高中数学 直线与圆锥曲线 板块一 直线与椭圆(2)完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义：直线与圆锥曲线.板块一.直线与椭圆(1).学生
版
1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：
①22
221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22
221(0)y x a b a b
+=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22
221(0)x y a b a b
+=>>研究）：
⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；
⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；
⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，
，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，
如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段
12B B ．
⑸椭圆的离心率：c
e a
=
，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；
反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．
4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，
的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，
平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，
，由0
()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩
，
消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．
若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切．
若0a =，得到一个一次方程：①C 为双曲线，则l 与双曲线的渐近线平行；②C 为抛物线，则l 与抛物线的对称轴平行．
因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．
求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；
另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分
别为11()()x y x y ，，，，则弦长公式
为
1212||AB x y =--．
两根差公式：
如果12x x ，
满足一元二次方程：20ax bx c ++=，
则12x x -==
0∆>）． 6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：
①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．
②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．
【例1】 设椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>∶
过点)1M
，且左焦点为()
10F ⑴求椭圆C 的方程；
⑵当过点()41P ，的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A B ，时，在线段AB 上取点
Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上．
⑴求椭圆C 的方程；
⑵设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；
⑶在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．
典例分析
【例3】 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最
大值为3，最小值为1． ⑴求椭圆C 的标准方程；
⑵若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB
为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．
⑴求轨迹C 的方程；
⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．
⑴求轨迹C 的方程；
⑵是否存在常数k ，0OP OQ ⋅=？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
【例6】 设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个顶点与抛物线2:C x =的焦点重合，
12F F ，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率1
2
e =，且过椭圆右焦点2F 的直线l 与
椭圆C 交于M N 、两点． ⑴求椭圆C 的方程；
⑵是否存在直线l ，使得2OM ON ⋅=-．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
⑶若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN AB ∥，求证：2
||||
AB MN 为定值．
【例7】 已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、
B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．
⑴求椭圆的方程；
⑵若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，交
椭圆于点P ．
证明：OM OP ⋅为定值．
⑶在⑵的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【例8】 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的
直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(31)a =-，共线．
⑴求椭圆的离心率；
⑵设M 为椭圆上任意一点，且 ()OM OA OB λμλμ=+∈R ，，
证明22λμ+为定值．
⑴求椭圆的方程；
⑵在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。