2020年河南省焦作市高考数学四模试卷(理科)

一．选择题：
1．（3分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＞0}，B ={y|y =x −8
x ，x ＞4}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣2，2）
B ．（﹣2，3]
C ．（﹣2，+∞）
D ．（3，+∞）
【解答】解：∵A ＝{x |x ＜﹣2或x ＞3}，B ＝{y |y ＞2}， ∴A ∩B ＝（3，+∞）． 故选：D ．
2．（3分）已知复数z =5i
2019
i−2，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：∵z =5i 2019i−2=−5i i−2=−5i(i+2)(i−2)(i+2)
=−1+2i ，
∴z =−1−2i ，
z 在复平面内对应的点为（﹣1，﹣2），在第三象限． 故选：C ．
3．（3分）(x 4−2)(x 3−1x
)4的展开式的常数项为（ ） A ．9
B ．8
C ．﹣1
D ．﹣7
【解答】解：(x 3−1x )4的通项T r+1=C 4r ⋅(x 3)4−r ⋅(−1x
)r =(−1)r ⋅C 4r
⋅x 12−4r ．
令12﹣4r ＝0，得r ＝3，令12﹣4r ＝﹣4，得r ＝4，
所以(x 4−2)(x 3−1
x )4的展开式的常数项为−2×(−1)3×C 43+1×(−1)4×C 44=9．
故选：A ．
4．（3分）“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴弦长度的2
3
得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的4
3
为第三
根琴弦，第三根琴弦长度的23
为第四根琴弦，第四根琴弦长度的4
3
为第五根琴弦．琴弦越
短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫、商、角（ju é）、微（zh ǐ）、羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（ ） A ．3
2
B ．
8164
C ．
3227
D ．9
8
【解答】解：设基准琴弦的长度为1，
则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为23
，89
，
1627
，
6481
，
五根琴弦的长度从大到小依次为1，89
，
6481
，23，
1627，
所以“角”和“微”对应的琴弦长度分别为6481
和23
，其长度之比为3227
，
故选：C ．
5．（3分）函数f(x)=cosx−2x 2
2x−sinx
的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：因为f(−x)=cos(−x)−2(−x)2
−2x−sin(−x)=−cosx−2x 2
2x−sinx =−f(x)，所以f （x ）是奇函
数，排除选项C 和D ，
因为x ＝1时，0＜cos1＜1，0＜sin1＜1，所以f(1)=cos1−2
2−sin1＜0，排除选项A ．
故选：B．
6．（3分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：第一次循环，S=0−
1
(−1)1
=1，n＝1+2＝3；
第二次循环，S=1−
1
(−1)3
=2，n＝3+2＝5；
第三次循环，S=2−
1
(−1)5
=3，n＝5+2＝7；
第四次循环，S=3−
1
(−1)7
=4，n＝7+2＝9，
跳出循环，输出S＝4．故选：B．
7．（3分）已知f(x)={−1+log2(−2x)，x＜0
g(x)，x＞0
为奇函数，则f（g（2））+g（f（﹣8））＝（）
A．2+log23B．1C．0D．﹣log23
【解答】解：因为f(x)={−1+log2(−2x)，x＜0
g(x)，x＞0
为奇函数，
所以g（x）＝1﹣log2（2x）（x＞0）．所以g（2）＝1﹣log24＝﹣1，
所以f （g （2））＝﹣1+log 22＝0．f （﹣8）＝﹣1+log 216＝3， 所以g （f （﹣8））＝g （3）＝1﹣log 26，
所以f （g （2））+g （f （﹣8））＝1﹣log 26＝1﹣log 22﹣log 23＝﹣log 23． 故选：D ．
