2023届高三数学模拟试题及参考答案

2023届高三数学模拟试题
时量：120分钟满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合()(
){
}
2
{14},210A x x B x x a x a =-<=---<∣∣，
若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为（ ） A.{2}a
a >∣ B.{}2a a ∣ C.{1a a =∣或2}a D.{}
1a a ∣ 2.已知22221
,22P a b c Q a b c
=++
+=+，则（ ）A.P Q B.P Q = C.P Q D.,P Q 的大小无法确定 3.若tan 1α=，则sin2cos2αα-=（ ）A.15
- B.
14 C.1
2 D.1 4.各项为正的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2
114n n S a =+，则263n n S a ++的最小值为（ ）A.92
B.4
C.3
D.2
5.已知过点(3的动直线l 与圆22:16C x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作C 的切线，两切线交于点N .若动点()cos ,sin (002)M θθπ<，则MN 的最小值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9
6.阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为
()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为
3570x y z -+-=，直线l 是两平面370x y -+=与4210y z ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的正
弦值为（ ） 10 75
7 14
7.已知()0.11
1,tan 0.1,ln0.9e
a b c =
-=-=，其中e 为自然对数的底数，则（ ） A.c a b >> B.a b c >> C.b a c >> D.a c b >>
8.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为C 上不与左､有顶点重合的一点，I 为
12
PF F 的内心，且12322IF IF PI +=，则C 的离心率为（
）A.13 B.25 C.33 D.6
5
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选
错的得0分，部分选对的得2分
9.给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A.若0a b ⋅<，则,a b 是钝角
B.若1
24777
OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 一定共面 C.过点()1,2P 且在,x y 轴截距相等的直线方程为30x y +-= D.直线sin 20x y α++=的倾斜拜θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤
⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢
⎣⎦
⎣⎭
10.已知奇函数()()()3sin cos (0,0)f x x x ωϕωϕωϕπ=+-+><<的周期为π，将函数()f x 的图像向有平移
6
π
个单位长度，可得到函数()y g x =的图像，则下列结论正确的是（ ） A.函数()2sin 23g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
B.函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增 C.函数()g x 的图像关于直线12x π=-
对称 D.当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()g x 3
11.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,2,ACB AC BC CC E ∠====为11B C 的中点，过AE 的截面与棱111BB A C ､分别交于点F G ､，则下列说法中正确的是（ ）
A.存在点F ，使得1A F AE ⊥ B 线段1C G 长度的取值范围是[]0,1 C.当点F 与点B 重合时，四棱锥C AFEG -的体积为2 D.设截面AFEG AEG AEF ､､
的面积分别为123S S S ､､，则2
123
S S S 的最小值为312.数列{}n a 满足2
11,31n n n a a a a a +==--，则下列说法正确的是（ ）
A.若1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减
B.若存在无数个自然数n ，使得1n n a a +=，则1a =
C.当2a >或1a <时，{}n a 的最小值不存在
D.当3a =时，
1211
11,122
22n a a a ⎛⎤
+++
∈ ⎥---⎝⎦
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知()2
:,210,:1,p x R ax x q a ∞∃∈++<∈+，则q 是p ⌝的__________条件.（在充分不必要､必要不充
分､充要､既不充分也不必要中选一个正确的填入）
14.已知定圆22:(3)16M x y -+=，点A 是圆M 所在平面内一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段PA 的中垂线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹：①椭圆；②双曲线；③拋物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.其中所有可能的结果有__________个.
15.点O 是ABC 的外心，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，3A π
=，且cos cos 2sin sin B C
AB AC OA C B
λ⋅+⋅=，则λ的值_. 16.已知m n ､为实数，()e 1x
f x mx n =-+-，若()0f x 对x ∀∈R 恒成立，则
n m
m
-的最小值为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分､
解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）设{}n a 是公比为正数的等比数列，1322,4a a a ==+.
（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S .
18.（12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c D 为边BC 上一点，若AB DB
AC DC
= （1）证明：（i ）AD 平分BAC ∠；（ii ）2AD AB AC DB DC =⋅-⋅； （2）若()()1sin sin cos 1cos B BAC B BAC ∠∠+=+，求a b
c
+的最大值.
