知识专题检测八 直线、平面、简单几何体

知识专题检测八 立体几何
一、选择题（共10 小题，每小题3分，共30分）
1．
表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A
．
3 B ．13π C ．2
3
π D
．3 2．（06北京）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于
点C ，则动点C 的轨迹是 A ．一条直线 B.一个圆
C ．一个椭圆 D.双曲线的一支 3．已知正方体外接球的体积是
π3
32
，那么正方体的棱长等于 A.22 B.
332 C.324 D.3
3
4 4．（06湖北）关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：
①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中真命题的序号是
A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③ 5．（06湖南）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面) 的面积是 ( )
A.
2
B.2
6．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果
截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）
A ．S 1<S 2 B. S 1>S 2
C. S 1=S 2
D. S 1，S 2的大小关系不能确定
7.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 A.316 B.916 C.38 D.932
8． (06上海)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （ ） A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.非充分非必要条件
C
9．（06四川）已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n ββ⊥⊥，则
,m n 所成的角为
A.030
B.060
C.090
D.0120 10.（06浙江）如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上， OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点， 则点E 、F 在该球面上的球面距离是 A.
4π B.3π C.2
π
D.42π
二、填空题（共6小题，每小题4分 ，共24分）
11.（06北京）已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且A B R
=那么,A B 两点的球面距离为_______________，球心到平面ABC 的距离为______________.
12．过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有 条.
13.（06江西）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．． 到达1A 点的最短路线的长为 .
14.水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R 的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是
15.（06天津）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中， 1.AB =若二面角1C AB C --的大小为60o
，则点C 1到直线AB 的距离为 。

C B A
C
B
C
B
A
A 1
B 1
C 1
16．（06浙江）如图，正四面体ABCD的棱长为1，平面α过棱AB，且CD∥α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积是_______。

三．解答题（共4小题，10+12+12+12=46，共46分）
17. （06安徽）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在
平面外一点，1
PA=，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。

（Ⅰ）证明PA⊥BF；
（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小。

18．如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、
BC的中点,CA=CB=CD=BD=2
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）求点E到平面的距离.
19．（06广东）如图5所示，AF、DE分别世O、
1
O的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，8
AD=.BC是O的直径，6
AB AC
==,//
OE AD.
(I)求二面角B AD F
--的大小；
(II)求直线BD与EF所成的角. A
B
C
D
E
F
O
P
H
A
F D
20．（06湖北）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，
CP m =。

（Ⅰ）、试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B
所成角的正切值为
（Ⅱ）、在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，
1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。

答案与点拨：
1 A 解：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，
所以由2
84
⨯=知，1a =，
，故选A 。

2 A 解：设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直
所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A 3 D 解：正方体外接球的体积是
32
3
π，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，
，选D. 4 D 解：用排除法可得选D 5 C 解：棱长为2的正四面体ABCD 的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图为△ABF ，则图中AB=2，E 为AB 中点，则EF ⊥DC ，在△DCE 中，DE=EC=3，DC=2，∴EF=2，∴三角形ABF 的面积是2，选C.
6 C 解：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O
－BEFD ，
V A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C 7 A 解：设球的半径为R, 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面,
由勾股定理可得
A
B
C
D 1
A 1
B 1
C 1
D
R 的圆,
所以2
122)
32416
S S R ππ=
=,故选A
8 A 解：若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；
若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选A.
9 B 解：二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n αβ⊥⊥，则,m n 所成的角为两条直线所成的角，∴ θ=060，选B. 10 B 解：如图，2
,224
sin
1ππ
=∠==
⨯=EGF FG EG ∴OF OE FG EG EF ===+=
12
2
∴3π=∠EOF ，∴点E 、F 在该球面上的球面距离为3
13π
π=⨯
故选择B 。

R 解：如右图，因为AC BC ⊥，所以AB 是截面 的直径，又AB ＝R ，所以△OAB 是等边三角形，
所以∠AOB ＝3
π
，故,A B 两点的球面距离为3R π，
于是∠O 1OA ＝30︒，所以球心到平面ABC 的距离
OO 1＝Rcos30︒
R . 12 6 解：过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有6条。

13 10解：将正三棱柱111ABC A B C -沿
侧棱CC 1展开，其侧面展开图如 图所示，由图中路线可得结论。

14 3R 解：水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R 的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R ，侧棱长为3R ，求得它的高为R ，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R ． 15
3 解：如图，在正三棱柱111ABC A B C -中， 1.AB =若二面角1C AB C --的大小
为60o
，过C 作CD ⊥AB ，D 为垂足，连接C 1D ，则C 1D ⊥AB ，∠C 1DC=60°，CD=
2
3
，G
则C 1D=3，所以点C 1到直线AB 的距离为3。

16
2
1
解：如图，正四面体 ABCD 的棱长为 1，平面α过棱 AB ， 且 CD ∥α，则CD 在平面内的射影C ’D ’恰好与AB 垂直平分，即正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形为正方形AC ’BD ’，它的面积是
111122
⨯⨯=。

17 解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF 中，ABF 为等腰三角形，
∵P 在平面ABC 内的射影为O ，∴PO ⊥平面ABF ，∴AO 为PA 在平面ABF 内的射影；∵O 为BF 中点，∴AO ⊥BF ，∴PA ⊥BF 。