8．（3分）在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11+2a 5a 9+a 3a 13＝25，则a 1a 13的最大值是（ ） A ．25
B ．
254
C ．5
D ．2
5
【解答】解：由题意利用等比数列的性质知a 1a 11+2a 5a 9+a 3a 13=a 62+2a 6a 8+a 82=
(a 6+a 8)2=25，
又因为a n ＞0，所以a 6+a 8＝5， 所以a 1a 13=a 6a 8≤(a 6+a 82)2=254，当且仅当a 6=a 8=5
2
时取等号， 故选：B ．
9．（3分）如图，四边形ABCD 是正方形，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，△BEF 是等边三角形，在正方形ABCD 内随机取一点，则该点取自△BEF 内的概率为（ ）
A ．2√3−3
B ．2−√3
C ．1
3
D ．
√3
3
【解答】解：连接BD 交EF 于G ，则BD ⊥EF ，EG ＝FG ，所以∠ABE ＝15°． 设等边三角形BEF 的边长为2，所以AB ＝2cos15°， 所以正方形ABCD 的面积为(2cos15°)2=4cos 215°=4×1+cos30°
2
=2+√3， 等边三角形BEF 的面积为1
2×2×2×
√3
2
=√3，
故所求的概率P =√3
2+3
=2√3−3．
故选：A ．
10．（3分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，AA 1＝2AB ，E ，F ，G ，H 分别是AD ，AB ，BC ，CC 1的中点，则异面直线EF 与GH 的夹角的余弦值为（ ） A ．
√5
5
B ．
2√5
5
C ．
√10
10
D ．
3√1010
【解答】解：如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，取DD 1的中点N ，连接EN ，FN ， 因为E ，F ，G ，H 分别是AD ，AB ，BC ，CC 1的中点，由长方体的性质可知GH ∥EN ， 所以∠FEN （或其补角）为异面直线EF 与GH 所成的角，
因为AA 1＝2AB ，设正方形ABCD 的边长为a ，所以AA 1＝2a ，EF =√AE 2+AF 2=√2
2
a ，
EN =√DE 2+DN 2=√52a ，FN =√AD 2+AF 2+DN 2=3
2a ，
在△EFN 中，由余弦定理得cos∠FEN =EN 2
+EF 2
−FN 2
2EN⋅EF =(√5
2a)2
+(√2
2a)2
−(32a)2
2×√52a×22a
=−√1010， 所以异面直线EF 与GH 的夹角的余弦值为√10
10
． 故选：C ．
11．（3分）记双曲线C ：
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，以F 为圆心，r 为半径
作圆F ，以C '（0，m ）为圆心．2r 为半径作圆C '．若圆F 与圆C '仅有3条公切线，且其中2条恰为双曲线C 的渐近线，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
√62
B ．√2
C ．√3
D ．2√2
【解答】解：设双曲线的半焦距为c ，离心率为e ．双曲线的一条渐近线为bx ﹣ay ＝0， 故F （c ，0）到渐近线的距离为
√a 2+b 2
=r ，即b ＝r ．
设圆F 与圆C '的切点为M ，点O 为坐标原点，
由题意可得圆C '与圆F 外切，则OM ⊥FC '，故Rt △OMF ∽Rt △C 'OF ， 故
|MF||OF|
=
|OF|
|FC′|
，即r c
=
c 3r
，故c =√3r ，
则a =2−b 2=√2r ， 故所求离心率e =c a =√6
2
． 故选：A ．
12．（3分）抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜3）在点A （3，y 1）处的切线交准线于B ，且与y 轴交于D ，F 为C 的焦点．若△BDF 的面积为7p 15
，则p ＝（ ）
A ．√5
B ．2√3
C ．4
D ．2√5
【解答】解：因为x 2
＝2py （0＜p ＜3），所以y =x 22p ，则A(3，9
2p )．