19.（12分）汽车尾气排放超标是全球变暖､海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份t 2017
2018
2019
2020
2021
年份代码()2016x
x t =-
1 2 3 4 5
销量
/y 万辆
10 12 17 20 26
（1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽㳿车）的情况，该企业随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有ω名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车.
①若95ω=，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购値新能源汽车的女性车主的人数假设每位车主只购头一辆汽车，结果精确到千人）； ②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p ，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为()f p ，求当w 为何值时，()f p 最大.
附：ˆˆˆy
bx a =+为回归方程，1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y
nx y b a
y bx x
nx ==-⋅==--∑∑.
20.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,2ABCD PA AD ==，4,3,BD AB BD ==是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥.
（1）若点E 为棱PC 的中点，证明：BE ∥平面PAD ；
（2）已知二面角P AB D --的大小为60，求平面PBD 和平面PCD 的夹角的余弦值.
21.（12分）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，且过()2,0A -，31,2B ⎛⎫
⎪⎝⎭
两点. （1）求椭圆C 的方程；
（2）F 为椭圆C 的右焦点，直线l 交椭圆C 于,P Q （不与点A 重合）两点，记直线,,AP AQ l 的斜率分别为
12,,k k k ，若123
k k k
+=-
，证明：FPQ 的周长为定值，并求出定值.
22.（本小题满分12分）已知函数()2sin ln f x x x a x =--. （1）当0a =时，()0,
,2x f x mx π⎛⎤
∀∈ ⎥⎝
⎦
，求实数m 的取值范围； （2）若()1212,0,,x x x x ∞∃∈+≠，使得()()12f x f x =，求证：2
12x x a <
数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
C
D
D
B
A
B
B
BD
AC
BC
ACD
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 【解析】
212a a +，
1a ∴=时，B =∅，满足A B ⋂=∅；
1a ≠时，{
}
2
21,B x
a x a A B =<<+⋂=∅∣，得24
1a a ⎧⎨≠⎩
，解得2a . 综上，实数a 的取值范围为{1a
a =∣或2}a ， 故选：C.
2.C 【解析】()2
2222221122(1)(1)0P Q a b c a b a b c c c ⎛⎫⎛⎫-=+++-+=-+-+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，
故0P Q -，所以P Q . 故选：C.
3.D 【解析】2222
2222
2sin cos cos sin 2tan 1tan 2111sin2cos21sin cos tan 111
ααααααααααα-+-+⨯-+-====+++. 故选：D.
4.D 【解析】各项为正的数列{},0n n a a >，
()2
114
n n S a =
+， 2n ∴时，()()22
11111144
n n n n n a S S a a --=-=
+-+， 化为：()()1120n n n n a a a a --+--=，
110,2n n n n a a a a --+>∴-=，
又()2
11114
a a =
+，解得11a =. ∴数列{}n a 是等差数列，首项为1，公差为2. ()12121n a n n ∴=+-=-，
221
(211)4
n S n n ∴=-+=，
()222626344
122122321311
1
n n S n n n n a n n n n +++∴===++-+⋅
=+-++++， 当且仅当1n =时取等号，
26
3
n n S a +∴
+的最小值为2.
故选：D.
5.B 【解析】易得圆心()0,0C ，半径为4，如图，连接,CA CB ，则,CA NA CB NB ⊥⊥，则,,,N A C B 四点在以NC 为直径的圆上，
设()00,N x y ，则该圆的圆心为00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22
00x y +，圆的方程为22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又该圆和圆C 的交点弦即为AB ，
故2
2
22
22
0000:16224x y x y AB x y x y +⎛⎫⎛⎫+----=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，整理得0016x x y y +=，又点(3在直线 AB 上，
故00316x =，即N 点轨迹为3160x -=，又M 在圆22
1x y +=上，故MN 的最小值为
圆心()0,0到直线3160x -=的距离减去半径11731
=+. 故选：B. 6.A 【解析】
平面α的方程为3570,x y z -+-=∴平面α
的法向量可取()3,5,1m =-，
平面370x y -+=的法向量为()1,3,0a =-，平面4210y z ++=的法向量为()0,4,2b =， 设两平面的交线l 的方向向量为(),,n x y z =，
由30420
n a x y n b y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3x =，则1,2y z ==-，所以()3,1,2n =-， 设直线l 与平面α所成角的大小为10
,sin cos ,351435
m n m n m n
θθ⋅===
=⨯. 故选：A.
