高三数学12月月考试题理 7

鲁山县第一高级中学2021届高三数学12月月考试题 理
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
(考试时间是是：120分钟 总分：150分)
一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

请将正确之答案填涂在答题卡上。

〕 1. 集合{|lg(2)}A x y x ==-，2{|30}B x x x =-≤，那么A
B =( )
A. {|02}x x <<
B. {|02}x x ≤<
C. {|23}x x <<
D. {|23}x x <≤ 2.设,a b R ∈，那么“()20a b a -<〞是“a b <〞的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.函数⎩⎨⎧≤+>-=0
,6log 0,23)(3x x x x f x 的零点之和为〔 〕
.A 2 .B 1 .C 2- .D 1-
4.以下说法中不．正确．．
的个数是( ) ①“1x =〞是“2
320x x -+=〞的必要不充分条件； ②命题“,cos 1x R x ∀∈≤〞的否认是“00,cos 1x R x ∃∈≥〞； ③假设一个命题的逆命题为真，那么它的否命题一定为真．
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
5.设0.1
323,log log a b c ===,,a b c 的大小关系为 ( )
A. a b c <<
B. a c b <<
C. b c a <<
D. c b a <<
6. 中国古代数学著作?算法统宗?中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还〞，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人前三天一共走了〔 〕
B.189里
C.288里
7.母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于85
π，那么该圆锥的体积为 ( )
A ．16π
B ．8π
C ．163
π D ．83π
8.Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，63AB =，6AC =，12AE ED =，那么AE EB ⋅等
于( )
A. 14-
B. 9-
C. 9
D.14 9.函数
3sin 2x
y x =的图象可能是〔 〕
A. B. C. D. 10. 曲线1
1(01)x y a
a a -=+>≠且过定点),
b k （，
假设b n m =+且0,0>>n m ，那么41m
n
+的最小值为〔 〕 A. 9
B.
2
9
C. 5
D.
2
5 11．三棱锥P ABC -的底面是边长为3的正三角形，PA ⊥底面ABC ，且2PA =，那么该三棱锥的外接球的体积是( )
A ．48π
B ．323
π
C ．3π
D ．83π
()2cos2f x x =的图象向右平移
6
π
个单位后得到函数()g x 的图象，假设函数()g x 在区间0,
3a ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上均为单调递增，那么实数a 的取值范围是( ) A. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D.3,48ππ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕
13.,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，3
sin 5α=，那么tan()4πα+= .
14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11233n n a a a n -++⋯+=，那么4S =
15.设函数]1,1[,cos 2)(2
-∈+=x x x x f ，那么不等式)2()1(x f x f >-的解集为
16. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,,21O BD AC B B BC AB ===
则（含端点）上一动点，是C B E 1以下命题中，正确的序号是___________.
① D C A OE 11//平面 ；
②︒4511所成角最小为与平面B BCC OE ； ③三棱锥BDE A -1体积为定值 ； ④︒9011所成的最大角为与C A OE 。

三．解答题〔本大题一一共6小题，满分是70分，解容许写出文字说明，推理过程或者演算步骤〕
17.〔本小题满分是12分〕
数列{}n a 中，点),(1+n n a a 在直线2+=x y 上，且首项11a =. 〔Ⅰ〕求数列}{n a 的通项公式；
〔Ⅱ〕数列}{n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，11a b =，22a b =， 数列}{n b 的前n 项和为n T ，请写出合适条件n n S T ≤的所有n 的值. 18. 〔本小题满分是12分〕
设锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2
b
是2sin cos a A C 与sin2c A 的等差中项.
〔Ⅰ〕求角A 的大小；
〔Ⅱ〕假设2a =，求ABC ∆面积的最大值.
19．〔本小题满分是12分〕
如图，函数π
2cos()(00)2
y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图
象与y
轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π． 〔Ⅰ〕求θ和ω的值；
〔Ⅱ〕点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA
的中点，当0y 0ππ2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，求0x 的值．
20. 〔本小题满分是12分〕
如图，空间几何体ABCDE 中，ABC △、ACD △、EBC △均是边长为2的等边三角形，平面⊥ACD 平面ABC ，且平面EBC ⊥平面ABC .,中点为AB H
〔Ⅰ〕证明：BCE DH 平面//； 〔Ⅱ〕求二面角B AC E --的余弦值.
21.〔本小题满分是 12 分〕
设函数()(1)()x
f x ax e a R -=+∈。

