赏析“勾股定理”新题型

赏析“勾股定理”新题型
河南省南阳市宛城区汉冢中学，邢进文，邮编473123
勾股定理是初中数学的重点内容，在各地中考试卷中都占有一定的分量.随着课程改革的进一步深入，出现了许多构思新、重素质、考能力的创新题型，令人耳目一新；它对培养和考查学生的发散能力和综合能力大有裨益.
1、知识融合型
例1、如图1，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是 . 分析：本题需要用到轴对称知识. 根据轴对称知识，作出D 点关于AB 的对称点D ′即可，求最短小值要构造直角三角形.
解：如图2，作点D 关于直线AB 的对称点D ′，连接C D ′交AB 于点E ，则此时EC+ED 的值最小.由轴对称性质知，ED=E D ′,B D ′=BD=1,∠D ′BE=∠ABC=45°,所以∠CB D ′=90°.
所以EC+ED=EC+E D ′=C D ′=22D B CB '+=51222=+.即EC+ED 的最小值是5. 点评：将轴对称与勾股定理相结合，是解决平面上两线段之和最短的重要方法.
2、方案设计型
例2、国家电力总公司为改善农村用电电费过高的状况，在全国农村进行电网改造.友谊乡有四个村庄A 、B 、C 、D ，恰好位于一个长方形的四个顶点（如图甲）.这个长方形的长为8km ，宽为6km.现计划在四个村庄之间架设线路相通.若想找到一点，使这一点到四个村庄的距离之和最短，从而使架设方案最省钱，那么这一点应在什么位置？并求出这四个村庄的距离之和.
分析：为使架设方案最省钱，这一点应是长方形ABCD 对角线AC 与BD 的交点.
解：设长方形ABCD 对角线AC 与BD 的交点O （如图乙），在长方形ABCD 内任取一点P ，P 不同于O 点，则在△PAC 和△PBD 中，PA+PC>AC=OA+OC,PB+PD>BD=OB+OD ，这就是说明所取的O 点到四个村庄的距离之和最小.
在Rt △ABC 中，由勾股定理可得22222
68AC AB BC =+=+，所以AC=10km,同理在Rt △
ABD 中，得BD=10km ，从而OA+OB+OC+OD=20km. 即这点到四个村庄距离之和为20km.
点评：在利用勾股定理进行方案设计时，往往用到三角形两边之和大于第三边的结论.
3、推断说理型
例3、小红在公园里看到一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到20米的池塘中A 处.另一只猴子爬到树顶后直接跃向池塘的A 处，如果知道两只猴子所经过的距离相等.小红说她知道这棵树的高，你知道她是怎么知道的吗？试着说明你的理由.
分析：解题的关键是抓住隐含条件“两只猴子所经过的距离相等”，以此为突破口使问题得
以求解.
解：设BD=xm ，由题意知：BC+CA=BD+DA ，所以DA=30x -.在Rt ΔADC 中，
()()22
2301020x x -=++，解之得：5x =，()1015x m +=，所以这棵树的高度为15米. 点评：本题中解答过程中运用了方程的数学思想，勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长度时，可通过设未知数，建立方程进行求解.
4、规律探究型
例4、如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23S S ，，…，S n （n 为正整数），那么第8个正方形的面积8S ＝_______.
分析：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”.即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题. 解：由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得：2111S ==， 22(2)2S ==， 2324S == ，24(22)8S ==，照此规律可知：25416S ==，观察数1、2、4、8、16易
知：0123412,22,42,82,162=====，于是可知12n n S -=，因此，817822128S -===.
点评：本题是一道探索勾股数的规律的试题，能考查学生观察、分析、类比、猜想和论证
等能力.
5、实践应用型
例5、去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A 、B 两地师生的交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向、B 地的西偏北45°方向C 处有一个半径为0.7km 的公园，问
计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732） 分析：先构造出以AC 、BC 为斜边的直角三角形，然后结合题意
分析出这个直角三角形的两直角边长．
解：如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠
CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA
＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设
CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB
＝2，∴3x ＋x ＝2，∴x ＝3－1．即CD ＝3－1≈0.732＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．
点评：运用勾股定理的前提是找到或构造出直角三角形．。