7.B 【解析】令()()e 1x
g x x =-+，则()e 1x
g x '=-，
当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<， 所以当0x =时，()g x 取得最小值，即()()00g x g =， 所以e 1x x +，
所以0.1e 10.1110.1a -=->-+-=-； 因为tan ,0,
2x x x π⎛
⎫
>∈ ⎪⎝
⎭
，所以tan0.10.1b =-<-. 令()1ln (0)x x x x ϕ=-->，则()111x x x x
ϕ'-=-
=， 当01x <<时，()0x ϕ'<，当1x >时，()0x ϕ'>， 所以当1x =时，()x ϕ取得最小值，所以()()10x ϕϕ=，
所以ln 1x x -，所以ln0.90.910.1c =<-=-. 设()()()ln 1tan ,1,0f x x x x =+-∈-，
()()()
222
cos 111
1cos 1cos x x f x x x x x '-+=-=++. 设()()()2
cos 1,2cos sin 1sin21h x x x h x x x x =---'+=-=-，
在()1,0-上，()()0,h x h x '<递减，所以()()00h x h >=， 所以()()0,f x f x '>递增，
所以()()0.10f f -<，即()ln0.9tan 0.10--<， 所以c b <， 综上：a b c >>， 故选：B.
8.B 【解析】设M 是2PF 的中点，连接IM ，如图，则22IP IF IM +=，
由12322IF IF PI +=，得1211322340,,,IF IF IP IF IM F I M ++=+=∴三，
点共线，114
34,3
F I I MI IM
=∴=
. 由1F M 既是12PF F ∠的平分线，又是2PF 边上的中线，得12112,2F M PF PF F F c ⊥==，
2222,PF a c MF a c ∴=-=-.作IN x ⊥轴于点112,Rt Rt N F INc F F M ，且
11122
422,,35
F I F I F F c c IN IM e IN
IM
MF a c a =∴
=
=
=
=∴==-，
故选：B.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.BD 【解析】对,0,,A a b a b ⋅<不一定是钝角，可能是平角，A 错；
对B ，若A B C ､､不共线，由
124
1777++=，得,,,P A B C 共面. 若A B C ､､共线，由124777
OP OA OB OC =++得A B C P ､､､共线，即共面，B 对；
对C ，若截距均为0，则直线方程为2,C y x =错； 对[]D,tan sin 1,1k θα==-∈-，又[)0,θπ∈，故30,
,44ππθπ⎡⎤⎡⎫
∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
，D 对；故选：B D. 10.AC 【解析】由已知，()()()3sin cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛
⎫
=+-+=+- ⎪⎝
⎭
， 因为函数()f x 为奇函数，所以,6
k k π
ϕπ-=∈Z ，可得,6
k k π
ϕπ=
+∈Z ，
又因为0ϕπ<<，所以6
π
ϕ=
，
又因为函数()f x
的周期为π，所以
2π
πω
=，解得2ω=，
所以()2sin2f x x =. 将函数()f x 的图像向右平移6π个单位长度，得()2sin 22sin 263y g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，故选项A 正
确； 当,63x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦不单调，故选项B 错误；
当12x π=-
时，2sin 22sin 2121232g ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=⨯--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，所以12x π=-是函数()g x 的一条对
称轴，故选项C 正确；
当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以3sin 23x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦， 所以2sin 23,23x π⎛
⎫⎡
⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝
⎭
，故选项D 错误. 故选：A C.
11.BC 【解析】因为1CC ⊥平面,ABC AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，1CA CB CC ､､所在直线分别为x y z ､､轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则()()()()()()()1112,0,00,2,00,0,02,0,20,2,20,0,20,1
,2A B C A B C E ､､､､､､､ 设点()()0,2,,0,2F a G b ､，其中02,02a b .