〔Ⅰ〕当 a
0时，求函数 ()f x 的单调递增区间；
〔Ⅱ〕对任意 x 0, +，()
f x x 1恒成立，务实数 a 的取值范围。

请考生在第22、23题中任选一题答题.注意：只能做所选定的题目，假如多做，那么按所做的第一个题目计分，答题时，请需要用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑。

22.〔本小题满分是10分〕选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα
=⎧⎨
=⎩〔t 为参数〕，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22
cos 2sin 1ρθρθ-=.
〔1〕假设3
π
=
α，求直线l 以及曲线C 的直角坐标方程； 〔2〕假设直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，且6MN =，求直线l 的斜率． 23.〔本小题满分是10分〕选修4－5：不等式选讲
函数()|||2|f x x a x =++-.
〔1〕假设1a >，求不等式()2f x ≥的解集；
〔2〕假设]2,1[∈x 时，()4f x x +≤恒成立，求a 的取值范围.
参考答案
1-12 BADCB DADDB CA
二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕 13,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，3
sin 5α=，那么tan()4π
α+= 1/7 . 14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11233n n a a a n -++⋯+=，那么4S = 40/27 14．
4027
【解析】解：11233n n a a a n -++
+=，可得1n =时，
11
a = ，
2n ≥时，2121331n n a a a n --++⋯+=-，又11233n n a a a n -++⋯+=，
两式相减可得131n n a -=，即1
13n n
a
-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，上式对1n =也成立，
可得数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，可得441140127133
S -
==-． 15.设函数]1,1[,cos 2)(2
-∈+=x x x x f ，那么不等式)2()1(x f x f >-的解集为 )3
1,0[ 16. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,,21O BD AC B B BC AB ===
则（含端点）上一动点，是C B E 1
①D C A OE 11//平面 ②︒4511所成角最小为与平面B BCC OE ③三棱锥BDE A -1体积为定值
④︒9011所成的最大角为与C A OE 上述命题中，正确的序号是__①③④_________. 16.【解析】①由平面D C A C AB 111//平面，且C AB OE 1平面⊂，可证.②取BC 中点1O ,易知1OEO ∠为所找的线面角，1OO 为定长，那么当E O 1最长时，线面角最小，当E 与1B 重合时线面角最小，小于︒45.③三棱锥顶点换为E ，底面大小确定，又因为
BD A C B 11//平面，所以点E 到底面的间隔 不变，命题正确.④因为11//C A AC ,所以异面
直线所成角与EOC ∠相等或者互补〔取锐角或者直角〕，当E 与1B 重合时，此时
︒=∠901OC B 命题正确.
四．解答题〔本大题一一共6小题，满分是70分，解容许写出文字说明，推理过程或者演算步骤〕
17.〔本小题满分是12分〕
数列{}n a 中，点),(1+n n a a 在直线2+=x y 上，且首项11a =. 〔Ⅰ〕求数列}{n a 的通项公式；
〔Ⅱ〕数列}{n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，11a b =，22a b =，
数列}{n b 的前n 项和为n T ，请写出合适条件n n S T ≤的所有n 的值.
17. 解:〔I 〕根据11=a ，21+=+n n a a 即d a a n n ==-+21，
……2分
所以数列}{n a 是一个等差数列，12)1(1-=-+=n d n a a n ………4分
〔II 〕数列}{n a 的前n 项和2
n S n =
……………6分
等比数列}{n b 中，111==a b ，322==a b ，所以3=q ，1
3-=n n b ……8分
数列}{n b 的前n 项和2
133131-=--=n n n
T ……10分
n n S T ≤即22
1
3n n ≤-，又*N n ∈，所以1=n 或者2
…12分
18. 〔本小题满分是12分〕
设锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且
2
b
是2sin cos a A C 与sin 2c A 的等差中项.〔Ⅰ〕求角A 的大小；〔Ⅱ〕假设2a =，求ABC ∆面积的最大值.
()0,B π∈，sin 0B ≠∴.
1
sin 2
A =
∴.又A 为锐角，6
A π
=
∴.
〔Ⅱ〕
