人教B版高中数学必修一双基限时练21指数函数的图象和性质

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双基限时练(二十一) 指数函数的图象和性质
基 础 强 化
1．函数f (x )＝2x －1－x 2的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析 在同一坐标系中作出y ＝2x －1和y ＝x 2的图象，可以观察得出它们有三个交点，故f (x )的零点个数为3.
答案 C
2．定义运算：a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ，(a ≤
b )，b ，(a >b )，
则函数f (x )＝1·2x 的图象大致
为( )
解析 f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，(x ≥0)，
2x ，(x <0)，故选A.
答案 A
3．函数y ＝36－x －x 2的单调减区间为( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
－12，2 B.⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－12 C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤－3，－12 解析 ∵y ＝3t
在R 上单调递增，t ＝6－x －x 2
在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－12，＋∞上单调递减，
∴y ＝36－x －x 2
在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－12，＋∞上单调递减． 答案 C
4．设a >0，f (x )＝e x a ＋a
e x 是R 上的偶函数，则a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1
D ．2
解析 f (x )＝1a e x
＋a e －x ， f (－x )＝1a e －x
＋a e x ，
∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴1
a ＝a . ∵a >0，∴a ＝1. 答案 C
5．函数f (x )＝2x －1
2x ＋1的图象关于________对称．( )
A ．x 轴
B ．y 轴
C ．原点
D ．y ＝x
解析 f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －1
2x ＋1＝－f (x )，
∴f (x )是奇函数，故它的图象关于原点对称． 答案 C
6．已知函数f (x )＝(x －a )·(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则
函数g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x
＋b 的图象是( )
解析 由f (x )＝(x －a )·(x －b )(a >b )的图象可知，a >1，－1<b <0，
于是0<1
a <1.故g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋
b 的图象可以理解为由函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x 的图象
向下平移|b |个单位长度所得，再结合0<1
a <1及过定点(0,1＋
b )，且1＋b >0，可知选A.
答案 A
7．(1)若0.2m >1>0.2n ，则________>0>________(填m 或n )．
(2)若⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x <23x ＋1
，则x 的取值范围是________．
解析 (1)由0.2m >1＝0.20>0.2n ，得n >0>m .
(2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x ＝2－2x <23x ＋1，∴3x ＋1>－2x ，x >－15. 答案 (1)n m (2)x >－1
5
8．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(4－3a )x
，(x ≤1)，
x 2＋2(1－a )x ＋2，(x >1)在R 上是增函数，
则a 的取值范围是________．
解析
⎩⎪⎨⎪
⎧
4－3a >1，a －1≤1，4－3a ≤1＋2(1－a )＋2，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a <1，a ≤2，a ≥－1，
∴－1≤a <1. 答案 －1≤a <1
能 力 提 升
9．奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －2，且g (1)＝a
2，则f (2a )等于________．
解析 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－x )＋g (－x )＝a －x －2. ∴－f (x )＋g (x )＝a －x －2. 又∵f (x )＋g (x )＝a x －2，
∴f (x )＝a x －a －x 2，g (x )＝a x ＋a －x －4
2. g (1)＝a ＋a －1－42＝a 2，∴a ＝14.
答案 －34
10．画出函数y ＝2|x |的图象，其图象有什么特征？根据图象指出
其值域和单调区间．
解 当x ≥0时，y ＝2|x |＝2x ；
当x <0时，y ＝2|x |＝2－x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x .
∴函数y ＝2|x |的图象如图所示．
由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)．
11．已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2
－a x
，当x ∈(－1,1)时均有f (x )≤1
2，
求实数a 的取值范围．
解 x 2
－a x
≤1
2在(－1,1)上恒成立．
即x 2
－1
2≤a x 在(－1,1)上恒成立．
作y ＝x 2－1
2，x ∈(－1,1)，y ＝a x ，x ∈(－1,1)的图象，如图所示．
∴⎩⎨⎧
0<a <1，a ≥12，
或⎩⎨⎧
a >1，a －
1≥12，
∴1
2≤a <1，或1<a ≤2.
12．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b
2x ＋1＋2是奇函数，
(1)求b 的值；
(2)判断函数f (x )的单调性；
(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．
解 (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.
∴b －1
4＝0，∴b ＝1.
经检验，b ＝1满足f (x )是奇函数，∴b ＝1. (2)f (x )＝1－2x 2x ＋1＋2＝12x ＋1－1
2.
∵y ＝2x 在R 上单调递增， ∴f (x )在R 上单调递减．
(3)∵f (x )是R 上的奇函数，且在R 上单调递减， ∴f (t 2－2t )<f (k －2t 2)． ∴t 2－2t >k －2t 2.
∴k <3t 2－2t 对一切t ∈R 恒成立．
∵3t 2
－2t ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －132－13≥－1
3，
∴k <－1
3.
品 味 高 考
13．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋1
1－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，
x 2∈(x 0，＋∞)，则( )
A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0
B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
解析 由于y ＝2x
与y ＝1
1－x
在(1，＋∞)上是增函数，且f (x 0)＝0，
根据草图易得，f (x 1)<0，f (x 2)>0.
答案 B。