湖北高二高中数学期末考试带答案解析

湖北高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2.给出命题：“若，则”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是
A．0个B．1个C．2个D．3个
3.已知命题p：，则命题p的否定是
A．
B．
C．
D．
4.已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为
A．B．
C．D．
5.如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入
A．P＝B．P＝C．P＝D．P＝
6.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为，则…=
A．B．C．D．
7.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
C．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
8.已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
A．B．
C．D．
9.给定两个命题p，q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，
．给出如下四个结论：
①；
②；
③；
④当且仅当“”整数属于同一“类”．
其中，正确结论的个数为．
A．B．C．D．
二、填空题
1.把89化成二进制数为 .
2.某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2，若该校取一个容量为n的样本，则n= .
3.某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为.
4.多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案才算答对，在一次考试中有一道多选题，甲同学不会，他随机猜测，则他答对此题的概率为 .
5.已知正三角形内切圆的半径与它的高的关系是：,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球
的半径与正四面体高的关系是 .
6.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是 (不作近似计算) .
7.设分别是双曲线C:的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（
为原点），且，则双曲线的离心率为 .
三、解答题
1.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表：
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理
由；下面的临界值表供参考：
(参考公式：，其中)
2.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°-sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°-sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°-sin18°cos12°；
④sin2(-18°)＋cos248°-sin(-18°)cos48°；
⑤sin2(-25°)＋cos255°-sin(-25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
3.在平面直角坐标系中，动点满足：点到定点与到轴的距离之差为.记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点的直线交曲线于、两点，过点和原点的直线交直线于点，求证：直线平行于轴.
4.从某校高二年级名男生中随机抽取名学生测量其身高，据测量被测学生的身高全部在到之间．将测量结果按如下方式分成组：第一组，第二组，，第八组，如下右图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第六组、第七组和第八组的人数依次成等差数列．
频率分布表如下：
频率分布直方图如下：
（1）求频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图；
（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取名男生，记他们的身高分别为,求满足:的事件的概率．
5.已知△的两个顶点的坐标分别是，，且所在直线的斜率之积等于． （1）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线； （2）当时，过点
的直线交曲线
于
两点，设点
关于轴的对称点为
(
不重合)， 试
问：直线
与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.
湖北高二高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.在复平面内，复数对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C 【解析】复数，所以复数
对应的点为（-3，-4）位于第三象限，故选
C.
【考点】复数运算.
2.给出命题：“若，则”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】D
【解析】逆命题为：若，则，是真命题； 否命题为：若
，则
或
，是真命题； 逆否命题为：若或，则，是真命题．
【考点】四种命题间的逆否关系.
3.已知命题p ：，则命题p 的否定是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】已知命题是一个全称命题，由全称命题的否定形式，可知其否定是一个特称命题，把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，然后把“(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)≥0”改为“(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)<0”，即可得到该命题的否定形式为“∃x 1，
x 2∈R ，(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)<0”，故选B. 【考点】1.全称命题；2.命题的否定.
4.已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为
，则回归直线方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】设回归直线方程为
∵样本点的中心为（4，5），∴5=1.23×4+a ∴a=0.08∴回归直线方程为故选C ． 【考点】线性回归方程．
5.如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入
A ．P ＝
B ．P ＝
C ．P ＝
D ．P ＝
【答案】D
【解析】由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M 是圆周内的点的次数，当i 大于1000时，圆周内的点的次数为4M ，总试验次数为1000，所以要求的概率P ＝，所以空白框内应填入的表达
式是P ＝
．故选D.
【考点】循环结构.
6.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n(n>l ，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点
数记为，则…=
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】每个边有n 个点，把每个边的点数相加得3n ，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n 个图形的点数为3n-3，即．令
…=，故选B．.
【考点】1.归纳推理；2.数列的求和．.
7.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
C．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【答案】B
【解析】；
甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为，选.
【考点】1.极差、方差与标准差；2.分布的意义和作用；3.众数、中位数、平均数．.
8.已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】依题意知，所以双曲线的方程为．.
【考点】双曲线的标准方程．.
9.给定两个命题p，q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为
p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
10.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，
．给出如下四个结论：
①；
②；
③；
④当且仅当“”整数属于同一“类”．
其中，正确结论的个数为．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对；
②∵-3=5×（-1）+2，∴对-3∉[3]；故②错；
③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；
④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．故④对．
∴正确结论的个数是3．故选C．.
【考点】新定义.
二、填空题
1.把89化成二进制数为 .
【答案】
【解析】89÷2=44 (1)
44÷2=22 0
22÷2=11 0
11÷2=5 (1)
5÷2=2 (1)
2÷2=1 0
1÷2=0 (1)
故=.
【考点】进位制.
2.某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2，若该校取一个容量为n的样本，则n= .
【答案】
【解析】因为题中说每人被抽到的可能性都是0.2，则说明是简单随机抽样，每人机会均等，那把要抽的人数设为n，解出n=360.
【考点】分层抽样方法.
3.某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为.
【答案】4
【解析】由题意可得：
x+y=20，，
设x=10+t，y=10-t，则2t2=8，解得t=±2，
∴|x-y|=2|t|=4，故选D.
【考点】1.极差、方差与标准差；2.众数、中位数、平均数.