222222cos 2a b c b A b c bc =+-=+-≥，
(
423
23
bc ≤
=+
-∴，当且仅当62b c ==时，取等号.
ABC ∆∴的面积(111
sin 42323222
S bc A =≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为23+〔当且仅当62b c ==时，等号成立〕.
20．〔本小题满分是12分〕
如图，函数π
2cos()(00)2
y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为π．
〔Ⅰ〕求θ和ω的值； 〔Ⅱ〕点π02
A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，
当032y =
0ππ2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，求0x 的值． 解：〔1〕将0x =，3y =2cos()y x ωθ=+得3cos 2
θ 因为02θπ≤≤
，所以6
θπ
=．又因为该函数的最小正周期为π，所以2ω=，因此2cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
〔2〕因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，
00()Q x y ，是PA 的中点，032y =，所以点P 的坐标为0232x π⎛- ⎝，．
又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭的图象上，所以053cos 462x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 因为
02x ππ≤≤，所以075194666
x πππ
-≤≤
， 从而得0511466x ππ-=或者0513466x ππ-=
．即023x π=或者034
x π
=． 21. 〔本小题满分是12分〕
如图，空间几何体ABCDE 中，ABC △、ACD △、EBC △均是边长为
2的等边三角形，平面⊥ACD 平面ABC ，且平面EBC ⊥平面
ABC .,中点为AB H
〔Ⅰ〕证明：BCE DH 平面//； 〔Ⅱ〕求二面角B AC E --的余弦值.
y
x
3
O
P
20.【解析】〔1〕
法1：分别取BC AC ,中点Q P ,，连接PQ EQ DP ,,,DH PH , ……1分
由面⊥ACD 面ABC 且交于AC ，⊂DP 平面ACD ，AC DP ⊥有⊥DP 面ABC 由面⊥BCE 面ABC 且交于BC ，⊂EQ 平面BCE ，BC EQ ⊥有⊥EQ 面ABC 所以 DP EQ //,……2分
//DP EQ
EQ EBC DP EBC ⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩
面面，所以 //DP EBC 面， ……3分 由HB AH PC AP ==,有BC PH //， ……4分
//PH BC BC EBC PH EBC ⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩
面面，所以 //PH EBC 面， ……5分
////DP EBC PH EBC DP PH P ⎧⎪⎨⎪=⎩
面面,所以面//BCE 面DPH ……6分 所以BCE DH 平面// 法2：由HB PQ DE ////,可得EDHB 为平行四边形，所以EB DH //.
〔2〕法1：以点P 为原点，以PA 为x 轴，以PB 为y 轴，以PD 为z 轴，建立如下图空间直角坐标系 ……7分
由 ⊥EQ 面ABC ，所以面ABC 的法向量可取(0,0,1)=n ……8分
点)0,0,1(A ,点)0,0,1(-C ,点
)3,23
,21(-E ， )0,0,2(-=AC ,)3,2
3
,23(-=AE ，……9分 设面EAC 的法向量(,,)x y z =m ，所以⎪⎩⎪
⎨
⎧=++-=-0323
2
30
2z y x x ，取(0,2,1)=-m ……10分
设二面角B AC E --的平面角为θ，据判断其为锐角.15cos ||||||||515θ⋅-===⨯m n m n (12)
分
法2：过Q 点作AC 垂线，垂足为F ，连接EF .……7分
由〔1〕问可知,AC EQ ⊥又因为AC QP ⊥，所以EFQ AC 平面⊥，那么有EF AC ⊥.9分 所以EFQ ∠为二面角B AC E --的平面角.……10分
由题可知BP QF 21//，所以23=QF ,那么215=EF ……11分所以，552
15
23
cos ===∠EF QF EFQ ……12分 21.〔本小题满分是 12 分〕
设函数()(1)()x f x ax e a R -=+∈
〔Ⅰ〕当 a
0时，求函数 ()f x 的单调递增区间； 〔Ⅱ〕对任意 x 0, +， ()f x x 1恒成立，务实数 a 的取值范围．
21．【解析】：〔1〕1()(1)()..........................................2x x a f x ae ax e x a
---'=-+-分 由0,0x e a ->>，令()0f x '>得： 1................................................................3a x a
-<分，