（Ⅱ）∵PO ⊥平面ABF ，∴平面PBF ⊥平面ABC ；而O 为BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ，∴A 、O 、D 共线，且直线AD ⊥BF ，则AD ⊥平面PBF ；又∵正六边形ABCDEF 的边长为1，∴
12AO =
，3
2
DO =
，BO =。

过O 在平面POB 内作OH ⊥PB 于H ，连AH 、DH ，则AH ⊥PB ，DH ⊥PB ，所以AHD ∠为所
求二面角平面角。

在AHO 中，
OH=7
，1
tan AO AHO OH ∠==。

在DHO
中，3
tan DO DHO OH ∠===；
而tan tan()AHD AHO DHO ∠=∠+∠==
（Ⅱ）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，1
2
-,0)，
，
0,0)，D(0,2，0)，∴1(0,,1)2
PA =--，3
(
1)PB =-，(0,2,1)PD =- 设平面PAB 的法向量为111(,,1)n x y =，则1n PA ⊥，1n PB
⊥，得11
1
102
10
y x ⎧--=⎪⎪-=，
123(2,1)n =-；设平面PDB 的法向量为222(,,1)n x y =，则2n PD ⊥，2
n PB ⊥，得
22210
102
y x -=⎧-=⎩，2
231(,1)2n =；
121212cos ,||||
n n n n n n ⋅<>=
=⋅35105-,所求二面角的大小为arccos(35105
-).
18 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所 成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象 能力、逻辑思维能力和运算能力。

方法一： （I ）证明：连结OC
,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥
,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥
在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO ==
而2,AC = 2
2
2
,AO CO AC ∴+=
90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥
,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD
（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC
∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角
在OME ∆中，
11
1,222
EM AB OE DC =
===
OM 是直角A O C
∆斜边AC
上的中线，1
1,2
OM AC ∴=
= cos 4OEM ∴∠=
∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为arccos 4
（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h
,
11
(33)
E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴= 在ACD ∆中，2,CA CD AD ===
122
ACD S ∆∴== 而211,2242CDE AO S ∆==⨯=
1.CDE
ACD
AO S h S ∆∆∴=
=
= ∴点E 到平面ACD
方法二： （I ）同方法一。

（II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -
A
B
M D
E
O
C
1
(0,0,1),((1,0,1),(1,
2
C A E BA CD
=-=-
.2
cos,
4
BA CD
BA CD
BA CD
∴<>=
=
∴异面直线AB与CD 所成角的大小为arccos
4
（
III）解：设平面ACD的法向量为(,,),
n x y z
=则
.(,,).(1,0,1)0,
.(,,1)0,
n AD x y z
n AC x y z
⎧=--=
⎪
⎨
=
-=
⎪⎩
0,
0.
x z
z
+=
⎧⎪
∴
-=
令1,
y=
得(3,1,
n=-是平面ACD 的一个法向量。

又
1
(,
22
EC=-∴点E到平面ACD的距离
.3
7
7
EC n
h
n
===
19 解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，
依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角B—AD—F的大小为450；
(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空
间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，2
3
-，
0），B（2
3，0，0）,D（0，2
3
-，8），E（0，0，8），F
（0，2
3，0）
所以，)8,2
3
,0(
),
8,2
3
,2
3
(-
=
-
-
=
10
82
82
100
64
18
|
||
|
,
cos=
⨯
+
+
=
>=
<
FE
BD
设异面直线BD与EF所成角为α，
则
10
82
|
,
cos
|
cos=
>
<
=
α
直线BD与EF所成的角为
10
82
arccos
20 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能
力。

考查应用向量知识解决数学问题的能力。

y
解法１：（１）,,AC AC BD O =连设
1.AP B G OG 1与面BDD 交于点，连 1111
//,,PC BDD B BDD B APC OG =因为面面面
故//OG PC 。

所以122
m
OG PC =
=。

又111,,AO DB AO BB AO BDD B ⊥⊥⊥所以面　. 故11AGO AP BDD B ∠即为与面所成的角。

在Rt
△2tan 2
AOG AGO m ==中，
1
3m =. 故当1
3
m =
时，直线AP 11与平面BDD B
（Ⅱ）依题意，要在11A C 上找一点Q ，使得1D Q AP ⊥. 可推测11A C 的中点1O 即为所求的Q 点。

因为1111.D O A C ⊥111D O AA ⊥，所以111.D Q ACC A ⊥面 又11.AP ACC A ⊂面,故11D O AP ⊥。

从而111D O AD P AP 在平面上的射影与垂直。

解法二：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0),B 1(1,1,1),D 1(0,0,1).
所以1(1,1,0),(0,0,1),BD BB =--=
(1,1,),(1,1,0).AP m AC =-=-
又由110,0AC BD AC BB AC D D ⋅=⋅=1知为平面BB 的一个法向量. 设AP 与11BDD B 面　所成的角为θ， 则||sin
cos(
)2
||||2AP AC AP AC π
θθ⋅=-=
=⋅
=
13
m =
.
故当1
3
m =
时，直线AP 11与平面BDD B （２）若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ， 则1
(,1,1),(,1,0)Q x x DQ x x -=-。

依题意，对任意的m 要使D1Q 在平面APD1上的射影垂直于AP 。

等价于
11AP 10(1)02
D Q AP D Q x x x ⊥⇔⋅=⇔+-=⇔=
即Q 为11A C 的中点时，满足题设的要求.。