求曲线、曲面积分的方法与技巧

求曲线、曲⾯积分的⽅法与技巧
⼀.曲线积分的计算⽅法与技巧
计算曲线积分⼀般采⽤的⽅法有：利⽤变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利⽤格林公式将曲线积分转化为⼆重积分、利⽤斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲⾯积分、利⽤积分与路径⽆关的条件通过改变积分路径进⾏计算、利⽤全微分公式通过求原函数进⾏计算等⽅法。

分析：解1是利⽤变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进⾏计算的，选⽤的参变量为x,因所求的积分为第⼆类曲线积分，曲线是有⽅向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选⽤对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

分析：解2是选⽤参变量为利⽤变量参数化直接计算所求曲线积分的，在⽅法类型上与解1相同。

不同的是以y为参数时，路径不能⽤⼀个⽅程表⽰，因此原曲线积分需分成两部分进⾏计算，在每⼀部分的计算中都需选⽤在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。

分析：解3和解4仍然是通过采⽤变量参数化直接计算的。

可见⼀条曲线的参数⽅程不是唯⼀的，采⽤不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需⽤对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

⼆.曲⾯积分的计算⽅法与技巧
计算曲⾯积分⼀般采⽤的⽅法有：利⽤“⼀投，⼆代，三换”的法则，将第⼀类曲⾯积分转化为求⼆重积分、利⽤“⼀投，⼆代，三定号”的法则将第⼆类曲⾯积分转化为求⼆重积分，利⽤⾼斯公式将闭曲⾯上的积分转化为该曲⾯所围区域上的三重积分等。

分析：以上解是按“⼀投，⼆代，三换”的法则，将所给的第⼀类曲⾯积分化为⼆重积分计算的。

“⼀投”是指将积分曲⾯投向使投影⾯积不为零的坐标⾯。

“⼆代”是指将的⽅程先化为投影⾯上两个变量的显函数，再将这显函数代⼊被积表达式。

分析：由于求证的是给定的曲⾯积分等于某个区域的体积值，⽽⾼斯公式给出了曲⾯积分与该曲⾯包含的区域上的某个三重积分间的关系，考虑到体积值可⽤相应的三重积分表⽰，故选⽤⾼斯公式进⾏证明。