所以当0a >时，单调递增区间是1,a a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；...........................4分
〔2〕令()()11x h x ax e x -=+--，那么()1f x x ≤+成立等价于()0h x ≤，
①假设0a ≤，当0x ≥，那么()11,011x ax e f x -+≤<≤⇒≤，
而11x +≥，即()1f x x ≤+恒成立；...............................6分 ②假设02a <≤时，那么()()11x h x e a ax -'=---，
当0x ≥，由()1t x a ax =--是减函数， ()max 11t x a ⎡⎤=-≤⎣⎦，
又1x e -≤，所以()()0,h x h x '<在[)0,+∞上是减函数，
此时当0x ≥， ()()00..........................................................................8h x h ≤=分
③假设2a >时， ()()001?0120h e a a a -'=---=->， ()()1111110h e a a e --=--'-=--<， 所以()0h x '=在()0,1有零点................................9分
在区间()0,1x ∈，设()()()()()1210x x g x h x g x e ax a e a --'=⇒=+-<-<'，
所以()h x '在()0,1x ∈上是减函数.............................10分
即()0h x '=在()0,1有唯一零点()h x 0x ，且在()00,x 上， ()0h x '>，
在()00,x 为增函数，即()h x 在()00,x 上()()00h x h >=，所以()1f x x >+，不合题意，11分 综上可得，符合题意的a 的取值范围是(]
,2...................................................................12-∞分
22.〔本小题满分是10分〕选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩〔t 为参数〕，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22
cos 2sin 1ρθρθ-= 〔1〕假设π3α=，求直线l 以及曲线C 的直角坐标方程： 〔2〕假设直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，且6MN =，求直线l 的斜率．
23.〔本小题满分是10分〕选修4－5：不等式选讲
函数()|||2|f x x a x =++-.〔1〕假设1a >，求不等式()2f x ≥的解集；
〔2〕假设[1,2]x ∈时，()4f x x +≤恒成立，求a 的取值范围.
22．解：〔1
〕由题意，直线
1:x t l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得直线l 是过原点的直线，
故直线l
的直角坐标方程为y =， ……………………2分 又22cos 2sin 1ρθρθ-=，由θρθρsin ,cos ==y x ……………………3分 故曲线C 的直角坐标方程为221x y =+； ……………………5分 〔2〕由题意，直线l 的极坐标为()R θαρ=∈， ……………………6分 设M 、N 对应的极径分别为1ρ，2ρ将()R θαρ=∈代入曲线C 的极坐标可得：
22cos 2sin 1ρραα-=，故1222sin cos αρρα+=，1221cos ρρα
=-， 所以12MN ρρ=-=
22cos α
， ……………………8分
故226cos α
=，那么21cos 3α=，即222sin 1cos 3αα=-= ，222sin tan 2cos ααα==，
所以tan k α==故直线l 的斜率是． ……………………10分 法二：由题意，直线l 方程为kx y =，设M 、N 对应的点坐标为),(),(2211y x y x 、…6分 联立直线l 与曲线C 的方程⎩⎨⎧+==122y x kx y ，消去y 得0122=--kx x . …………7分
1,22121-==+x x k x x …………8分 6)1(24)(112212212212=+=-+⋅+=-+=k x x x x k x x k MN ……………9分 所以2±=k ，故直线l 的斜率是2±. …………10分
23．解：〔1〕()2f x ≥即x a +＋2x -2≥, 因为x a +＋2x -≥()2x a x +--=2a +,
所以()f x x a =++2x -≥2a + …………2分 又1a >，所以23a +> ………3分 所以不等式()2f x ≥的解集为R . ……5分
〔2〕因为[]1,2x ∈，所以()2f x x a x =++- …………6分 那么()4f x x +≤恒成立等价于2x a +≤恒成立， ……7分 即22x a x --≤≤-恒成立 ………………8分 由[]1,2x ∈可得[]24,3x --∈--，[]20,1x -∈ ………9分 所以30a -≤≤ ……………10分
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。