[配套K12]2016-2017学年高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 4 直角三角形的射

四直角三角形的射影定理
1．了解射影定理的推导过程．
2．会用射影定理进行相关计算与证明．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 射影的相关概念
阅读教材P20“探究”以上部分，完成下列问题．
1．点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.
2．线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．3．射影：点和线段的正射影简称为射影．
教材整理2 射影定理
阅读教材P20～P22“习题”以上部分，完成下列问题．
1．文字语言
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
2．图形语言
如图1­4­1，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，
图1­4­1
则有CD2＝AD·BD.
AC2＝AD·AB.
BC2＝BD·AB.
如图1­4­2，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D且CD＝4，则AD·DB＝( )
图1­4­2
A．16 B．4
C．2 D．不确定
【解析】由射影定理AD·DB＝CD2＝42＝16.
【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
的长度比为AC∶BC＝3∶4.
(1)求AD∶BD的值；
(2)若AB＝25 cm，求CD的长．
【精彩点拨】先根据AC∶BC与AD∶BD之间的关系求出AD∶BD的值；再根据斜边AB 的长及AD∶BD的值分别确定AD与BD的值．最后由射影定理CD2＝AD·BD，求得CD的长．【自主解答】(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
∴AD·AB BD·AB
＝
AC2
BC2
，
∴AD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916
， 即AD ∶BD ＝9∶16.
(2)∵AB ＝25 cm ，AD ∶BD ＝9∶16，
∴AD ＝925×25＝9(cm)，BD ＝16
25×25＝16(cm)，
∴CD ＝AD ·BD ＝9×16＝12(cm)．
1．解答本题(1)时，关键是把AD
BD
转化为⎝ ⎛⎭
⎪⎫AC BC 2.
2．解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角三角形中有关线段的长度．在解题时，要紧抓线段比之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件，紧扣等式结构形式，达到最终目的．
[再练一题]
1．如图1­4­3，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若AD ＝2 cm ，DB ＝6 cm ，求CD ，
AC ，BC 的长. 【导学号：07370019】
图1­4­3
【解】 ∵CD 2
＝AD ·DB ＝2×6＝12， ∴CD ＝12＝23(cm)．
∵AC 2
＝AD ·AB ＝2×(2＋6)＝16， ∴AC ＝16＝4(cm)．
∵BC 2＝BD ·AB ＝6×(2＋6)＝48， ∴BC ＝48＝43(cm)．
故CD ，AC ，BC 的长分别为2 3 cm,4 cm ， 4 3 cm. [探究共研型]
探究 1
吗？
【提示】如图，在Rt△ABC中，
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴(AD＋BD)2＝AC2＋BC2，
∴AD2＋2AD·BD＋BD2＝AC2＋BC2，
∴2AD·BD＝AC2－AD2＋BC2－BD2.
∵AC2－AD2＝CD2，
BC2－BD2＝CD2，
∴2AD·BD＝2CD2.
∴CD2＝AD·BD.
在Rt△ACD中，
AC2＝AD2＋CD2
＝AD2＋AD·BD
＝AD(AD＋BD)
＝AD·AB.
同理可证BC2＝BD·AB.
探究2 直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？
【提示】直角三角形射影定理的逆定理：
如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．
符号表示：如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD·BD，则△ABC为直角三角形．
证明如下：
∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.
又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD，
∴△ACD∽△CBD，∴∠CAD＝∠BCD.
又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC 为直角三角形．
如图1­4­4所示，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.
图1­4­4
求证：CD 3
＝AE ·BF ·AB.
【精彩点拨】 ∠ACB ＝90°，CD ⊥AB →CD 2
＝AD ·DB →CD 3
＝AE ·BF ·A B.
【自主解答】 ∵∠BCA ＝90°，CD ⊥BA ， ∴CD 2
＝AD ·BD . 又∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ， ∴AD 2
＝AE ·AC ，BD 2
＝BF ·BC ，
∴CD 4
＝AD 2
·BD 2
＝AE ·AC ·BF ·BC ＝AE ·BF ·AC ·BC . 而S △ABC ＝12AC ·BC ＝1
2AB ·CD ，
∴CD 4＝AE ·BF ·AB ·CD ， 即CD 3＝AE ·BF ·AB.
