四川省成都市彭州丽春中学高一数学文上学期期末试题含解析

四川省成都市彭州丽春中学高一数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，则向量与向量的夹角是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
试题分析：由条件得，所以，所以
，即．
考点：向量的数量积运算．
2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是棱A1D1上的动点．下列说法正确的是（）
A. 对任意动点F，在平面ADD1A1内不存在与平面CBF平行的直线
B. 对任意动点F，在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线
C. 当点F从A1运动到D1的过程中，二面角的大小不变
D. 当点F从A1运动到D1的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变大
参考答案：
C
【分析】
不论是在任意位置，平面即平面，再求解.
【详解】因为在平面内，且平行平面，故A错误；平面即平面，又平面与平面斜相交，
所以在平面内不存在与平面垂直的直线，故B错误；
平面即平面，平面与平面是确定平面，
所以二面角不改变，故C正确；
平面即平面，点到平面的距离为定值，故D错误.
故选C.
【点睛】本题考查空间线面关系，属于综合题.本题的关键在于平面的确定.
3. 已知集合A={﹣1，2，3}，则集合A的非空真子集个数为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
参考答案：
B
【考点】子集与真子集．
【分析】由集合A中的元素有3个，把n=3代入集合的真子集的公式2n﹣1中，即可计算出集合A真子集的个数，去掉空集即可．
【解答】解：由集合A中的元素有a，b，c共3个，代入公式得：23﹣2=6，
故选：B．
4. 如果数列各项成周期性变化，那么称数列为周期数列.若数列满足
,,观察数列的周期性，的值为
A．2 B． C． D．
参考答案：
B
5. 已知函数在区间上恒成立，则实数a的最小值是
（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
直接利用三角函数关系式恒等变换，把函数的关系式变形为正弦型函数，进一步利用恒成立问题的应用求出结果.
【详解】函数,
由因为，所以，
即，
当时，函数的最大值为，
由于在区间上恒成立，
故，实数的最小值是.
故选：D
【点睛】本题考查了两角和的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最值，需熟记公式与三角函数的性质，同时考查了不等式恒成立问题，属于基出题
6. 幂函数，满足，则的值
为（）
A.0
B. 2
C. 0或2
D. 0或1
参考答案：
A
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，P为△ABC所在平面外一点PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有（）个直角三角形。

A 4
B 3
C 2
D 1
参考答案：A
略
8. 已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
参考答案：
B
【考点】对数值大小的比较．
【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论．
【解答】解：log0.60.5＞1，ln0.5＜0，0＜0.60.5＜1，
即a＞1，b＜0，0＜c＜1，
故a＞c＞b，
故选：B
9. 已知向量，，若，则的值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
10. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段EF在棱A1B1上移动，点P，Q分别在棱AD，CD上移动，若EF=1，PD=x，A1E=y，CQ=z，则三棱锥Q﹣PEF的体积（）
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点
A （1，a ，0）和点B
（1﹣a ，2，1）的距离的最小值为．
参考答案：
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【分析】由两点间距离公式得|AB|==，由此得到当a=1时，点A（1，a，0）和点B（1﹣a，2，1）的距离取最小值．
【解答】解：点A（1，a，0）和点B（1﹣a，2，1）的距离：
|AB|===，
∴当a=1时，点A （1，a ，0）和点B （1﹣a ，2，1）的距离取最小值．
故答案为：
．
12. 已知函数，则f （x ）的单调增区间为 ，的解集
为 ．
参考答案：
（﹣∞，1],（1，5
﹣
）∪（log 4
，1].
【考点】分段函数的应用；函数的单调性及单调区间．
【分析】根据绝对值的性质将函数f （x ）进行化简，结合分段函数的表达式进行判断求解即可． 【解答】解：∵函数y=5﹣x ﹣4x
为减函数，且x=1时，y=5﹣x ﹣4x
=5﹣1﹣4=0，
∴当x ＞1时，5﹣x ﹣4x ＜0，此时f （x ）=+=5﹣x 为减函数，
当x≤1时，5﹣x ﹣4x
≥0，此时f （x ）=﹣=4x
为增函数，
即函数f （x ）的单调递增区间为为（﹣∞，1]， 当x ＞1时，由5﹣x ＞得x ＜5﹣，此时1＜x ＜5﹣，
当x≤1时，由4x ＞
得x ＞log 4
，此时log 4
＜x≤1，
即不等式的解集为（1，5﹣）∪（log 4，1]，
故答案为：（﹣∞，1]，（1，5﹣）∪（log 4
，1]．
13. 函数 的单调递减区间为_______.