对于A 选项，若存在点F ，使得1A F AE ⊥，且()()12,2,2,2,1,2A F a AE =--=-， ()142220A F AE a ⋅=++-=，解得1a =-，不合乎题意，A 错；
对于B 选项，设AG mAE nAF =+，其中,m n ∈R ，
即()()()2,0,22,1,22,2,b m n a -=-+-，即222
2022
m n b m n m an --=-⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
，可得424b a =
+-， 02a ，则442a ---，所以，[]4
20,1,B 4
b a =
+∈-对； 对于C 选项，当点F 与点B 重合时，0a =，则1b =，此时点G 为11A C 的中点，如下图所示： 在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为矩形，则11AB A B ∥且11A B AB =，
E G ､分别为1111B C AC ､的中点，则11//EG A B 且111
2
EG A B =
， 所以，EG AB ∥且12EG AB =，同理1//C G AC 且111,2C G AC C E BC =∥且11
2
C E BC =，
所以，
111
2C E C G EG AB BC AC ===，故几何体1ABC GEC -为三棱台， 111111
2,222ABC C BG S AC BC S C E C G =⋅==⋅=，
()
11111177
23323ABC GEC ABC GEC ABC GEC V S S S S CC -=++⋅=⨯⨯=，
1111111
23323
C GEC GEC V S CC -=⋅=⨯⨯=，
因此，112,C C AFEG ABC GEC C GEC V V V ---=-=对； 对于D 选项，()()2,1,2,2,2,AE AF a =-=-，
则点F 到直线AE 的距离为2
2
2
152436||AE AF
a a d AF AE ⎛⎫⋅-+
⎪=-= ⎪⎝⎭
， ()2,0,2AG b =-，则点G 到直线AE
的距离为2
22||AG AE
d AG AE ⎛⎫⋅
⎪=- ⎪⎝
⎭
()
22548252436b b a a -+-+==
所以，223124S d S d a ==-，故()22233122323322424222244242
S S S S S a a S S S S S S a a +--==++=++⋅=--， 当且仅当2a =时，等号成立，故2
123
S S S 的最小值为4,D 错.
故选：B C.
12.ACD 【解析】A 选项，()2
2
1211n n n n n a a a a a +-=--=--，
令1n n a a +<，解得：1n a ≠，
令2
1311n n n a a a +=--≠，解得：2n a ≠，
综上：1n a ≠且2n a ≠，
所以1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减，A 正确；
B 选项，当2a =时，2
211316411a a a =--=--=，
当3n 时，3111n a =--=，
所以存在无数个自然数n ，使得1n n a a +=， 故B 错误；
C 选项，当2a >或1a <时，()2
2
12110n n n n
n a a a a a +-=--=--<， 所以数列{}n a 单调递减，所以最小值不存在，C 正确；
D 选项，()()2
113212n n n n n a a a a a +-=--=---，
所以
()()
111
11
1
1212
n n n n n a a a a a +=-
=
------， 所以
1111
211
n n n a a a +=----， 故
121223111
11111
11
2221111
11
n n n a a a a a a a a a ++++
=-+-++
---------- 1111111
1121
n n a a a ++=
-=----，
因为{}2
12113,3110,n a a a a a a ===--=-<单调递减，
所以当2n 时，12110,01
n n a a a ++<-
>-<，
所以
1111212
n a +->-， 又因为11
1n a +-
-单调递减，所以当1n =时，11121n a +--取得最大值，
最大值为
2111112122
a -=+=-， 综上：
12111
1111,122
2212n n a a a a +⎛⎤
+++
=-∈ ⎥----⎝⎦
，D 正确. 故选：AC D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.充分不必要 【解析】由题意知，
2:,210p x ax x ⌝∀∈++R ，
即0a >且Δ440a =-，解得1a ， 所以q p ⇒⌝，即q 是p ⌝的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要.
