2020-2021学年威海市文登区高三上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年威海市文登区高三上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1.在复平面内，复数z满足(z+i)i=−2，则z=()
A. i
B. −i
C. 1
D. −1
2.已知全集U={1,2，3，4，5}，A={3,4，5}，B={1,2，5}，则{1,2}=()
A. A∩B
B. (∁U A)∩B
C. A∩(∁U B)
D. (∁U A)∩(∁U B)
3.“k=√2”是“直线x−y+k=0与圆“x2+y2=1相切”的()
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.已知i为虚数单位，若复数z=1+i，则|z|的值为()
A. √2
B. 2
C. √3
D. 3
,3)，则该幂函数的解析式为()
5.若幂函数y=f(x)的图象经过点(1
3
A. y=x−1
B. y=x 12
C. y=x −13
D. y=x3
6.函数f(x)=lg x−的零点所在的区间是()．
A. (3,4)
B. (2,3)
C. (1,2)
D. (0,1)
7.下面给出了关于复数的三种类比推理：
①复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则；
②由向量a的性质|a⃗|2=a⃗2类比复数z的性质|z|2=z2
③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比错误的是()
A. ①③
B. ①②
C. ②
D. ③
8.设{a n}是2020项的实数数列，{a n}中的每一项都不为零，{a n}中任意连续11项a n，a n+1，…，
a n+10的乘积是定值(n=1,2，3，…2020)，命题：
①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；
②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1；
的真假情况为()
A. ①和②都是真命题
B. ①是真命题②是假命题
C. ②是真命题，①是假命题
D. ①②都是假命题 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知数列{a n }是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是( )
A. {|a n |}
B. {a n −a n+1}
C. {a 1a n }
D. {ka n }
10. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x +y)=f(x)+f(y)，当x <0时，f(x)>0，则函数f(x)满足( )
A. f(0)=0
B. y =f(x)为奇函数
C. f(x)在区间[m,n]上有最小值f(m)
D. f(x −1)+f(x 2−1)>0的解集为{x|−2<x <1}
11. 在△ABC 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP
⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC
⃗⃗⃗⃗⃗ >0 B. PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ C. PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AP ⃗⃗
⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−34 12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =π3
，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =√3，则下列说法正确的是( )
A. ac 的最小值是4
B. ac 的最大值是4
C. a +3c 的最小值是3+2√3
D. a +3c 的最小值是4+2√3
三、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 杨辉三角如图所示，在我国南宁数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出
现了这个表，它揭示了(a +b)n (n ∈N)展开式的项数及各项系数的有关规律.图中第7行从左到右第4个数是______ ；第n 行的所有数的和为______ ．
14.已知向量，，则与所成角θ的取值范围为
15.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml血液中
酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t 的值为______(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)
四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船向正北方向行驶．若
甲船的速度是乙船速度的√3倍，则甲船应沿(1)方向前进才能尽快追上乙船，相遇时乙船已行驶了(2)海里．
五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知数列{a n}是等差数列，且满足a6=6+a3，a6−1是a5−1与a8−1的等比中项．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)已知数列{b n}满足b n=2n⋅a n，求数列{b n}的前n项和S n．
18.已知f(x)=2√3sinx⋅cosx+2cos2x，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
满足b2+c2−a2+bc=0
(1)求角A的值；
(2)求f(A)的值；
(3)求f(B)的取值范围．
19.已知向量a⃗=(cos3
2x,sin3
2
x)，b⃗ =(cos x
2
,−sin x
2
)，设f(x)=2a⃗⋅b⃗ +m+1(m∈R)；
(Ⅰ)求函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间；
(Ⅱ)当x∈[0,π
6]时，−4<f(x−π
6
)<4恒成立，求实数m的取值范围．
20.数列{a n}的前n项和为S n，若2S n=a n+a n2，(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=1
a n2，数列{
b n}的前n项和为T n，求证：T n>n
n+1
．
21.已知函数f(x)=e x+x3+mx+2．
(1)若x轴为曲线y=f(x)的切线，试求实数m的值；
(2)已知g(x)=f(x)−e x，若对任意实数x，均有g(e x+1)≥g(x)，求m的取值范围．
22.已知函数f(x)=e x−lnx+ax(a∈R)．
(Ⅰ)当a=−e+1时，求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)当a≥−1时，求证：f(x)>0．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：复平面内，复数z满足(z+i)i=−2，
，
则z+i=−2
i
−i=i．
所以z=2i2
i
故选：A．
根据复数的代数形式运算法则，求解即可．
本题考查复数的定义与代数形式运算问题，是基础题．
2.答案：B
解析：解：全集U={1,2，3，4，5}，A={3,4，5}，B={1,2，5}，
所以{1,2}⊆B，且{1,2}⊈A，
所以{1,2}=(∁U A)∩B．
故选：B．
根据集合的定义与运算性质，判断满足条件的选项即可．
本题考查了集合的定义与运算性质应用问题，是基础题．
3.答案：A
解析：解：由点到直线的距离公式可得：
=1，解得k=±√2，
圆心(0,0)到直线x−y+m=0的距离d=
√2
故“k=√2”是“直线y=x+k与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件，
故选A
由直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径可得m的值，进而由充要条件的定义可作出判断．本题考查充要条件的判断，涉及直线和圆的位置故选，属基础题．
4.答案：A
解析：解：∵复数z=1+i，
∴|z|=√2，
故选：A．
利用复数模的定义可得答案．
本题考查复数的模．属于基础题．。