参考答案：
【分析】
由题得，解不等式得解.
【详解】由题得，
令，
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查诱导公式和三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14. = _______________．
参考答案： 1 略
15. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 ．
参考答案：
设圆锥的母线为，底面半径为则因此圆锥的高是
16. （5分）不等式（）
2x ﹣7
＞（）
4x ﹣1
中的x 取值范围
为 ．
参考答案：
（﹣3，+∞）
考点： 指、对数不等式的解法．
专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： 运用指数函数的单调性，可得2x ﹣7＜4x ﹣1，运用一次函数的解法解得即可得到解集．
解答： 不等式（）2x ﹣7＞（）4x ﹣1即为 2x ﹣7＜4x ﹣1， 即2x ＞﹣6，
解得x＞﹣3．
则解集为（﹣3，+∞）．
故答案为：（﹣3，+∞）．
点评：本题考查指数不等式的解法，考查指数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．
17. 的值等于
．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】切化弦，利用差角的正弦公式，即可得出结论．
【解答】解：=﹣
====．故答案为：．
【点评】本题考查差角的正弦公式，考查学生的技术能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分8分）已知函数
．
（Ⅰ）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当函数在上的最大值为时，求实数的值．
参考答案：
由已知得．……… 1分（Ⅰ）因为函数在上是增函数，
所以．
故实数的取值范围是
．……… 4分（Ⅱ）①当时，函数在上是减函数，
于是，．
所以，符合题意．……… 5分
②当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
于是，．
所以或，舍去．……… 6分
③当时，函数在上是增函数，
于是，．
所以，符合题意．……… 7分
综上所述，实数的值为或
．……… 8分
19. 如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）．
（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；
（2）求这个几何体的表面积及体积．
参考答案：
【考点】空间几何体的直观图；由三视图求面积、体积．
【分析】（1）根据三视图的画出，进行复原画出几何体的图形即可．
（2）几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体，求出底面面积，然后求出体积即可．
【解答】解：（1）这个几何体的直观图如图所示．
（2）这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体．
由PA1=PD1=，A1D1=AD=2，
可得PA1⊥PD1．
故所求几何体的表面积
S=5×22+2×2×1+2××2
=22+4（cm2），
所求几何体的体积V=23+×（）2×2=10（cm3）．
20. 已知全集U={不大于10的非负偶数}，A={0，2，4，6}，B={x|x∈A，且x＜4}，求集合?U A及A∩（?U B）．
参考答案：
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】列举出全集U中的元素，找出A中小于4的元素确定出B，求出A的补集，找出A与B补集的交集即可．
【解答】解：∵全集U={不大于10的非负偶数}={0，2，4，6，8，10}，A={0，2，4，6}，
B={x|x∈A，且x＜4}={0，2}，
∴?U A={8，10}，?U B={4，6，8，10}，
则A∩（?U B）={4，6}．
21. 已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断并证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性．
参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据条件，奇函数f（x）在原点有定义，从而f（0）=b=0，从而，而根据便可求出a=1，这样便得出a，b的值；
（2）写出，根据单调性的定义，设任意的x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，然后作
差，通分，提取公因式，便得到，可以说明f （x1）＜f（x2），从而得出f（x）在（﹣1，1）上为增函数．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数；
∴f（0）=b=0；
得；
而；
∴a=1；
∴a=1，b=0；
（2），设x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，则：
；
∵x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2；
∴x1﹣x2＜0，x1x2＜1，1﹣x1x2＞0；
∴；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在（﹣1，1）上为增函数．
【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及函数单调性的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后，是分式的一般要通分，一般要提取公因式x1﹣x2．
22. 已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足，且.
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列{b n}的前n项和为T n，求证：.
参考答案：
解：（Ⅰ），
两式相减得，
是正项数列，，即从第二项起为等差数列，且公差为
1，
又当时，，解得（舍去），
从而，
（Ⅱ），
.
依次代入，各式相加得。