解析函数的等价命题

解析函数的等价命题
一、摘要
本文从定义出发，逐步拓展，并且从不同角度对解析函数的等价命题进行总结，并予以简略证明，从而使得解析函数在复变函数中的重要性得以体现。

二、关键词：解析函数 C-R 条件 幂级数 积分
三、引言：
解析函数定义：
设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，z 在区域D 内有定义
如果函数f （z ）在z0及z0的邻域内处处可导，那么称f （z ）在在z0解析。

如果f （z ）在区域D 内每一点解析，那么称f （z ）在D 内解析，或称f （z ）是D 内的一个解析函数。

四、正文：
等价命题①（从f （z ）的角度来看）：
f （z ）在区域D 内解析⇔ f （z ）在区域D 内可导（可微）
由定义，f （z ）在z 0及z 0的邻域内处处可导，则f （z ）在区域D 内可导（可微）。

注：
1． 只对区域内解析成立，函数在点上的解析性与点上的可微性是不等价的。

2． 利用此命题可直接得到初等函数在其定义区间内是解析的。

如函数2)(z z f =，z e z f =)(是初等函数，可由此等价命题来判断上述函数在整个复平面上解析。

等价命题②（从),(),()(y x iv y x u z f +=的角度来看）：
f （z ）在区域D 内解析⇔),(y x u ,),(y x v 在区域D 内可微且满足C-R 方程。

证明：
充分性：设
),(),()(y x iv y x u z f +=
iy x z +=，D z ∈
ib a z f +=')(,a ,b ∈R
若D z z ∈∆+
则 ()()()(||)f z z f z a bi z o z +∆-=+∆+∆ )0|(|→∆z 其中0≠∆+∆=∆y i x z ，x ∆，y ∆∈R 。

所以有 |)(|)()()(z o y a x b i y b x a z f z z f ∆+∆+∆+∆-∆=-∆+
另一方面，
(,)(,)u x x y y u x y a x b y o +∆+∆-=∆-∆+
(,)(,)v x x y y v x y b x a y o +∆+∆-=∆-∆+
其中)0)()((22→∆+∆y x 。

所以),(y x u 和),(y x v 在点iy x z +=可微，并且有x
v b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,。

必要性：
因为 (,)(,)u x x y y u x y a x b y o +∆+∆-=∆-∆+ ①
(,)(,)v x x y y v x y b x a y o +∆+∆-=∆-∆+ ②
所以②式乘2与①式相加得，
|)(|2)()()(z o y a x b i y b x a z f z z f ∆+∆+∆+∆-∆=-∆+ 因为)0)()((22→∆+∆y x ，所以)(z f 在区域D 内解析。

注：
1． 由此命题可得到利用实部函数或虚部函数的一阶偏导，得到解析函数的导数，即
()u v v v f z i i x x y x ∂∂∂∂'=+=+∂∂∂∂u u v u i i x
y y y ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ 2． 此命题多用来证明抽象函数的解析性。

等价命题③（从),(),()(y x iv y x u z f +=的角度来看）：
f （z ）在区域D 内解析⇔ x u ，y u ，x v ，y v 在D 内连续且),(y x u 、),(y x v 在D 内满足C-R 方程。

证明：充分性
因为函数)(z f 在区域D 内解析，所以由解析函数的无穷可微性知，)(z f '
必在D 内连续，因而x u ，y u ，x v ，y v 必在D 内连续，C-R 方程证明方式同等价命题②的充分性证明方法。

必要性：
因为x u ，y u ，x v ，y v 在区域D 内连续，所以),(y x u ，),(y x v 在区域D 内可微，所以由等价命题②可知，)(z f 在区域D 内解析。

注：
根据此命题，容易判别具体函数的解析性或不解析性并得到相应的解析区域。

（等价命题②与此命题虽然类似，但二者应用范围不同）。

等价命题④（从),(),()(y x iv y x u z f +=的角度来看）：
f （z ）在区域D 内解析⇔在区域D 内),(y x v 是),(y x u 的共轭调和函数。

证明：
充分性:
因为),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则由C-R 方程得
x y v x u
∂∂∂=∂∂222，x y v y
u ∂∂∂=∂∂222- 因为u ，v 具有任意阶连续偏导数，所以y x v ∂∂∂2=x y v ∂∂∂2，因而02222=∂∂+∂∂y
u x u ，同理，在D 内有02222=∂∂+∂∂y
v x v ，所以),(y x u 、),(y x v 为区域D 内的调和函数，已知),(y x u 、),(y x v 在区域D 内满足C-R 方程，所以),(y x v 是),(y x u 的共轭调和函数。

必要性:
因为在D 内),(y x v 是),(y x u 的共轭调和函数，显然满足拉普拉斯方程且x u ∂∂，y u ∂∂，y
v x v ∂∂∂∂，连续且),(y x u 、),(y x v 满足C-R 方程，所以)(z f 在D 内解析。

注：由此等价命题可根据已知的实部（或虚部）来求与之对应构成解析函数的虚部（或实部）。

等价命题⑤（从积分的角度来看）：
f （z ）在区域D 内解析⇔)(z f 在D 内连续且对任一简单闭曲线C ，只要C 及其内部全含于
D 内就有⎰=c
dz z f 0)
(。

证明：
充分性：
设iQ P z +=)F(,则)()(F z f iv u x
Q i x P z =+=∂∂+∂∂='，
其中u y
Q v x Q v y P x P =∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂,,，u 0)()()(
)(=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰⎰⎰σd x v x u i y v i y u dy x Q i x P i dx x Q i x P dz z f c
c 必要性:
在D 内任一点0z 的一个邻域ρς<-|:|0z K ，ρ充分小，因为)(z f 在区域K 内连续，
对任一周线C ，只要C 及其内部全含于K 内，有
⎰=C dz z f 0)(，所以
⎰∈=
z K z d f z F 0z )()()(0ςς在K 内解析，且))(()(K z z f z F ∈='。

解析函数)(z F 的导
函数)(z F '还是解析的，即)(z f 在K 内解析。

因为0z 可在D 内任意取，故)(z f 在D 内解析。

等价命题⑥（从级数的角度来看）：
f （z ）在区域D 内解析⇔)(z f 在D 内任一点0z 的一个属于D 的邻域内可展为关于0z z -的幂级数
n
n n z z a z f )()(00-=∑∞=，其中 ,2,1,0)()(21!)(100)(=-==⎰+n d z f i n z f a r L n n n ，ζζζπ 这里),1,0)((,|:|0⋯±=<<=-k R p r p z L r ζ。

证明：
充分性：由泰勒展开定理可知命题显然成立。

必要性：
对于n n n a z c z f )()(0-∑=∞=的和函数)(z f ，在其收敛圆)
0(||+∞≤<<-
R R a z 内解析，又由a 为D 内的任一点，可知)(z f 在D 内解析。

五、小结
解析函数在复变函数中占有重要地位，熟练掌握解析函数的一些性质对于理解复变函数有良好指导作用。

本文由于作者能力有限，证明结论时有很多不足之处，还望读者见谅。

六、参考文献
【1】《工程数学复变函数》北京：高等教育出版社，2009
【2】唐生强《复变函数》北京：机械工业出版社,2010。