又y′|x=3=3
p ，所以点A 处的切线方程为y −
92p =3
p
(x −3)． 令y =−p 2，得x =9−p 26，即B(9−p 26，−p
2)．
令x ＝0，得y =−92p ，即D(0，−9
2p
)． 因为S △BDF
=7p
15，所以12(p 2+92p )⋅|9−p 26|=7p 15
．
因为0＜p ＜3，所以9+p 24p
⋅
9−p 26
=
7p 15
，
整理得5p 4+56p 2﹣405＝0，解得p 2＝5或p 2=−81
5（舍去）， 所以p 2＝5，即p =√5． 故选：A ． 二．填空题
13．（3分）已知向量a →
=(3，−1)，b →
−a →
=(−4，2)，则a →
与b →
夹角的余弦值为 −2√5
5 ． 【解答】解：由已知向量a →
=(3，−1)，b →
−a →
=(−4，2)，可得b →
=(−1，1)， |b →
|=√2，|a →
|=√10，
所以cos〈a →
，b →
〉=
a →⋅b
→
|a →||b →
|
=
√10×√2
=−2√5
5，
故答案为：−
2√5
5
． 14．（3分）某一批花生种子的发芽率为p ，设播下10粒这样的种子，发芽的种子数量为随机变量X ．若D(X)=12
5， 则p ＝
25
或3
5
．
【解答】解：X 服从二项分布，即X ～B （10，p ）． 因为D(X)=12
5，所以10×p ×(1−p)=12
5， 解得p =2
5或p =35． 故答案为：2
5
或35．
15．（3分）已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2=√3，a n +12﹣a n 2＝a n 2﹣a n ﹣12（n ≥2），则数列{1
a n +a n+1
}的前60项和 5 ．
【解答】解：由条件可知，a n +12+a n ﹣12＝
2a n 2（n ≥2），∴数列{a n 2}是首项为a 12=1，公差
为a 22−a 12=3−1=2的等差数列，
所以a n 2=1+2(n −1)=2n −1，又a n ＞0，所以a n =√2n −1，
所以
1
a n +a n+1
=
√2n−1+√2n+1
=
12(√2n +1−√2n −1)，
所以数列{1
a n +a n+1}的前n 项和S n =1
2[（√3−√1）+（√5−√3）+（√7−√5）+…（√2n +1−
√2n −1）=1
2（√2n +1−1）
， 即S n =12(√2n +1−1)，所以S 60=12
(√121−1)=5． 故答案为：5．
16．（3分）已知函数f(x)=1
6x 3−mx +3，g （x ）＝﹣5x +4lnx ，若函数f （x ）的导函数f '（x ）与g （x ）（x ∈[1，9]）的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的最大值为 −9
2+8ln3 ．
【解答】解：因为f(x)=16x 3−mx +3，所以f′(x)=1
2x 2−m ．由题意知方程f′(x)+g(x)=1
2x 2−m −5x +4lnx ＝0在x ∈[1，9]上有解，
等价于m =1
2
x 2−5x +4lnx 在x ∈[1，9]上有解， 令ℎ(x)=12
x 2−5x +4lnx （x ∈[1，9]），则ℎ′(x)=x −5+4x =x 2−5x+4x =(x−1)(x−4)x
， 当1＜x ＜4时，h '（x ）＜0，当4＜x ＜9时，h '（x ）＞0． 所以函数h （x ）在[1，4）上单调递减，在（4，9]上单调递增， 所以h （1）＞h （4）， 因为ℎ(4)=
12×16−5×4+8ln2=−12+8ln2＜0，ℎ(9)=1
2×92−5×9+4ln9=−9
2+8ln3＞−92+8＞0，
所以h （x ）的最大值为−9
2
+8ln3， 所以m 的最大值为−9
2+8ln3． 故答案为：−92
+8ln3．
三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝4，A =π3
． （Ⅰ）AD 是BC 边上的中线，若AD =√7，求c 的值； （Ⅱ）若a =4√3，求△ABC 的周长． 【解答】解：（Ⅰ）因为AB →
+AC →
=2AD →
，
所以(AB →
+AC →
)2=AB →
2+AC →
2+2AB →
⋅AC →
=4AD →
2=28， 即b 2+c 2+2bc cos A ＝28．
