人教版数学高二备课资料如何确定回归直线方程

如何确定回归直线方程
一般地，我们可以利用回归直线方程进行估计，但这里所得到的值是估计值，而不是精确值，这是因为：
(1)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差．
（2）即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保征对应于x的预测值，yˆ能够与实际值y很接近，我们不能保证点(x,y)落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近，事实上y=bx+a+e=yˆ+e,这里e是随机变量，预浏值yˆ与实际值y
的接近程度由随机变量e的标准再所决定.
尽管我们利用回归直线方程所得到值仅是一个估计值，它具有随机性,但是我们是根据统计规律得到的，因而所得出结论正确的概率是最大的，故我们可以放心大胆地利用回归直线方程进行预测．
例.一般说来，一个人的身高越高，他的手就越大，相应地，他的右手一柞就越长．因此，人的身高与右手一柞长之间存在着一定的关系．为了对这个问题进行调查，我们收集了某中学2006年高三年级100名学生的身高与右手一柞长的数据，如下表所示：
接下表
(1)根据上表的数据，制成散点图，你能从散点图中发现身高与右手一柞长之间的近似关系吗？
(2)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．
(3)如果一个学生的身高是188cm，你能估计他的右手一柞大概有多长吗？
探究：根据上表中的数据，制成的散点图如图所示．
从散点图上可以发现，身高与右手一柞长之间的总体趋势是成一直线，也就是说，它们之间是线性相关的．那么，怎样确定这条直线呢？你是怎么想的？
甲：我从左端点开始，取两条直线，如图，再取这两条直线的“中间位置”作一条直线．根
据我的想法，一个身高188 cm 的学生，他的右手一柞长大概有21 cm 多．
乙：这样做不准确．我先求出相同身高同学右手一柞长的平均值，画出散点图，如图，再画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能一样多，根据我的想法，一个身高188 cm 的学生，他的右手一柞长大概有22 cm 左右．
丙：我先将所有的点分成两部分，一部分是身高在170 cm 以下的，一部分是身高在170 cm 以上的；然后，每部分的点求一个“平均点”—身高的平均值作为平均身高，右手一柞长的平均值作为平均右手一柞长，即（164，19），（177，21）；最后，将这两点连接成一条直线．
设这条直线的方程是：y=kx+b ，其中k=≈=--13
216417719210.154.代入一点的坐标求出-≈-=13
81b 6.231,进而y=0.154x-6.231即为所求的直线方程．根据我的想法，一个身高188 cm 的学生，他的右手一柞长大概有22.7 cm 左右．
丁：我先将所有的点按横坐标从小到大的顺序进行排列，
尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学丙的方法求一个“平均点”，“最小点”为（161. 3，18. 2），“中间点”为(170.5，20.1），“最大点”为（179. 2,21. 3），求出这三个点的“平均点”为（170.3，19. 9）．我再用直尺连接“最大点”与“最小点”，然后平行地推，画出过“平均点"(170.3,19. 9)的直线（见图）．
设这条直线的方程是y=kx+b,其中k=
≈=--179312.1793.1613.212.180.173，代入点（170.3，19.9)的坐标求出-≈-=895
8586b 9. 593，进而直线y=0.173x-9. 593即为所求的直线．根据、我的想法，一个身高188 cm 的学生，他的右手一柞长大概有23. 0 cm 左右．
从上面的讨论看，这些学生的处理方法差别很大，那么我们应当选取一个什么样的方法来处理更好些呢？这将是我们下面一节中要讨论的．
点评：需要注意的是：身高和右手一柞长之间没有函数关系．我们得到的直线方程，只是对其变化趋势的一个近似描述．对一个给定身高的人，人们可以用这个方程来估计这个人的右手一柞长，这是十分有意义的．
另外，上述探索回归直线方程是非常有意义的（尽管我们还没有找到最好的方法，留待下一节解决），在统计中重要的是寻找好的方法，而不是套用公式．从历史上看，欧拉等许多大数学家都为寻找这一直线而努力，最后才让勒让德找到了最小二乘法.。