝15±172，∴t＝15－172；②当6<t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，∴t＝9.综上可知，存在常数t＝15－172，8,9满足条件.。
2014高三总复习人教A版数学(理)配套：第2章 第1讲
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第二章 函数、导数及其应用
第二章 第1讲
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第1讲 函数的基本概念
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第二章 第1讲
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4. 函数的表示方法 表 示 函 数 的 常 用 方 法 有 ： ________ ， ________ 和 ________．
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条件再构造出另外一等式组成方程组，通过解方程组求出
f(x).
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课前自主导学
第二章 第1讲
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1. 函数与映射的概念
例1 [2013·武汉段考]下列各组函数是同一函数的是 ()
A. y＝|xx|与y＝1 B. y＝|x－1|与y＝x1－－1x，，xx><11
C. y＝ x2与y＝3 x3 D. y＝xx23＋＋1x与y＝x
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2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业4 第2章 函数1含解析
课时作业（四)1．下列表格中的x与y能构成函数的是（A。
B.C。
D.答案C解析A中0既是非负数又是非正数;B中0又是偶数；D中自然数也是整数,也是有理数．2．下列各对函数中，表示同一函数的是（A．f(x)＝lg x2，g（x）＝2lg xB．y＝f(x）与y＝f(x＋1）C．f（u）＝错误!，g(v)＝错误!D．f(x）＝x，g(x)＝错误!答案C解析在A中,f(x)的定义域{x｜x≠0}，g（x）的定义域（0，＋∞）；在B中，对应关系不同;在D中，f(x）的值域为R,g（x)的值域为［0，＋∞）．3．已知集合M＝｛－1，1,2，4｝，N＝｛0，1，2｝，给出下列四个对应法则：①y＝x2，②y＝x＋1,③y＝2x，④y＝log2|x|,其中能构成从M到N的函数的是( ）A．①B．②C．③D．④答案D解析对于①、②，M中的2,4两元素在N中找不到象与之对应，对于③，M中的－1,2，4在N中没有象与之对应．故选D。
4．（2012·福建）设f(x）＝错误!g（x）＝错误!则f(g(π))的值为A．1 B．0C．－1 D．π答案B解析∵g（π)＝0，∴f（g（π)）＝f(0)＝0。
5．电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3 min收费0。
2 元；超过3 min以后，每增加1 min收费0。
1 元,不足1 min按1 min计费，则通话收费S(元)与通话时间t（min）的函数图像可表示为图中（）答案B6．已知f（x）满足：当x≥4时,f（x）＝（错误!)x；当x<4时，f(x）＝f(x＋1），则f（2＋log23）＝(A。
错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!答案A解析∵2＋log23〈4，∴f(2＋log23）＝f（2＋log23＋1)＝f（3＋log23)．又3＋log23>4，∴f(3＋log23）＝＝(错误!)3·错误!＝错误!。
7．图中的图像所表示的函数的解析式为（A．y＝错误!｜x－1｜（0≤x≤2)B．y＝错误!－错误!|x－1｜(0≤x≤2）C．y＝错误!－|x－1|(0≤x≤2)D．y＝1－｜x－1｜（0≤x≤2)答案B解析当x∈［0，1］时，y＝错误!x＝错误!－错误!（1－x)＝错误!－错误!｜x－1｜；当x∈[1，2]时，y＝错误!（x－2）＝－错误!x＋3＝错误!－错误!（x－1)＝错误!－错误!|x－1｜。
2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业6 第2章 函数3含解析
课时作业（六）1．下列函数中，在区间(－∞,0）上是减函数的是A．y＝1－x2B．y＝x2＋xC．y＝－－x D．y＝错误!答案D2．若f(x）＝x2＋2（a－1)x＋2在区间(－∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是( )A．a〈－3 B．a≤－3C．a>－3 D．a≥－3答案B解析对称轴x＝1－a≥4,∴a≤－3。
3．下列函数满足“对∀x1,x2∈(0，＋∞）且x1≠x2时恒有错误!〈0”的是（）A．f(x)＝错误!B．f（x）＝(x－1)2C．f(x）＝e x D．f（x）＝ln(x＋1)答案A解析条件即f(x)在（0，＋∞）为减函数，只有错误!符合条件．4．(2013·石家庄一模）已知函数f(x)＝错误!则满足不等式f（3－x2)〈f(2x）的x的取值范围为(A．（－3，－3）B．(－3,1)C．［－3,0) D．(－3，0）答案D解析作出f（x)图像如图．∵f（3－x2)〈f（2x），∴错误!解得－3〈x<0。
选D。
5．函数f(x)＝1－错误!( ）A．在（－1，＋∞)上单调递增B．在(1，＋∞）上单调递增C．在（－1，＋∞)上单调递减D．在(1，＋∞）上单调递减答案B解析f(x）可由－错误!沿x轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得，如图．6．若函数f(x)＝log a（x2－ax＋错误!)有最小值，则实数a的取值范围是( )A．(0,1) B．（0,1）∪（1，2）C．（1，错误!) D．[错误!,＋∞)答案C解析当a>1且x2－ax＋错误!有最小值时，f（x)才有最小值log a错误!，∴错误!⇒1<a〈错误!。
7．若函数f（x)是R上的增函数,对实数a、b,若a＋b〉0,则有( A．f（a)＋f(b)〉f(－a)＋f(－b）B．f（a)＋f（b）<f（－a）＋f(－b)C．f(a)－f（b）〉f（－a）－f（－b）D．f(a）－f(b)<f（－a）－f(－b）答案A解析∵a＋b〉0，∴a〉－b，b〉－a.∴f（a）〉f(－b）,f（b)〉f（－a),∴选A.8．函数f(x)＝log0.5（x＋1）＋log0。
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第二章 第3讲
(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题
1. [2013·宜春模拟]下列函数中既是偶函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A. y ＝1
x
B. y ＝lg|x |
C. y ＝2x
D. y ＝－x 2
答案：B
解析：y ＝1
x ，y ＝2x 不是偶函数，排除A 、C ；y ＝－x 2是偶函数，但在(0,1)上单调递减，
y ＝lg|x |是偶函数，根据图象，可判断在区间(0,1)上单调递增，故选B.