1．解答本题的关键是利用S △ABC ＝12AC ·BC ＝1
2
AB ·CD 进行转化．
2．在证明与直角三角形有关的问题时，常用射影定理来构造比例线段，从而为证明三角形相似创造条件．
[再练一题]
2．在本例条件不变的情况下，求证：DE 3DF 3＝AE
BF
.
【证明】 根据题意可得，DE ＝CF ，CE ＝DF ，
DE 2＝AE ·CE ，DF 2＝BF ·CF ，
∴DE 2
·BF ·CF ＝DF 2
·AE ·CE ，
∴DE 3
·BF ＝DF 3
·AE ，即DE 3DF 3＝AE
BF
.
[构建·体系]
射影
定理
射影的有关概念与射影定理有关的计算与证明射影定理
1．如图1­4­5所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，则
AC 等于( )
图1­4­5
A.
5
3 B.
213
C.
213
3
D.13
【解析】 由射影定理知，
CD 2＝BD ·AD ，∴AD ＝43
，
∴AB ＝AD ＋BD ＝13
3，
∴AC 2
＝AD ·AB ＝43×133＝529，
∴AC ＝2133.
【答案】 C
2．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，BC ＝15 cm ，BD ＝3 cm ，则AD 的长是( )
【导学号：07370020】
A ．5 cm
B ．2 cm
C ．6 cm
D ．24 cm
【解析】 ∵BC 2
＝BD ·AB ， ∴15＝3AB ，即AB ＝5， ∴AD ＝AB －BD ＝5－3＝2(cm)． 【答案】 B
3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝2 cm ，则CD 和BC 的长分
别为__________．
图1­4­6
【解析】 设AD ＝x ， 则由射影定理得x (x ＋3)＝4， 即x ＝1(负值舍去)， 则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)，
BC ＝BD ·AB ＝
＋＝23(cm)．
【答案】
3cm,23cm
4．如图1­4­7，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE EO
的值为________．
图1­4­7
【解析】 设圆O 的直径AB ＝2R ，则AD ＝2R 3，DO ＝R 3，DB ＝4R
3.
由相交弦定理，得CD 2
＝AD ·DB ，所以CD ＝223
R .
在Rt △CDO 中，CO ＝R ，由射影定理可得EO ＝DO 2CO ＝R
9，
于是CE ＝R －R 9＝8R 9，故CE
EO
＝8.
【答案】 8
5．如图1­4­8所示，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，
BD ＝8，求CD 的长．
图1­4­8
【解】 在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8， 满足AB 2
＝AD 2
＋BD 2
，
∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .
又∵∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°. ∴∠C ＋∠B ＝90°，即∠BAC ＝90°. 故在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，
由射影定理知AD 2
＝BD ·CD ，即62
＝8·CD ， ∴CD ＝92
.
我还有这些不足：
(1) (2)
我的课下提升方案： (1) (2)
学业分层测评(五) (建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，BD ＝2，则AC ∶BC 的值是( ) A ．3∶2 B ．9∶4 C.3∶ 2
D.2∶ 3
【解析】 如图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理知AC 2
＝
AD ·AB ，
BC 2＝BD ·AB ，
又∵AD ＝3，BD ＝2， ∴AB ＝AD ＋BD ＝5，
∴AC 2
＝3×5＝15，BC 2
＝2×5＝10.
∴AC BC
＝1510＝3
2
，即AC ∶BC ＝3∶2， 故选C.
【答案】 C
2.如图1­4­9所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的值是( )
图1­4­9
A ．6
B ．3 2
C ．18
D ．3 6
【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
AD DB ＝12
，
AD ·DB ＝36，
∴AD 2
＝18， ∴AD ＝3 2. 【答案】 B
3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )
【导学号：07370021】
A ．7.2 cm 2
B ．6 cm 2
C ．12 cm 2
D ．24 cm 2
【解析】 长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32
－2.42
＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为3
2
1.8
＝5(cm)，
∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2
)．
【答案】 B
4．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BD
CD
等于( ) A.3
4 B.43 C.16
9
D.916
【解析】 如图，由射影定理，得AC 2
＝CD ·BC ，AB 2
＝BD ·BC ，
∴AC 2AB 2＝CD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342
， 即CD BD ＝916， ∴BD CD ＝169
. 【答案】 C
5．在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( )
【导学号：07370022】
A. 1
4 B.1
3 C.1
2
D ．2
【解析】 如图，由射影定理得CD 2
＝AD ·BD .