4.多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案才算答对，在一次考试中有一道多选题，甲同学不会，他随机猜测，则他答对此题的概率为 .
【答案】
【解析】这是因为猜对的概率更小，由概率公式可知，分子上的数还是1，因正确答案是唯一的，而分母上的数即基本事件的总数增多了，有(A)，(B)，(C)，(D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)，(A，B，C，D)共15个，所以所求概率为
【考点】古典概型.
5.已知正三角形内切圆的半径与它的高的关系是：,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径与正四面体高的关系是 .
【答案】
【解析】球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．
把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以，所以（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）故答案为：.
【考点】类比推理.
6.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是 (不作近似计算) .
【答案】
【解析】∵铜钱的面积，能够滴入油的图形为边长为的正方形，面积∴
故答案为：故选D．.
【考点】几何概型．.
7.设分别是双曲线C:的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（
为原点），且，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】,设，则，，，.
【考点】双曲线的简单性质.
三、解答题
1.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表：
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理
由；下面的临界值表供参考：
(参考公式：，其中)
【答案】（1）详见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.
【解析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，可得喜爱打篮球的学生，即
可得到列联表；
（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论.
试题解析：列联表补充如下： 3分
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
（2）∵
∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关. 12分
【考点】独立性检验．.
2.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°-sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°-sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°-sin18°cos12°；
④sin2(-18°)＋cos248°-sin(-18°)cos48°；
⑤sin2(-25°)＋cos255°-sin(-25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=，可得这个常数的值．
（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=．
证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．
证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化
为，
即，化简可得结果.
试题解析：法一：(1)选择②式，计算如下：
4分
(2)三角恒等式为 6分
证明如下：
12分
法二：(1)同法一．
(2)三角恒等式为
证明如下：
.
【考点】1.分析法和综合法；2.归纳推理．.
3.在平面直角坐标系中，动点满足：点到定点与到轴的距离之差为.记动点的轨
迹为曲线.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点的直线交曲线于、两点，过点和原点的直线交直线于点，求证：直线平行于
轴.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】（1）由点到定点与到轴的距离之差为可得，即，化简可
得轨迹方程为；
（2）方法一：设，直线的方程为，联立得
，求出直线的方程为点的坐标为利用斜率可得
直线平行于轴；
方法二：设的坐标为，则的方程为点的纵坐标为，
直线的方程为点的纵坐标为所以轴；当时，结论也成立，直线平行于轴得证.
.
试题解析：（1）依题意： 2分
4分
6分
注：或直接用定义求解.
（2）设，直线的方程为
由得 8分
直线的方程为点的坐标为 10分
直线平行于轴. 13分
方法二：设的坐标为，则的方程为
点的纵坐标为，
直线的方程为
点的纵坐标为.
轴；当时，结论也成立，
直线平行于轴.
【考点】1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.轨迹方程；3.抛物线的标准方程.
4.从某校高二年级名男生中随机抽取名学生测量其身高，据测量被测学生的身高全部在到之间．将测量结果按如下方式分成组：第一组，第二组，，第八组，如下右图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第六组、第七组和第八组的人数依次成等差数列．
频率分布表如下：
频率分布直方图如下：
（1）求频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图；
（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取名男生，记他们的身高分别为,求满足:
的事件的概率．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）由频率和为1，及题设条件得出样本中6、7组的人数为7人，由已知：x+m=7，x，m，2成等差数列，故可求得答案．
（2）从身高属于第6组和第8组的所有男生中随机的抽取2名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足：|x-
y|≤5事件的概率，这是一个古典概率模型的问题．用列举法列出基本事件的个数与事件工包含的基本事件数，用古典概率模型的公式求概率．.
试题解析：(1) 由频率分布直方图得前五组的频率是
，
第组的频率是，所以第组的频率是，所以样本中第组的总人数为人．由已知
得：①
成等差数列，②
由①②得：，所以 4分
频率分布直方图如下图所示：
6分
（2）由（1）知，身高在内的有人，设为，身高在内的有人，设为
若，则有共种情况；
若，则有共种情况；
若，或，，则有
共种情况
∴基本事件总数为，而事件“”所包含的基本事件数为,故
. 14分
【考点】1.频率分布直方图；2.等可能事件的概率．.
5.已知△的两个顶点的坐标分别是，，且所在直线的斜率之积等于．
（1）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；
（2）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合)，试
问：直线与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）列式整理得到顶点C的轨迹E的方程，然后分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线；
（2）把代入E得轨迹方程，由题意设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M，N两
点的横坐标的和与积，由两点式写出直线MQ的方程，取y=0后求出x，结合根与系数关系可求得x=2，则得到直线MQ与x轴的交点是定点，并求出定点．.
试题解析：（1）由题知：
化简得： 2分
当时轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；
当时轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点；
当时轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；
当时轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点；6分
（2）设
依题直线的斜率存在且不为零，则可设:，
代入整理得
，， 9分
又因为不重合，则
的方程为令，
得
故直线过定点. 14分
解二：设
依题直线的斜率存在且不为零，可设:
代入整理得：
,， 9分
的方程为令，
得
直线过定点 14分
【考点】1.椭圆的简单性质；2.与直线有关的动点轨迹方程.。