2. 已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
答案：B
解析：(构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin[π2(x ＋2)]＝－sin π
2x ＝－f (x )，所以
f (x )＝sin π
2
x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin3π＝0，故选B.
3. [2013·辽源模拟]已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x
＋2(a >0，且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)等于 ( )
A. 2
B. 174
C.
15
4
D. a 2
答案：C
解析：将f (x )＋g (x )＝a x －a －
x ＋2中的x 用－x 代替得f (－x )＋g (－x )＝a －
x －a x ＋2，由函
数的奇偶性可得－f (x )＋g (x )＝a －
x －a x ＋2，将两式相加和相减可得g (x )＝2，f (x )＝a x －a －
x ，
因为g (2)＝a ，所以a ＝2，则有f (2)＝22－2－
2＝154
.
4. [2013·晋中模拟]若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)<0的解集是( )
A. (－1,0)
B. (－∞，0)∪(1,2)
C. (1,2)
D. (0,2)
答案：D
解析：由x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1可知，函数在[0，＋∞)上为增函数，f (x －1)<0可化为f (|x －1|)<f (1)，从而得|x －1|<1，解得0<x <2.
5. [2013·烟台模拟]定义在R 上的奇函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x )＝f (x ＋4)，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x ，则f (2012)－f (2011)的值为( )
A. －1
2
B. 1
2 C. 2 D. －2
答案：A
解析：∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又对∀x ∈R ，f (x )＝f (x ＋4)， ∴4是函数f (x )的周期． ∴f (2012)＝f (0)＝0， f (2011)＝f (－1)．
又x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x ，∴f (2011)＝1
2.
∴f (2012)－f (2011)＝－1
2
，故选A.
6. [2013·邯郸模拟]已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 3，x ≤0，g (x )，x >0，
若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )
A. (－∞，1)∪(2，＋∞)
B. (－∞，－2)∪(1，＋∞)
C. (1,2)
D. (－2,1) 答案：D
解析：设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(1＋x )．
又∵g (x )是奇函数，∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)．
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 3，x ≤0，
ln (1＋x )，x >0.
其图象如图所示．
由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，
即－2<x <1. 故选D. 二、填空题 7. 已知函数f (x )＝|x |－sin x ＋1
|x |＋1
(x ∈R)的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 的值为
________．
答案：2
解析：函数f (x )＝|x |－sin x ＋1|x |＋1＝1－sin x |x |＋1，因为f (x )－1＝－sin x
|x |＋1为奇函数，所以(M －
1)＋(m －1)＝0，即M ＋m ＝2.
8. [2013·龙岩四校联考]奇函数f (x )在区间[2,9]上是增函数，在区间[3,8]上的最大值为9，最小值为2，则f (－8)－2f (－3)＝________.
答案：－5
解析：因为f (x )在[2,9]上是增函数，所以f (x )在区间[3,8]上为增函数，由题知f (8)＝9，f (3)＝2，又f (x )为奇函数，所以f (－8)－2f (－3)＝－f (8)＋2f (3)＝－9＋4＝－5.
9. [2013·金版原创]设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (2)>1，f (2014)＝2a －3
a ＋1
，则实数a 的取值范围是________． 答案：(－1，2
3
)
解析：∵f (2014)＝f (1)＝f (－2)＝－f (2)<－1， ∴
2a －3a ＋1
<－1，解得－1<a <2
3.
三、解答题
10. [2013·扬州模拟]已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.
(1)求证f (x )是奇函数；
(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．
解：(1)证明：令x ＝y ＝0，知f (0)＝0；再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (x )为奇函数．
(2)任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，所以f (x 2－x 1)＝
f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)<0，所以f (x )为减函数．而f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6.
所以f (x )max ＝f (－3)＝6，f (x )min ＝f (3)＝－6.
11. [2013·泸州模拟]设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，
f (x )＝x .
(1)求f (π)的值；
(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得
f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，从而得
f (π)＝f [－1×4＋π]＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．
故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．
当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，
则S ＝4S △OAB ＝4×(1
2
×2×1)＝4.
12. [2013·海淀模拟]已知函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，对定义域内的任意x 1、x 2，都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0，f (2)＝1.
(1)求证：f (x )是偶函数；
(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 解：(1)因对定义域内的任意x 1、x 2都有 f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， 令x 1＝x ，x 2＝－1， 则有f (－x )＝f (x )＋f (－1)．
又令x 1＝x 2＝－1，得2f (－1)＝f (1)． 再令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝0， 从而f (－1)＝0，
于是有f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)设0<x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－f (x 1·x 2x 1)
＝f (x 1)－[f (x 1)＋f (x 2
x 1)]
＝－f (x 2
x 1
)，
由于0<x 1<x 2，所以x 2x 1>1，从而f (x 2
x 1)>0，
故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。