所以c 2+4c ﹣12＝0，解得c ＝2（负值舍去）． （Ⅱ）由
a sinA
=
b sinB
，可得sinB =
bsinA a =43×√32
=1
2． 因为a ＞b ，所以A ＞B ，所以B =π
6． 所以C =π−A −B =π
2
． 所以c =√a 2+b 2=8．
所以△ABC 的周长为a +b +c =12+4√3．
18．如图1，在正方形ABCP 中，AB ＝4，D 是CP 的中点，把△ADP 沿AD 折叠，使△P AB
为等边三角形，得到如图2所示的几何体． （Ⅰ）证明：AB ⊥PD ；
（Ⅱ）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．
【解答】解：（I ）证明：依题意，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ． 取AB 的中点E ，连接DE ，PE ，
则BE ＝CD ，BE ∥CD ，所以四边形BCDE 为矩形，所以BE ⊥DE ． 因为△P AB 为等边三角形，所以AB ⊥PE ． 因为PE ∩DE ＝E ，所以AB ⊥平面PDE ． 因为PD ⊂平面PDE ，所以AB ⊥PD ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB ⊥平面PDE ，所以平面ABCD ⊥平面PDE ． 点P 到平面ABCD 的距离即点P 到DE 的距离．
因为PD ⊥P A ，PD ⊥AB ，AB ∩P A ＝A ，所以PD ⊥平面P AB ，所以PD ⊥PE ． 在Rt △PDE 中，可得P 到DE 的距离为
PE×PD DE
=
2√3×2
4
=√3．
分别以DE ，DC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，过点D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ．
则D （0，0，0），B （4，2，0），C （0，2，0），P(1，0，√3)， 所以PC →
=(−1，2，−√3)，BC →
=(−4，0，0)．
设平面PBC 的一个法向量为n →
=(x ，y ，z)， 取z ＝2，则n →
=(0，√3，2)．
而平面P AB 的一个法向量为DP →
=(1，0，√3)． 则cos〈n →
，DP →
〉=
n →⋅DP
→|n →
||DP →
|
=
√3，√3)3+4×1+3
=√21
7，
由图可知，二面角A ﹣PB ﹣C 为钝角，所以所求的余弦值为−√21
7
．
19．已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2
，短轴长为2√3．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为k （k ≠0）的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点(1
3，0)，求k 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知{2b =2√3，
c a
=12
，
c 2=b 2+c 2
解得{a =2，b =√3，c =1．
，
故椭圆C 的标准方程为
x 24
+
y 23
=1．
（Ⅱ）设直线l ：y ＝kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
联立直线与椭圆方程，消去y 得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0． 则△＝（8km ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣12）＞0，整理得m 2＜4k 2+3．① 由根与系数关系得x 1+x 2=−8km 3+4k
2，
则
x 1+x 22
=−
4km 3+4k
，y 1+y 22
=
3m 3+4k
，即AB 中点的坐标为(−4km 3+4k 2，
3m 3+4k
2)．
又线段AB 的垂直平分线方程为y =−1
k (x −1
3)，所以
3m 3+4k 2
=−1k
(−
4km 3+4k 2
−1
3
)，
化简可得m =−4k 2
+3
3k ．②
由①②得
(4k 2+3)2
9k 2
＜4k 2+3，因为4k 2+3＞0，所以4k 2+3＜9k 2，