又∵BD ∶AD ＝1∶4， 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2
＝AD ·BD ＝4x 2
，∴CD ＝2x ， 在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12
. 【答案】 C 二、填空题
6．如图1­4­10，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，OF ⊥AB.DE ∶EB ＝1∶3，OF ＝a ，则对角线
BD 的长为________．
图1­4­10
【解析】 ∵OF ＝a ， ∴AD ＝2a . ∵AE ⊥BD ，
∴AD 2
＝DE ·BD .
∵DE ∶EB ＝1∶3，∴DE ＝14
BD ， ∴AD 2＝14
BD ·BD ， ∴BD 2＝4AD 2＝4×4a 2＝16a 2，∴BD ＝4a .
【答案】 4a
7．如图1­4­11，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝______cm.
图1­4­11
【解析】 连接CD ，则CD ⊥A
B.
由AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，得AB ＝5 cm.
由射影定理得BC 2＝BD ·BA ，即42＝5BD .
所以BD ＝165
cm. 【答案】 165 8．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC ，AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．
【解析】 如图，过C 点作CE ⊥AB 于E .
在Rt △ACB 中，
∵AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，
∴BC ＝8 cm ，
∴BE ＝6.4 cm ，AE ＝3.6 cm ，
∴CE ＝ 6.4×3.6＝4.8(cm)，
∴AD ＝4.8 cm.
又∵在梯形ABCD 中，CE ⊥AB ，
∴DC ＝AE ＝3.6 cm.
∴S 梯形ABCD ＝＋2
＝32.64(cm 2)． 【答案】 32.64 cm 2
三、解答题
9．已知直角三角形周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
【解】 (1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ，则BC ＝8x ，过D 作DE ⊥AB ，
由题意可得，
DE ＝3x ，BE ＝4x ，
∴AE ＋AC ＋12x ＝48.
又AE ＝AC ，
∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x ，
∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2
，
解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2，
∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16，
∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm.
(2)作CF ⊥AB 于F ，
∴AC 2＝AF ·AB ， ∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365
(cm)． 同理BF ＝BC 2AB ＝16220＝645
(cm)． ∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645
cm. 10．如图1­4­12所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，点F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE .
图1­4­12
【证明】 ∵CD 垂直平分AB ，
∴△ACD 和△BDE 均为直角三角形，并且AD ＝BD .
又∵DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，
∴AF ·AC ＝AD 2，BG ·BE ＝DB 2
.
∵AD 2＝DB 2，∴AF ·AC ＝BG ·BE .
[能力提升]
1．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为
( )
A ．1∶2
B ．2∶1
C ．1∶4
D ．4∶1
【解析】 设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为5，∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45
. 【答案】 C
2．已知Rt △ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE ＝( )
A ．1.24 cm
B ．1.26 cm
C ．1.28 cm
D ．1.3 cm 【解析】 如图，∵∠A ＝∠A ，
∴Rt △ADE ∽Rt △ABC ，
∴AD AB ＝DE
BC
， DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25
＝1.28. 【答案】 C
3．如图1­4­13所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AC ＝6，AD ＝3.6，则BC ＝__________.
图1­4­13
【解析】 由射影定理得，
AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AC 2BC 2＝AD BD ，即BC 2＝AC 2·BD AD
. 又∵CD 2
＝AD ·BD ，∴BD ＝CD 2
AD . ∴BC 2＝AC 2·CD 2AD 2＝62
2－3.623.62＝64.
∴BC ＝8.
【答案】 8
4．如图1­4­14，已知BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCE，求证：GD2＝FG·GH.
图1­4­14
【证明】∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，
∴△BCE∽△BHG，
∴∠BEC＝∠BGH＝90°，
∴HG⊥BC.
∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，
由射影定理得，GD2＝BG·CG. ①
∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，
∴△FCG∽△BHG，
∴FG
BG
＝
CG
GH
，
∴BG·CG＝GH·FG. ②由①②得，GD2＝GH·FG.。