14.4 【解析】当点A 在圆M 外时，连接QA ，因点Q 在线段PA 的中垂线上，如图，
则QA QP =，有||||||||4||QA QM
QP QM PM MA -
=-==<‖‖‖， 因此点Q 的轨迹是以点,M A 为两焦点，实轴长为4的双曲线；
当点A 在圆M 内（除圆心M 外）时，连接QA ，因点Q 在线段PA 的中垂线上，如图，
则QA QP =，有4QA QM QP QM PM MA +=+==>， 因此点Q 的轨迹是以点,M A 为两焦点，长轴长为4的椭圆；
当点A 与圆心M 重合时，有PM 与PA 重合，则线段PA 的中垂线与PM 交点Q 是线段PM 中点，即2QM =，
因此点Q 的轨迹是以点M 为圆心，2为半径的圆；
当点A 在圆M 上时，圆M 上点P 与A 不重合，弦PA 的中垂线过圆心M ，即线段PA 的中垂 线与PM 交点Q 是点M ， 因此点Q 的轨迹是点M ， 所以所有可能的结果有4个. 故答案为：4 15.3
【解析】如图，
分别取,AB AC 的中点,D E ，连接,OD OE ， 则221111
;2222
AB OA AB AB c AC OA AC AC b ⋅=-⋅
=-⋅=-⋅=-，
因为
cos cos 2sin sin B C
AB AC OA C B
λ⋅+⋅=， 设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得
2sin sin sin a b c
R A B C
===， 所以两边同时点乘OA 可得
()()
2cos cos 2sin sin B C
AB OA AC OA OA C B
λ⋅⋅+⋅⋅=， 即
222cos 1cos 12sin 2sin 2B C c b R C B λ⎛⎫⎛⎫
⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以211cos cos 22sin 2sin c b c B b C R C B λ-
⋅⋅-⋅⋅=， 所以2
112cos 2cos 222
R c B R b C R λ-⋅⋅-⋅⋅=，
所以()cos cos 2c B b C R λ-+=，
所以222222222a c b a b c c b R ac ab λ⎛⎫
+-+--⋅+⋅= ⎪⎝⎭
，即2a R λ-=，
所以3
sin sin 23a A R πλ=-
=-=-=故答案为：3
2
-
16.1- 【解析】若0m ，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，且当x ∞→-时()f x ∞→-，不符合题意，
所以0m >，令()0f x '=，解得ln x m =，当ln x m <时()0f x '<，当ln x m >时()0f x '>， 所以()f x 在(),ln m ∞-上单调递减，在()ln ,m ∞+上单调递增， 所以()min ()ln ln 10f x f m m m m n ==-+-， 所以ln 1n m m m -+，则ln 21n m m m m --+，
则
1
ln 2n m m m m
--+. 令()()1
ln 2,0,g x x x x
∞=-+∈+，
则()22111
x g x x x x
='-=-，所以当1x >时()0g x '>，当01x <<时()0g x '<，
即()g x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()min ()11g x g ==-， 所以
1n m m
--，即
n m
m
-的最小值为1-. 故答案为：1-.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）因为{}n a 是公比为正数的等比数列，所以公比0q >，
因为1322,4a a a ==+，所以2
224q q =+，解得：2q =或1-， 因为0q >，所以2q =，所以{}n a 的通项公式为112n n
n a a q -==；
（2）由题意得：()12121n b n n =+-=-， 所以数列{}n n a b +的前n 项和(
)()1
22121212
212
2
n n n
n n S n +-+-=+=-+-.
18.【解析】（1）（i ）在三角形ABD 中，由正弦定理得sin sin AB DB ADB BAD ∠∠=，即sin sin AB ADB
DB BAD
∠∠=；
在三角形ACD 中，由正弦定理得sin sin AC DC ADC CAD ∠∠=，即
sin sin AC ADC
DC CAD
∠∠=. 因为AB DB AC DC =，所以AB AC DB DC =，所以
sin sin sin sin ADB ADC
BAD CAD ∠∠∠∠=. 因为ADB ∠与ADC ∠互补，所以sin sin ADB ADC ∠∠=，
所以sin sin CAD BAD ∠∠=.