所以k 2＞3
5，得k ＜−√15
5或k ＞√15
5．
所以k 的取值范围是(−∞，−√15
5)∪(√15
5，+∞)． 20．已知函数f （x ）＝x 2+2ax ﹣4a 2lnx ，其中a ∈R ．
（Ⅰ）若a ≠0，讨论f （x ）的单调性；
（Ⅱ）若a ＝0，当x ≥1时，xlnx ﹣m [f （x ）﹣1]≤0恒成立，求实数m 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为f （x ）＝x 2+2ax ﹣4a 2lnx ，所以x ∈（0，+∞）．
所以f′(x)=2x 2+2ax−4a 2x =2(x−a)(x+2a)x
． ①当a ＞0时，由f '（x ）＞0得x ＞a ；由f '（x ）＜0得0＜x ＜a ．
故f （x ）在（0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增．
②当a ＜0时，由f '（x ）＞0得x ＞﹣2a ；由f '（x ）＜0得0＜x ＜﹣2a ．
故f （x ）在（0，﹣2a ）上单调递减，在（﹣2a ，+∞）上单调递增
综上，①当a ＞0时f （x ）在（0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增；
②当a ＜0时f （x ）在（0，﹣2a ）上单调递减，在（﹣2a ，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）若a ＝0，不等式转化为当x ≥1时，xlnx ﹣m （x 2﹣1）≤0恒成立．
令F （x ）＝xlnx ﹣m （x 2﹣1），则F '（x ）＝lnx +1﹣2mx ．
令G （x ）＝lnx +1﹣2mx ，则G′(x)=1x −2m ．
①当m ≤0时，对任意x ∈[1，+∞），恒有F '（x ）＝lnx +1﹣2mx ＞0，
所以F （x ）在[1，+∞）上单调递增，所以F （x ）≥F （1）＝0，所以m ≤0不合题意． ②当m ≥12时，因为x ≥1，所以1x ≤1，所以1x −2m ≤0，即G '（x ）≤0， 所以G （x ）在[1，+∞）上单调递减，所以G （x ）≤G （1）＝1﹣2m ≤0，即F '（x ）≤0， 所以F （x ）在[1，+∞）上单调递减，所以F （x ）≤F （1）＝0，
所以m ≥12符合题意．
③当0＜m ＜12时，令G′(x)=
1x −2m ＞0，解得1≤x ＜12m ：令G′(x)=1x −2m ＜0，解得x ＞12m ．
所以G （x ）在[1，12m
]上单调递增．所以G （x ）≥G （1）＝1﹣2m ＞0，即F '（x ）＞0， 所以F （x ）在[1，12m ]上单调递增，所以当x ∈[1，12m ]时，F （x ）≥F （1）＝0，
故0＜m ＜12不合题意．
综合①②③可知，实数m 的取值范围是[12，+∞)．
21．无线电技术在航海中有很广泛的应用，无线电波可以作为各种信息的载体．现有一艘航
行中的轮船需要与陆地上的基站进行通信，其连续向基站拍发若干次呼叫信号，每次呼叫信号被基站收到的概率都是0.2，基站收到呼叫信号后立即向轮船拍发回答信号，回答信号一定能被轮船收到．
（Ⅰ）若要保证基站收到信号的概率大于0.99，求轮船至少要拍发多少次呼叫信号．（Ⅱ）设（Ⅰ）中求得的结果为n．若轮船第一次拍发呼叫信号后，每隔5秒钟拍发下一次，直到收到回答信号为止，已知该轮船最多拍发n次呼叫信号，且无线电信号在轮船与基站之间一个来回需要16秒，设轮船停止拍发时，一共拍发了X次呼叫信号，求X 的数学期望（结果精确到0.01）．
参考数据：210≈1.05×106．
【解答】解：（1）设“轮船拍发k次呼叫信号，基站至少收到1次信号”为事件A，则其对立事件A表示“轮船拍发k次呼叫信号，基站收到0次信号”，其中k为正整数．
要使P（A）＞0.99，则需P(A)＜0.01．
由题可知P(A)=(1−0.2)k=0.8k．
因为0.820=(4
5
)20=4
20×220
520×220
=2
60
1020
≈1.16×10−2=0.0116＞0.01，
而0.821≈0.0116×0.8＝0.00928＜0.01，
又因为k∈N*，所以k≥21，即轮船至少要拍发21次呼叫信号．
（Ⅱ）若第1次呼叫信号就被基站收到，则轮船16秒后会收到回答信号从而停止拍发，
16秒内轮船会继续拍发3次，即一共拍发了4次呼叫信号；
