一元二次方程的根与系数的关系课件(1)

x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
重要发现
方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
猜一猜
（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以发现什么结论？
x1 x2
b， a
x1
x2
c. a
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
证一证：
注：b2 - 4ac≥0
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
↗
b b2 4ac b b2 4ac 2b b .
2a
2a a
b b2 4ac b b2 4ac
归纳 在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判
断是否 Δ≥0，如是则代入 a、b、c 的值即可.
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另 一个根及 k 的值.
解：所即由设以于方x2程=xx11的·+x253两x=2.=根2x2分2 +=别是6553，x=1，xk52，，其中 x1 = 2.
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般情势是什么？ ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
解得 k = -7. 答：方程的另一个根是
3 5，k
的值为
-7.
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
变式：已知关于 x 的方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求
它的另一个根及 m 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1= 1.
所以 x1 + x2 = 1 + x2 = 6，
1. 2
∵( x1 x2 )2 x12 2 x1x2 x22，
∴ x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13， 4
1 x1
1 x2
x1 x2
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
练一练
设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则
两根 x1 x2
x1 + x2 = ？ x1·x2 = ？
x2 + 3x - 4 = 0 -4 1
-3
-4
将二次 x2 - 5x + 6 = 0 2 3
5
6
项系数 化为 1
2xx22+33xx + 11 = 00
22
1 2
-1
3 2
1 2
想一想 方程的两根 x1 和 x2 与系数 a，b，c 有什么关系？
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
猜一猜 （1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数)
的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的情势，你能看 出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0
x1 x2
2a
2a
b2 b2 4ac
4a2
4ac 4a2
c. a
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么
x1
+
x2
=
b a
，
x1
•
x2
c a
.
注意 满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0.
(1) x1 + x2 = 4 ；
(2) x1·x2 = 1 ；
(3) x12 x22 14 ；
(4) (x1 x2 )2 1 . 2
归纳 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代
数式化成含两根之和，两根之积的情势，再整体代入.
0 两个不相等的实数根 b2 4ac 0 两个相等的实数根
0 没有实数根
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
算一算 解下列方程并完成填空：
(1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0.
一元二次方程
即 x2 = 5 .
m
由于 x1·x2 = 1×5 = 3 ，
解得 m = 15.
答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15.
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知
x1
x2
3 2
，x1
x2
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之 和、两根之积. （1）x2 – 6x – 15 = 0；
解： a = 1，b = – 6， c = – 15. Δ = b2 - 4ac = ( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15.
， x1 x2 =
9 3
3.
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
（3） 5x – 1 = 4x2.
解：方程可化为 4x2 – 5x + 1 = 0. a = 4，b = – 5，c = 1. Δ = b2 − 4ac = ( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0. ∴ 方程有两个实数根. 设方程的x两1 +个x实2 =数根45是54x，1，xx1 2x，2 =那14么.
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
（2）3x2 + 7x - 9 = 0；
解：a = 3，b = 7，c = -9. Δ = b2 − 4ac = 72 – 4×3×( − 9 ) = 157 > 0， ∴ 方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
7
x1 + x2 = − 3