因为A 为三角形内角，所以CAD BAD ∠∠π+≠，所以CAD BAD ∠∠=， 所以AD 平分BAC ∠；
（ii ）因为CAD BAD ∠∠=，所以，
由余弦定理得22222222AB AD DB AC AD DC AB AD AC AD
+-+-=
⋅⋅， 化简得()()2
22AD
AC AB AB AC AC AB DC AB DB AC -=⋅--⋅+⋅，
由（i ）得AB DC AC DB ⋅=⋅， 代入上式有()()2
:AD
AC AB AB AC AC AB DC AC DB DB AB DC -=⋅--⋅⋅+⋅⋅.
当AB AC ≠时，消去AC AB -，得：2AD AB AC DB DC =⋅-⋅，即证.
当AB AC =时，ABC 为等腰三角形，由三线合一可知，AD BC ⊥，且AB AC =. 由勾股定理得：222AD AB DB =-. 因为,AB AC DB DC ==.
所以2AD AB AC DB DC =⋅-⋅成立. 综上所述2:AD AB AC DB DC =⋅-⋅.
（2）由已知得()()1sin sin cos 1cos B BAC B BAC ∠∠+=+
2
222sin cos 2sin cos cos sin 2cos 2222222B B BAC BAC B B BAC ∠∠∠⎛⎫⎛⎫⇒+⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1tan
2tan tan tan 224221tan
2
B BA
C BAC B BAC B B ∠∠ππ∠-⎛⎫⇒=⇒=-⇒+= ⎪⎝⎭+， 所以ABC 是直角三角形，即222c a b =+，
所以222
()2
12
a b a b a b c a b b a
++==+
++，当且仅当a b =时取等号，
所以
a b
c
+219.【解析】（1）由题意得
211
1234510121720263,17,295,5555n n
i i i i i x y x y x ==++++++++======∑∑.
1
22
1
2955317ˆˆˆ4,174355545
n
i i
i n
i
i x y nx y
b
a y bx x
nx ==-⋅-⨯⨯==
==-=-⨯=--∑∑. y 关于x 的线性回归方程为45y x =+，令4550y x =+>，得11.25x >，
所以最小的整数为12,2016122028+=，
所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆.
（2）①由题意知，该地区200名购车者中女性有200954560--=名， 故其中购置新能源汽车的女性车主有602040-=名.
所以购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为408
404517=+.
所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为817
. 预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆， 因此预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数为8
3315.517
⨯≈万人. ②由题意知，45,013545
p w ω=
+，则()()
332543
5
C (1)102f p p p p p p =-=-+， ()()()
432221058310583f p p p p p p p =-+=-+' ()()210153p p p =--
当30,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，知()0f p '>， 所以函数()f p 单调递增， 当3,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，知()0f p '<， 所以函数()f p 单调递减.
所以当35p =时，()f p 取得最大值3
2
3
5333216C 1555625
f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭.
此时
453455ω=+，解得30w =，所以当30w =时()f p 取得最大值
216
625
. 20.【解析】（1）方法一：延长,CB DA 交于点F ，连接PF ， 在CDF 中，
BD 是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥，
∴点B 是CF 的中点，
又
E 是PC 的中点，
BE PF ∴∥，
又PF ⊂平面,PAD BE ⊄平面PAD ，
∴直线BE ∥平面PAD .
方法二：取CD 的中点为G ，连接GE ，
E 为PC 的中点，GE PD ∴∥，
又PD ⊂平面,PAD GE ⊄平面PAD ，
//GE ∴平面PAD ，① 又在四边形ABCD 中，
2,4,23AD BD AB ===
则90,60BAD BDA BDC ∠∠∠===， 又因为,BD BC G ⊥为CD 的中点， 所以60DBG BDA ∠∠==，
所以AD BG ∥，可得BG ∥平面PAD ，② 由①②得平面BEG ∥平面PAD ， 又BE ⊂平面,BEG BE ⊄平面PAD ，
∴直线BE ∥平面PAD .