若前i﹣1（2≤i≤17）次呼叫信号都没有被基站收到，第i次呼叫信号被基站收到，与上
面同理，停止拍发时轮船一共拍发了i+3次呼叫信号；
若前17次呼叫信号都没有被基站收到，轮船会拍发21次后停止，
所以随机变量X的分布列如下：
X456 (192021)
P0.20.8×0.20.82×0.2…0.815×0.20.816×0.20.817所以E（X）＝4×0.2+5×0.8×0.2+6×0.82×0.2+…+20×0.816×0.2+21×0.817＝0.8×1+1
×0.8+1.2×0.82+…+4×0.816+21×0.817，
所以0.8E（X）＝0.8×0.8+1×0.82+1.2×0.83+…+4×0.817+16.8×0.817
=0.8+0.2×0.8×(1−0.817)
1−0.8
=1.6−0.818，
两式相减得0.2E（X）＝0.8+0.2×0.8+0.2×0.82+…+0.2×0.816+0.2×0.817
=0.8+0.2×0.8×(1−0.817)1−0.8
=1.6−0.818 所以E(X)=8−5×0.818=8−5×0.820
0.82≈8−5×0.01160.64≈7.91． （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =−2+3cosφ，y =1+3sinφ
（φ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣2ρsin θ﹣5＝0．
（Ⅰ）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若与l 平行的直线l '与曲线C 交于A ，B 两点．且在x 轴的截距为整数，△ABC 的面积为2√5，求直线l '的方程．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程{x =−2+3cosφy =1+3sinφ
， 化为普通方程为（x +2）2+（y ﹣1）2＝9．
由ρcos θ﹣2ρsin θ﹣5＝0，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，
直线l 的直角坐标方程为x ﹣2y ﹣5＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知l 的直角坐标方程为x ﹣2y ﹣5＝0，C （﹣2，1）．
设直线l '：x ﹣2y +m ＝0，由题知m ∈Z ．
∴C 到直线l '的距离d =5=5
， ∴|AB|=2√9−(m−4)25，∴12⋅2√9−(m−4)25⋅√5=2√5， 整理得（m ﹣4）4﹣45（m ﹣4）2+500＝0，∴（m ﹣4）2＝20或（m ﹣4）2＝25， ∵m ∈Z ，∴m ＝﹣1或m ＝9．
∴直线l '的方程为x ﹣2y ﹣1＝0或x ﹣2y +9＝0．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f （x ）＝|5x ﹣3|﹣|5x ﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f （x ）＞3﹣4x 的解集；
（Ⅱ）若a ，b ∈R +，1a +2b =2，不等式2a +b ≥f （x ）+2m 2+1恒成立，求实数m 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意：f （x ）＝|5x ﹣3|﹣|5x ﹣2|={ 1，x ≤25，−10x +5，25＜x ≤35，−1，x ＞35. 所以不等式f （x ）＞3﹣4x 可化为{
x ≤25，1＞3−4x 或{25＜x ≤35，−10x +5＞3−4x 或{x ＞35−1＞3−4x 解得x ＞1． 所以不等式f （x ）＞3﹣4x 的解集为（1，+∞）． （Ⅱ）f （x ）＝|5x ﹣3|﹣|5x ﹣2|≤|5x ﹣3+2﹣5x |＝1 因为a ，b ∈R +，1a
+2b =2， 所以2a +b =12(2a +b)(1a +2b )=12(4+
4a b +b a )≥12(4+2√4a b ⋅b a )=4， 当且仅当4a b =b a ，即a ＝1，b ＝2时取等号．
因为2a +b ≥f （x ）+2m 2+1恒成立，
所以4≥1+2m 2+1，解得﹣1≤m ≤1，
所以实数m 的取值范围是[﹣1，1]．。