（2）在ABD 中，2,4,23AD BD AB === 则90BAD ∠=，即BA AD ⊥，
由已知得60,8BDC BDA CD ∠∠===， 又平面PAD ⊥平面,ABCD BA ⊂平面ABCD ， 所以BA ⊥平面PAD ，即BA PA ⊥， 所以PAD ∠为二面角P AB D --的平面角， 所以60PAD ∠=，
又2PA AD ==，所以PAD 为正三角形，
取AD 的中点为O ，连OP ，则,OP AD OP ⊥⊥平面ABCD ， 如图建立空间直角坐标系，
则()(
)()()(1,0,0,1,23,0,5,43,0,1,0,0,3A B C D P --， 所以(
)()()1,0,
3,2,23,0,4,43,0DP BD DC ==--=-，
设()()111222,,,,,m x y z n x y z ==分别为平面PBD 和平面PCD 的法向量，则
00m DP m BD ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
，即1111302230
x z x y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，
取11y =-，则(
)
3,1,1m =
--，
00n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，即222230430
x z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取21y =，则(
)
3,1,1n =-，
所以3
cos ,5
m n m n m n
⋅=
=⋅， 则平面PBD 和平面PCD 所成夹角的余弦值为
35
. 21.【解析】（1）由已知设椭圆C 方程为：22
1(0,0)mx ny m n +=>>，
代入()32,0,1,
2A B ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
，得11,43m n ==， 故椭圆C 方程为22
143
x y +=.
（2）设直线()()1122:,,,,l y kx m P x y Q x y =+，
由()
22222
,
43841203412
y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩， 得()()
122222222
2'
122843,644434121924814441243km x x k k m k m k m m x x k -⎧
+=⎪⎪+-+-=-+⎨-⎪⋅=⎪+⎩
， 11212112,,222
y kx m kx m
k k x x x ++=
==+++又 故()()()12121212121212122242224
kx x k x x m x x m
kx m kx m k k x x x x x x ++++++++=
+=+++++ 2222228241681612412161612
km k k m km k m m
m km k ---++=
--++ 22
3644m k
m km k
-=
-+ 由123
k k k +=-，得22320m km k -+=，
故()()202m k m k m k --=⇒=或m k =，.
①当2m k =时，直线():22l y kx k k x =+=+，过定点()2,0A -，与已知不符，舍去； ②当m k =时，直线():1l y kx k k x =+=+，过定点()1,0-，即直线l 过左焦点， 此时222Δ192481441441440k m k =-+=+>，符合题意. 所以FPQ 的周长为定值48a =.
22.【解析】（1）由()f x mx ，得2sin x x mx -，
即sin 2x m x -，其中0,2x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
.
令()sin 2,0,2x h x x x π⎛⎤
=-
∈ ⎥⎝⎦
，得()2sin cos x x x h x x -'=，. 设()sin cos ,0,
2x x x x x πϕ⎛
⎤
=-∈ ⎥⎝
⎦
，
则()sin 0x x x ϕ'=>，所以()x ϕ在0,
2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
上单调递增，
所以()()0sin00cos00x ϕϕ>=-⨯=，所以()0h x '>，
所以()h x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()h x 在0,2π⎛⎤
⎥⎝⎦
上有最大值， max sin
22()2222
h x h π
πππ⎛⎫==-
=- ⎪⎝⎭
， 所以m 的取值范围为22,∞π⎡⎫
-+⎪⎢
⎣⎭
； （2）由()()12f x f x =，可得1112222sin ln 2sin ln x x a x x x a x --=--， 整理为()()()212121ln ln 2sin sin a x x x x x x -=---， 令()sin ,0u x x x x =->，
则()1cos 0u x x ='-，所以()sin u x x x =-在()0,∞+上单调递增， 设12x x <，所以1122sin sin x x x x -<-，从而2121sin sin x x x x ->-，
所以()()()()()212121212121ln ln 2sin sin 2a x x x x x x x x x x x x -=--->---=-， 所以2121
ln ln x x a x x ->-. 下面证明211221ln ln x x x x x x ->-21221
11ln x x x x x x -> 令21x t x =，即证明1ln t t t
->，其中1t >ln 0t t ->， 设()ln (1)v t t t t =->，则()2(1)02t v t t t
'-=>， 所以()v t 在()1,∞+上单调递增，
所以()()1ln101
v t v >=-=， 所以211221
ln ln x x x x x x ->- 所以211221
ln ln x x a x x x x ->>-， 所以212x x a <.。